三次函数的三大性质初探
随着导数内容进入新教材，函数的研究范围也随之扩大，用导数的方法研究三次函数的性质，不仅方便实用，而且三次函数的性质变得十分明朗，本文给出三次函数的三大主要性质.
1 单调性
三次函数)0()(2
3>+++=a d cx bx ax x f ,
(1) 若032≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数；
(2) 若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中a
ac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---=. 证明 c bx ax x f ++=23)('2, △=)3(41242
2ac b ac b -=-，
(1) 当0≤∆ 即032≤-ac b 时，0)('≥x f 在 R 上恒成立， 即)(x f 在),(+∞-∞为增函数.
(2) 当0>∆ 即032
>-ac b 时，解方程0)('=x f ，得 a
ac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---= 0)('>x f ⇒1x x <或2x x > ⇒)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数. ⇒<0)('x f 21x x x <<⇒)(x f 在),(21x x 上为减函数.
由上易知以下结论: 三次函数)0()(2
3>+++=a d cx bx ax x f ,
(1) 若032≤-ac b ，则)(x f 在R 上无极值；
(2) 若032>-ac b ，则)(x f 在R 上有两个极值；且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值.
2 根的性质
三次函数)0()(2
3≠+++=a d cx bx ax x f
(1) 若032≤-ac b ，则0)(=x f 恰有一个实根；
(2) 若032>-ac b ,且0)()(21>⋅x f x f ，则0)(=x f 恰有一个实根；
(3) 若032>-ac b ,且0)()(21=⋅x f x f ，则0)(=x f 有两个不相等的实根；
(4) 若032>-ac b ,且0)()(21<⋅x f x f ，则0)(=x f 有三个不相等的实根. 证明 (1)(2)0)(=x f 含有一个实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴只相交一次，即)(x f 在R 上为单调函数或两极值同号，所以032≤-ac b 或032>-ac b ，且0)()(21>⋅x f x f .
(3)0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以032>-ac b ，且0)()(21=⋅x f x f .
(4)0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴有三个公共点，即)(x f 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以032
>-ac b 且0)()(21<⋅x f x f . 由上易得以下结论：
三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 在),[+∞m 上恒正的充要条件是0)(>m f (m ≥x 2),或0)(>m f 且0)(2>x f (m <x 2) .
3 对称性
三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的图象关于点))3(,3(a b f a b --
对称，并且)('x f 在a
b x 3-=处取得最小值，其图象关于直线a b x 3-=对称.
证1 )3()3)(3()3()(232
3a b f a b x a b c a b x a d cx bx ax x f -++-++=+++= 易知x a b c ax x g )3()(2
3
-+=是奇函数，图象关于原点对称，则)(x f 关于点))3(,3(a
b f a b --对称.
c bx ax x f ++=23)('2， 0>a ∴当a b x 3-
=时，)('x f 取得最小值，显然)('x f y =图象关于a
b x 3-=对称. 证 2 设)(x f y =的图象关于点),(n m 对称，任取 )(x f y =图象上点
),(y x A ，
则A 关于),(n m 的对称点)2,2('y n x m A --也在)(x f y =图象上d x m c x m b x m a y n +-+-+-=-)2()2()2(223,
)2248()412()6(23223m d mc b m a m x c mb a m x b ma ax y -+++-++++-=∴
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-+++-=++=--=∴)3(3)2248(4126232a b f n a b m n d mb b m a m d c mb a m c b ma b
由上又可得以下结论：
)(x f y =是可导函数，若)(x f y =的图象关于点),(n m 对称，则)('x f y =图象关于直线m x =对称.
证明 )(x f y =的图象关于),(n m 对称，则,2)2()(n x m f x f =-+ x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim
)('0 x
x f n x x f n x x m f x x m f x m f x x ∆+-∆--=∆--∆+-=-∴→∆→∆)(2)(2lim )2()2(lim )2('00)(')()(lim 0x f x x x f x f x =∆∆--=→∆
∴ )('x f y =图象关于直线m x =对称.
若)(x f y =图象关于直线m x =对称，则)('x f y =图象关于点)0,(m 对称. 证明 )(x f y =图象关于直线m x =对称，则)2()(x m f x f -=，
x x m f x x m f x m f x x f x x f x f x x ∆--∆+-=-∴∆-∆+=→∆→∆)2()2(lim )2(')
()(lim
)('00 )(')()(lim 0x f x
x f x x f x -=∆-∆-=→∆， 0)(')2('=+-∴x f x m f ， ∴ )('x f y =图象关于点)0,(m 对称.
掌握上面的研究方法和三次函数的三大性质，对于解决有关三次函数的问题是十分有益的.。