四边形综合题1、已知：在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2.（1）如图①，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积； （2）如图②，当四边形EFGH 为菱形，且BF = a 时，求△GFC 的面积.（用含a 的代数式）2、已知点E 是正方形ABCD 外的一点，EA=ED ，线段BE 与对角线AC 相交于点F ， （1）如图1，当BF=EF 时，线段AF 与DE 之间有怎样的数量关系？并证明；（2）如图2，当△EAD 为等边三角形时，写出线段AF 、BF 、EF 之间的一个数量关系，并证明．D(图1)FD CA BE(图2)FHG图1图23、如图，直线y =+与x 轴相交于点A，与直线y =相交于点P . (1) 求点P 的坐标.(2) 请判断△OPA 的形状并说明理由.(3) 动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿着O P A →→的路线向点A 匀速运动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF x ⊥轴于F ，EB y ⊥轴于B .设运动t 秒时，矩形EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为S .求S 与t 之间的函数关系式.4、如图，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，CB ∥OA ，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°,动点P 从点O 出发，在梯形OABC 的边上运动，路径为O →A →B →C ，到达点C 时停止．作直线CP. （1）求梯形OABC 的面积；（2）当直线CP 把梯形OABC 的面积分成相等的两部分时，求直线CP 的解析式； （3）当∆OCP 是等腰三角形时，请写出点P 的坐标（不要求过程，只需写出结果）O ABC Pxy五、27．如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = CD ，BC = 8，60B ∠=︒，点M 是边BC 的中点，点E 、F 分别是边AB 、CD 上的两个动点（点E 与点A 、B 不重合，点F 与点C 、D 不重合），且120EMF ∠=︒． （1）求证：ME = MF ；（2）试判断当点E 、F 分别在边AB 、CD 上移动时，五边形AEMFD 的面积的大小是否会改变，请证明你的结论；（3）如果点E 、F 恰好是边AB 、CD 的中点，求边AD的长．A B C DM E F （第27题图） A BCD ME F （备用图）3（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O ﹣C ﹣A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒)0( t ．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是QA=QP 的等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．3∴y ＝－x +7，0＝x +7，∴x ＝7，∴B 点坐标为：（7，0），----------------------------1分 ∵y ＝－x +7＝x 34，解得x ＝3，∴y ＝4，∴A 点坐标为：（3，4）；-------------------1分 （2）①当0＜t ＜4时，PO ＝t ，PC ＝4－t ，BR ＝t ，OR ＝7－t ，--------------1分 过点A 作AM ⊥x 轴于点M∵当以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8，∴S 梯形ACOB －S △ACP －S △POR －S △ARB ＝8， ∴21（AC +BO ）×CO －21AC ×CP －21PO ×RO －21AM ×BR ＝8， ∴（AC +BO ）×CO －AC ×CP －PO ×RO －AM ×BR ＝16，∴（3+7）×4－3×（4－t ）－t ×（7－t ）－4t ＝16，∴t 2－8t +12＝0. -----------------1分 解得t 1＝2，t 2＝6（舍去）. --------------------------------------------------------------------1分 当4≤t ≤7时，S △APR ＝21AP ×OC =2（7－t ）＝8，t=3(舍去)；--------------1分 ∴当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8； ②存在．当0＜t ≤4时,直线l 与AB 相交于Q ，∵一次函数y ＝－x +7与x 轴交于B （7，0）点，与y 轴交于N （0，7）点，∴NO ＝OB ，∴∠OBN ＝∠ONB ＝45°.