练习 9 (9.). 证明
• 设 X 是拓扑空间，G 是 X 的开集．证明 G ∩ A− ⊆ (G ∩ A)−．
• 任取 x ∈ G ∩ A−，则对 x 的任意的开邻域 U，有 U ∩ A ̸= 0/ ．
– 因 U ∩ G 是 x 的开邻域，所以 (U ∩ G) ∩ A ̸= 0/ ，即 U ∩ (G ∩ A) ̸= 0/ ， – 所以 x ∈ (G ∩ A)−．
练习 2 (2.). • 设 X = {x, y, z}，下列子集族是不是 X 的拓扑？如果不是，请添加最少子集使它 们成为拓扑．
（1） {X, 0/ , {x}, {y, z}}； （2） {X, 0/ , {x, y}, {x, z}}； （3） {X, 0/ , {x, y}, {x, z}, {y, z}}．
– 又 x ∈ Y ，所以 x ∈ DX (A) ∩Y ． – 反之，任取 x ∈ DX (A) ∩Y ，则存在 x 在 X 中的邻域 U 使得 U ∩ (A \ {x}) ̸= 0/ ． – 因 A ⊆ Y ，所以 U ∩(A\{x}) = U ∩(Y ∩ (A \ {x})) = (U ∩Y )∩(A\{x}) ̸= 0/ ，因此 x ∈ DY (A)．
– 由于 B = X，所以 A = A ∩ B = A ∩ B．又由于 A = X，得 X = A ∩ B，因此 A ∩ B 稠密．
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连续映射 练习 18 (1.).
• 设 f : X → Y ，证明下列命题等价：
（1） f 连续；
（2） 对 X 的每一子集 A，有 f (A−) ⊆ [ f (A)]−； （3） 对 Y 中的每一子集 B，有 f −1(B−) ⊇ [ f −1(B)]−； （4） 对 Y 中的每一子集 B，有 f −1(B◦) ⊆ [ f −1(B)]◦．
练习 10 (10.). • 设 A1, · · · , An 都是 X 的闭集，并且 A1 ∪ · · · ∪ An = X，B ⊆ X，则 B 是 X 的闭 集当且仅当对每个 i，B ∩ Ai 是 Ai 的闭集．
证明
• 如果 B 是 X 的闭集，则 B ∩ Ai 是 Ai 的闭集．
– 反之，如果每个 B ∩ Ai 都是 Ai 的闭集，则 B ∩ Ai 是 X 的闭集与 Ai 的交集． – 又因为 Ai 是 X 的闭集，所以每个 B ∩ Ai 都是 X 的闭集，从而 B = B ∩ X = (B ∩ A1) ∪
证明 （1）
– 由上题得：ClA(B) = DA(B) ∪ B = (DX (B) ∩ A) ∪ ((B ∩ A))=c (DX (B) ∪ B) ∩ A = ClX (B) ∩ A. （2） · A\A\B ⊆ A\(A\B) = B，且 A\A\B = A ∩ A\B 是 A 的开集，所以 A\A\B ⊆ B◦A．
· 另一方面，任取 x ∈ B◦A，则存在 x 在 X 中的邻域 U 使得 U ∩ A ⊆ B． · 于是，U ∩ (A\B) = (U ∩ A) ∩ (A\B) = 0/ ，所以 x ∈/ A\B，因此 x ∈ A\A\B．
证明（续） ( )c
（3） – 如果 A 是开集，则由上面的结论可知 B◦A = A\A\B = A ∩ A\B 是 X 的开集，从而 B◦A ⊆ B◦． * 另一方面，任取 x ∈ B◦，则存在 x 在 X 中的开邻域 U 满足 U ⊆ B．
练习 17 (17.). • 若 A, B 都是 X 的稠密子集，并且 A 是开集，则 A ∩ B 也是 X 的稠密子集． 证明
• 如果 A 是开集，则有 A ∩ B = A ∩ B．
– 事实上，任取 x ∈ A ∩ B，则对 x 的任意的邻域 Ux 有 Ux ∩ (A ∩ B) ̸= 0/ ． * 任取 y ∈ Ux ∩A∩B，则因 y ∈ B 且 Ux ∩A 是 y 的邻域，有 Ux ∩(A∩B) = (Ux ∩A)∩B ̸= 0/ ， 从而可知 x ∈ A ∩ B，这样我们就证明了 A ∩ B ⊆ A ∩ B． * 相反的包含式是显然的．
练习 16 (16.). • 证明：如果 A 是 B 的稠密子集，B 是 X 的稠密子集，则 A 是 X 的稠密子集． 证明
• 由于 A 在 B 中稠密，所以 A− ∩ B = A−B = B，于是 B ⊆ A−． – 两边取闭包得 B− ⊆ A−− = A−． – 另一方面，B 在 X 中稠密，所以 B− = X． – 于是有 X = B− ⊆ A− ⊆ X，因此 A− = X．
