假设: 假设: i) 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆,卫星 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆, (
在此轨道上作匀速圆周运动. 在此轨道上作匀速圆周运动. ii)地球是固定于空间中的均匀球体, (ii)地球是固定于空间中的均匀球体,其它星球对卫 R为地球半径, 为地球半径, 星的引力忽略不计. 星的引力忽略不计. 分析: 分析:
三级火箭比二级火箭 几乎节省了一半
要使υ 公里/秒 要使 3=10.5公里 秒,则(k+1)/(0.1k+1)≈3.21,k≈3.25,而 公里 , , (m1+ m2+ m3+ mP)/ mP≈77. .
考虑N级火箭: 考虑N级火箭: 级火箭的总质量( 记n级火箭的总质量(包含有效负载 P)为m0 ,在 级火箭的总质量 包含有效负载m 相同的假设下可以计算出相应的m 的值,见表3-2 相同的假设下可以计算出相应的 0/ mP的值,见表
类似地,可以推算出三级火箭: 类似地,可以推算出三级火箭:
υ3 = u ln
m1 + m2 + m3 + mP m + m3 + mP m + mP 2 3 λ m1 + m2 + m3 + mP λ m2 + m3 + mP λ m3 + mP
3
在同样假设下: 在同样假设下:
k +1 k +1 υ3 = 3ln = 9 ln 0.1k + 1 0.1k + 1
得到: m dm = u (1 λ ) dm 得到:
上天的! 上天的!
耗尽时,结构质量也逐渐抛尽,它的最终质量为 耗尽时,结构质量也逐渐抛尽,它的最终质量为mP, 所以最终速度为: υ = u (1 λ ) ln m0 所以最终速度为:
mP
3,理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统 理想过程的实际逼近 多级火箭卫星系统 记火箭级数为n,当第 级火箭的燃料烧尽时 级火箭的燃料烧尽时, 记火箭级数为 ,当第i级火箭的燃料烧尽时,第i+1级火 级火 箭立即自动点火,并抛弃已经无用的第i级火箭.用mi表示第 箭立即自动点火,并抛弃已经无用的第 级火箭. 级火箭 i级火箭的质量,mP表示有效负载. 级火箭的质量, 表示有效负载. 级火箭的质量 为简单起见,先作如下假设: 为简单起见,先作如下假设: 级火箭中λm (i)设各级火箭具有相同的 ,即i级火箭中 i为结构 )设各级火箭具有相同的λ 即 级火箭中 质量,( ,(1-λ) 为燃料质量. 质量,( )mi为燃料质量. (ii)设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变, )设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变, 并记比值为k. 该假设有点强加 的味道, 的味道,先权作 考虑二级火箭: 考虑二级火箭: 讨论的方便吧 由3.11式,当第一级火箭燃烧完时,其末速度为: 式 当第一级火箭燃烧完时,其末速度为:
表3-2
n(级数) (级数) 1 2 3 4 5 … … ∞(理想) 理想) 50
火箭质量( 吨 ) / 149 77 65 火箭质量 ( 当然若燃料的价钱很便宜 60
而推进器的价钱很贵切且 制作工艺非常复杂的话, 制作工艺非常复杂的话, 由于工艺的复杂性及每节火箭 也可选择二级火箭. 也可选择二级火箭. 都需配备一个推进器, 都需配备一个推进器,所以使 用四级或四级以上火箭是不合 算的, 算的,三级火箭提供了一个最 好的方案. 好的方案.
分析: 约为6400 6400公里 约为6400公里 根据牛顿第三定律,地球对卫星的引力为: 根据牛顿第三定律,地球对卫星的引力为 F = km 在地面有: 在地面有: km = mg 2
R
得: k=gR2
2
r2
故引力: 故引力:
R F = mg r
假设(ii)
卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力 mυ 2 故又有: 故又有: F = 从而: υ = R g 从而:
又由假设( ), ),m 又由假设(ii), 2=kmP,m1=k(m2+mP),代入上式, ,代入上式, 并仍设u=3公里 秒,且为了计算方便,近似取 公里/秒 且为了计算方便,近似取λ=0.1,则 并仍设 公里 , 可得: 可得: m m
1 + 1 2 + 1 2 m2 + mP mP k +1 k +1 υ2 = 3ln = 3ln = 6 ln 0.1m1 0.1m2 0.1k + 1 0.1k + 1 + 1 + 1 是否三级火箭就是最省 + m2呢mP 最简单的方法就是 ? mP 10.5 k +1 对四级, 对四级 = e 6 ≈ 5.75 要使υ 公里/秒 则应使: 要使 2=10.5公里 秒,则应使 公里 ,五级等火箭进 0.1k + 1 行讨论. 行讨论. 即k≈11.2,而: m1 + m2 + mP ≈ 149 , mP
§3.3 为什么要用三级火箭来发射人造卫星
1,为什么不能用一级火箭发射人造卫星? 为什么不能用一级火箭发射人造卫星? (1)卫星能在轨道上运动的最低速度
构造数学模型, 构造数学模型,以说明为什么不能用一级火箭而必须用多 级火箭来发射人造卫星?为什么一般都采用三级火箭系统? 级火箭来发射人造卫星?为什么一般都采用三级火箭系统?