∵直线l ∥y 轴，∴RQ ＝RB=t ，AM=BM=4∴QB=t 2,AQ=t 224-----------------1分 ∵RB ＝OP ＝QR ＝t ，∴PQ//OR,PQ=OR=7-t --------------------------------------1分 ∵以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，且QP =QA ，∴7-t=t 224-，t=1-32（舍去）--------------------------------------------1分 当4＜t ≤7时，直线l 与O A 相交于Q ，若QP ＝QA ，则t －4+2（t －4）＝3，解得t ＝5；---------------------------------------1分 ∴当t =5，存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是PQ ＝AQ 的等腰三角形．已知边长为1的正方形ABCD 中， P 是对角线AC 上的一个动点（与点A 、C 不重合）， 过点P 作 PE ⊥PB ，PE 交射线DC 于点E ，过点E 作EF ⊥AC ，垂足为点F . （1）当点E 落在线段CD 上时（如图10），① 求证：PB=PE ；② 在点P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值， 若变化，试说明理由；（2）当点E 落在线段DC 的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形？如果能，试求出AP 的长，如果不能，试说明理由．D CAE P 。

F（图10）DCBA （备用图）27．（1）① 证：过P 作MN ⊥AB ，交AB 于点M ，交CD 于点N∵正方形ABCD ，∴ PM=AM ，MN=AB ，从而 MB=PN ………………………………（2分） ∴ △PMB ≌△PNE ，从而 PB=PE …………（2分） ② 解：PF 的长度不会发生变化，设O 为AC 中点，联结PO ，∵正方形ABCD ， ∴ BO ⊥AC ，…………（1分） 从而∠PBO =∠EPF ，……………………（1分） ∴ △POB ≌△PEF ， 从而 PF=BO 22=…………（2分）（2）图略，上述（1）中的结论仍然成立；…………（1分）（1分） （3）当点E 落在线段CD 上时，∠PEC 是钝角，从而要使⊿PEC 为等腰三角形，只能EP=EC ，…………（1分）这时，PF=FC ，∴ 2==AC PC ，点P 与点A 重合，与已知不符。

……（1分） 当点E 落在线段DC 的延长线上时，∠PCE 是钝角，从而要使⊿PEC 为等腰三角形，只能CP=CE ，…………（1分）设AP=x ，则x PC -=2，22-=-=x PC PF CF ，又 CF CE 2=，∴)22(22-=-x x ，解得x =1. …………（1分）综上，AP =1时，⊿PEC 为等腰三角形27．解：（1）AF +CE = EF．…………………………………………………………（1分）在正方形ABCD中，CD = AD，∠ADC = 90°，即得∠ADF +∠EDC = 90°．…………………………………………（1分）∵AF⊥EF，CE⊥EF，∴∠AFD =∠DEC = 90°．∴∠ADF +∠DAF = 90°．∴∠DAF =∠EDC．又由AD = DC，∠AFD =∠DEC，得△ADF≌△DCE．……………（1分）∴DF = CE，AF = DE．∴AF +CE = EF．………………………………………………………（1分）（2）由（1）的证明，可知△ADF≌△DCE．∴DF = CE，AF = DE．…………………………………………………（1分）由CE = x，AF = y，得DE = y．于是，在Rt△CDE中，CD = 2，利用勾股定理，得222+=，即得224CE DE CD+=．x y∴y1分）∴所求函数解析式为y0x<<1分）（3）当x =1时，得y1分）即得DE=又∵DF = CE = 1，EF = DE–DF，∴1EF=．………………（1分）25．已知：梯形ABCD 中，AB//CD ，BC ⊥AB ，AB =AD ，联结BD （如图1）．点P 沿梯形的边,从点A B C D A →→→→移动，设点P 移动的距离为x ，BP =y . （1） 求证：∠A =2∠CBD ；（2） 当点P 从点A 移动到点C 时，y 与x 的函数关系如图2中的折线MNQ 所示．试求CD 的长；（3） 在（2）的情况下，点P 从点A B C D A →→→→移动的过程中，△BDP 是否可能为等腰三角形？若能，请求出所有能使△BDP 为等腰三角形的x 的取值；若不能，请说明理由．ABCD（图1）x四、25．(1) 证明：∵AB=AD,∴∠ADB ＝∠ABD,---------- --------------------------1分 又∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°,∴∠A=180°-∠ABD-∠ADB=180°-2∠ABD=2(90°-∠ABD) --------1分 ∵BC ⊥AB ，∴∠ABD+∠CBD ＝90°，即∠CBD=90°-∠ABD--------1分∴∠A=2∠CBD----------------------------------------------------------------------1分 （2）解：由点M （0，5）得AB=5,---------------------------------------------------------1分 由点Q 