– 其次 {0} × [−1, 1] ⊆ A−，因为 ∀x ∈ [−1, 1]，点 (0, x) 的任何邻域与 A 有交；
– 最后，显然 A ⊆ A−．
–
除此之外，其它的点都有邻域和
A
无交，所以
A−
=
({0}
×
[−1,
1])
∪
{( x,
sin
1 x
)
:
x
∈
(0,
1]}．
2
练习 7 (7.). 证明
4
练习 14 (14.). • 在 R 上规定拓扑 τ = {(−∞, a)|a ∈ R ∪ {+∞, −∞}}，则这个拓扑空间是可分的． 证明
• 有理数集显然是稠密子集．
可分性 练习 15 (15.). 证明
• 证明：A 是 X 的稠密子集当且仅当 X 的每个非空开集与 A 相交．
• 提示：X 的每个点都是 A 的闭包点．
(
)
f f −1(B) ⊆ f [ f −1(B)]−1
() B
⊇
(
)
f −1 ◦ f f −1(B) ⊇
f −1(B)．
证明：（3）⇒（1）
•
假设对
Y
的每一个子集
B，有
f
−1
() B
⊇
f −1(B)．
– 则对 Y 的闭子集 F 有
f −1(F)
=
f −1
() F
⊇
f −1(F)
⊇
· · · ∪ (B ∩ An) 是 X 的闭集．
3
练习 11 (11.). • 设 Y 是 X 的子空间，x ∈ Y ，则 x ∈ DY (A) 当且仅当 x ∈ DX (A)，即 DY (A) = DX (A) ∩Y ，这里，DY (A) 表示 A 在 Y 中的导集．
证明
• 任取 x ∈ DY (A)，则对 x 在 X 中的任意邻域 U 有 (U ∩Y )∩(A \ {x}) ̸= 0/ ，所以 U ∩ (A \{x}) ̸= 0/ ， 从而 x ∈ DX (A)．
· 这个 U = U ∩ A 也是 x 在 A 中的开邻域，因此 x ∈ B◦A．
练习 13 (13.). a．
证明
• 余可数拓扑空间 X 的序列 {xn} 收敛于 a 的充分必要条件是该序列的尾部是
• 如果 {xn} 的尾部是 a，则 {xn} 显然收敛于 a；
– 如果 xn 收敛于 a，取 a 邻域 U = (X\{xn|n ∈ N}) ∪ {a}，则当 n 充分大时，xn 在 U 内， 即存在 N ∈ N，使得当 n > N 时，有 xn ∈ U，从而 xn = a．
练习 12 (12.). • 设 Y 为拓扑空间 X 的子空间，B ⊆ A．证明：
（1） ClA(B) = ClX((B) ∩)A，这里，ClA(B) 表示 B 在 A 中的闭包． （2） B◦A = A\ A\B ，这里 B◦A 表示 B 在 A 中的内部．； （3） 如果 A 是 X 的开集，则 B◦A = B◦，
尤承业基础拓扑学讲义部分课后习题参考答案（第二版）
数学与统计学学院 December 24, 2015
1 第 20-21 页（拓扑空间）
练习 1 (1.). 解
• 写出集合 X = {a, b} 上的所有拓扑．
• τ1 = {0/ , X}；
– τ2 = {{a}, {b}, 0/ , X}； – τ3 = {{a}, 0/ , X}； – τ4 = {{b}, 0/ , X}．
x，所以
y ∈/ A−；
– 综上所述，A− = [x, +∞)．
练习 8 (8.). • 在度量空间 (X, d) 中，记 B[x, r] = {y ∈ X|d(x, y) ≤ r}，则 B[x, r] 是闭集， 但 B[x, r] ̸= B(x, r)．
证明
•
任取 a ∈/ B[x, r]，令 r0 = 是闭集．
– 任取 U ⊆ τ，则
(
)
∪ (A ∪U) = A ∪
∪ U
∈ τ′.
U ∈U
U ∈U
练习 5 (4.). • 证明 X 上任意一族拓扑之交仍是 X 上的拓扑． 证明
• 设 {τλ |λ ∈ Λ} 是 X 的一族拓扑，τ = ∩ τλ ．
λ ∈Λ
1. 显然 0/ , X ∈ τ；
(a) 任取 U1,U2 ∈ τ，则对任意的 λ ∈ Λ 有 U1,U2 ∈ τλ ．由于 τλ 是拓扑，有 U1 ∩U2 ∈ τλ ，
解
（1） 是．
（2） 不是．添加 {x}． （3） 不是．添加 {x}, {y}, {z}．
练习 3 (3.). 证明
• 在 R 上规定子集族 τ = {(−∞, a)|a ∈ R} ∪ {0/ , R}，则 τ 是拓扑．
• 只需证明 τ 对有限交和任意并是封闭的．
– 显然对任意两个实数 a, b，不妨假设 a ≤ b，则 (−∞, a) ∩ (−∞, b) = (−∞, a) ∈ τ．
5
证明：（1）⇒（2）
•
假设对 Y
的任意闭集
F， f −1(F)
是
X
的闭集．下证对
X
的任意子集
A，有