dt
v
200 7.80 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u(常数), 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为 (常数),
dm m(t )υ (t ) = m(t + t )υ (t + t ) t + O (t 2 ) (υ (t ) 7.58 u) 600 dt m-dm dυ dm m 800 由此解得: 故: m = u 由此解得:υ (t ) = υ0 + u ln 0 7.47 ) (3.11) dm dt dt m(t ) 7.37 1000 一定的情况下, υ0和m0一定的情况下, 火箭速度υ(t) υ(t)由喷发 火箭速度υ(t)由喷发 u-v 速度u及质量比决定. 速度u及质量比决定.
由动量守恒定理: 由动量守恒定理:
400
7.69
(2)火箭推进力及速度的分析 现将火箭——卫星系统的质量分成三部分: 卫星系统的质量分成三部分: 现将火箭 卫星系统的质量分成三部分 有效负载,如卫星) (i)mP(有效负载,如卫星) ) 燃料质量) (ii)mF(燃料质量) ) 结构质量——如外壳,燃料容器及推进器). 如外壳, (iii)mS(结构质量 ) 如外壳 燃料容器及推进器). 最终质量为m 初始速度为0, 最终质量为 P + mS ,初始速度为 , 所以末速度: 所以末速度: = u ln mO υ
υ2 = u ln
当第二级火箭燃尽时,末速度为: 当第二级火箭燃尽时,末速度为:
υ2 = υ2 + u ln
m1 + m2 + mP λ m1 + m2 + mP
m + m2 + mP m2 + mP m + mP = u ln 1 2 λ m2 + mP λ m1 + m2 + mP λ m2 + mP
[ )] λ k (1 n[λ m1 + W λ )]+λ kn + (1m λ+ W n +1 1 + 2 λ 能说过假设(ii)有点强加的味道;现去掉该 中已经能说过假设(ii)有点强加的味道; (ii)有点强加的味道 假设,在各级火箭具有相同λ的粗糙假设下, 假设,在各级火箭具有相同λ的粗糙假设下,来讨论火箭 结构的最优设计. 结构的最优设计. 记 W =m +…+ W:+ m m 解条件极值问题: P 解条件极值问题 1 n 1 火箭结构优化设计讨论 Wn 1 W2{k k k 中我们得到与假设( }) 中我们得到与假设(ii) Wn +1 则 W2=mu+…+ min+ mPn υn = 2 ln mn 1 2 W1 , 相符的结果,这说明前 Wn …… 相符的结果1 + 1 k1k k λ λ 面的讨论都是有效的!W 1 + 1 面的讨论都是有效的!2 n +1 n s.t2. W P Wn= mn+m [λ k + (1 λ )][λ k + (1 λ )] = C 1 k k n n Wn+1= mln =u P [ λ k1 + (1 λ )] [ λ k n + 或等价地求解无约束极值问题: 或等价地求解无约束极值问题:(1 λ )] 应用(3.11)可求得末速度: 应用(3.11)可求得末速度: k1k 2 kn W W1 W1 W2 k11 2 kn a W1 min k Wn C W2 又 = = k = u lnk υ k
r
r
假设(i)
(2)火箭推进力及速度的分析 设g=9.81米/秒2,得: g=9.81米 假设:火箭重力及空气阻力均不计 假设:
卫星离地面高度 公里) (公里) 卫星速度 公里/ (公里/秒) 7.86
分析:记火箭在时刻 的质量和速度分别为 的质量和速度分别为m(t)和υ(t) 分析:记火箭在时刻t的质量和速度分别为 和 100 dm 2 t + O (t ) 有: m(t + t ) m(t ) =
m +m
2,理想火箭模型 假设: 记结构质量m 假设: 记结构质量 S在mS + mF中占的比例为 ,假设火 中占的比例为λ, 箭理想地好,它能随时抛弃无用的结构, 箭理想地好,它能随时抛弃无用的结构,即结构质量 与燃料质量以λ与 与燃料质量以 与(1-λ)的比例同时减少. )的比例同时减少. 建模: 建模: 由
m(t )υ (t ) = m(t + t ) λ dm dm υ (t )t (1 λ ) (υ (t ) u )t + O(t 2 ) dt 哈哈, dt 哈哈,我还是有可能