点的横坐标是8，得AB+BC=8时，∴BC=3------------------------1分 作DH ⊥AB 于H ，∵AD=5，DH=BC=3，∴AH=4，∵AH= AB-DC ，∴DC=AB-AH=5-4=1------------------------------------------1分(3)解：情况一：点P 在AB 边上，作DH ⊥AB,当PH=BH 时，△BDP 是等腰三角形，此时，PH=BH=DC=1，∴x=AB-AP=5-2=3----------------------1分情况二：点P 在BC 边上，当DP=BP 时△BDP 是等腰三角形，此时，BP=x-5，CP=8-x,∵在Rt △DCP 中，CD 2+CP 2=DP 2,即221(8)(5)x x +-=-，∴203x =----------------------------------1分 情况三：点P 在CD 边上时，△BDP 不可能为等腰三角形 情况四：点P 在AD 边上，有三种情况1°作BK ⊥AD,当DK=P 1K 时， △BDP 为等腰三角形，此时，∵AB=AD,∴∠ADB ＝∠ABD, 又∵AB//DC,∴∠CDB ＝∠ABD ∴∠ADB ＝∠CDB,∴∠KBD ＝∠CBD,∴KD =CD=1,∴DP 1=2DK=2 ∴x=AB+BC+CD+DP 1=5+3+1+2=11------------------------------------1分 2°当DP 2=DB 时△BDP 为等腰三角形，此时，x=AB+BC+CD+DP 2=9+-----------------------------------1分3°当点P 与点A 重合时△BDP 为等腰三角形，此时x=0或14（注：只写一个就算对）------------------------------1分HP A B C D A B C D P A B C D A BCD P 1P 2 K28、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90A ，4==MB AM ，5=AD ，11=BC ，点P 在线段BC 上，点P 与B 、C 不重合，设x BP =，MPD ∆的面积为y（1）求梯形ABCD 的面积（2）写出y 与x 的函数关系式，并指出x 的取值范围 （3）x 为何值时，ABCD MPD S S 梯形41=∆第28题图26．直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠D ＝90°，AD=CD =4，∠B ＝45°，点E 为直线DC上一点，联接AE ，作EF AE 交直线CB 于点F ．（1）若点E 为线段DC 上一点（与点D 、C 不重合），（如图1所示），① 求证：∠DAE ＝∠CEF ； ② 求证：AE=EF ； （2）联接AF ，若△AEF 的面积为217，求线段CE 的长(直接写出结果，不需要过程)．（第26题图1）ＢＡＣＦＤＥ（第26题备用图）ＢＡＣＤ解：（1）∵EF AE∴∠DEA+∠CEF=90° (1)∵∠D ＝90°∴∠DEA+∠DAE=90° (1)∴∠DAE ＝∠CEF ………………………………………1 （2）在DA 上截取DG=DE ，联接EG , ………………………1 ∵AD=CD ∴AG=CE ∵∠D ＝90° ∴∠DGE ＝45° ∴∠A GE ＝135° ∵AB ∥DC ，∠B ＝45° ∴∠ECF ＝135° ∴∠A GE ＝∠ECF∵∠DAE ＝∠CEF∴AGE Δ≌ECF Δ ................................................2 ∴AE=EF ................................................1 (3)求出CE =3 ................................................1 求出CE =5 (2)（第26题图1）ＣＦ Ｄ Ｅ G（第27题图）PNM DCBA 27．已知：如图，矩形纸片ABCD 的边AD =3，CD =2，点P 是边CD 上的一个动点（不与点C 重合，把这张矩形纸片折叠，使点B 落在点P 的位置上，折痕交边AD 与点M ，折痕交边BC 于点N .（1）写出图中的全等三角形. 设CP =x ，AM =y ，写出y 与x 的函数关系式；（2）试判断∠BMP 是否可能等于90°. 如果可能，请求出此时CP 的长；如果不可能，请说明理由.27．（1） ⊿MBN ≌⊿MPN (1)∵⊿MBN ≌⊿MPN ∴MB=MP,∴22MP MB = ∵矩形ABCD∴AD=CD (矩形的对边相等) ∴∠A=∠D=90°(矩形四个内角都是直角) ………………………………1 ∵AD=3, CD=2, CP=x, AM=y∴DP=2-x, MD=3-y ………………………………1 Rt ⊿ABM 中，42222+=+=y AB AM MB同理 22222)2()3(x y PD MD MP -+-=+= (1)222)2()3(4x y y -+-=+ (1)∴ 6942+-=x x y ………………………………1 （3）︒=∠90BMP ………………………………1 当︒=∠90BMP 时，可证DMP ABM ∆≅∆ ………………………………1 ∴ AM=CP ，AB=DM∴ 1,32=-=y y ………………………………1 ∴ 1,21=-=x x ………………………………1 ∴当CM=1时，︒=∠90BMP6．如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.（1）求AD的长；（2）设CP=x，△PD Q的面积为y，求出y与x的函数解析式，并求出函数的定义域；（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PD Q M是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.6、（1）AD=5 (2) (0＜X ≤5) （3）BM=0.526．已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ， 90=∠A ， 45=∠C ，4==AD AB ．E 是直线AD 上一点，联结BE ，过点E 作BE EF ⊥交直线CD 于点F ．联结BF ． （1）若点E 是线段AD 上一点（与点A 、D 不重合），（如图1所示）①求证：EF BE =．②设x DE =，△BEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出此函数的定义域． （2）直线AD 上是否存在一点E ，使△BEF 是△ABE 面积的3倍，若存在，直接写出DE 的长，若不存在，请说明理由．x x y 439432+-=（第26题图1）FEDCBA（第26题备用图） DCBA26．（1）①证明：在AB 上截取AE AG =，联结EG .∴AEG AGE ∠=∠.又∵∠A ＝90°，∠A ＋∠AGE ＋∠AEG ＝180°.∴∠AGE ＝45°. ∴∠BGE ＝135°. ∵AD ∥BC .∴∠C ＋∠D ＝180°.又∵∠C ＝45°. ∴∠D ＝135°.∴∠BGE ＝∠D . ……………………………………………………………………1分 ∵AD AB =，AE AG =.∴DE BG =. …………………………………………………………………………1分∵BE EF ⊥.∴∠BEF ＝90°.又∵∠A ＋∠ABE ＋∠AEB ＝180°，∠AEB ＋∠BEF ＋∠DEF ＝180°， ∠A ＝90°.∴∠ABE ＝∠DEF . …………………………………………………………………1分 ∴△BGE ≌△EDF . …………………………………………………………………1分 ∴EF BE =.（1）②y 关于x 的函数解析式为：23282+-=x x y .………………………………………1分此函数的定义域为：40<<x (1)分（2）存在.………………………………………………………………………………1分 Ⅰ当点E 在线段AD 上时，522±-=DE （负值舍去）. ……………………1分 Ⅱ当点E 在线段AD 延长线上时，522±=DE （负值舍去）. ………………1分 Ⅲ当点E 在线段DA 延长线上时，5210±=DE . ………………………………1分∴DE 的长为252-、252+或5210±.26．如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A（10,0）、C（0,8），CB=4，D为OA中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒．（1）求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上；（2）动点P在从A到B的移动过程中，设⊿APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围；（3）几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1:3的两部分？求出此时点P的坐标.第26题图26．（1）点B 坐标为（4,8）()()108041022=-+-=AB …………………………………1分由 28410105+++=+t ，得t=11 …………………………………1分此时点P 在CB 上 …………………………………1分 （2）证法一：作OF ⊥AB 于F ，BE ⊥OA 于E ，DH ⊥AB 于H ， 则 BE=OC =8∵ OF AB BE OA ⋅=⋅,∴ 8==BE OF ,DH =4. …………1分 ∴ t t S 2421=⨯⨯=（0≤t ≤10） …………1分 证法二 ∵AB AP S S ABD APD =∆∆，∴108521tS =⨯⨯…………1分即 t S 2= （0≤t ≤10） …………1分 （3）点P 只能在AB 或OC 上，（ⅰ）当点P 在AB 上时，设点P 的坐标为（x ，y ）由COAB APD S S 梯形41=∆ 得14521=⨯⨯y ，得y =528 由 142=t ，得t =7.由 ()495281022=⎪⎭⎫⎝⎛+-x ，得529=x . 即在7秒时有点)535,545(1P ；………………………………1分 （ⅱ）当点P 在OC 上时，设点P 的坐标为（0，y ）由COAB OPD S S 梯形41=∆ 得14521=⨯⨯y ，得y =528 此时t =5216)5288(14=-+. 即在1652秒时，有点)535,0(2P .………………………………1分故在7秒时有点)535,545(1P 、在1652秒时，有点)535,0(2P 使PD 将梯形COAB 的面积分成1:3的两部分. ………………………………1分五、（本大题只有1题，第(1)(2) 每小题4分，第 (3)小题2分，满分10分） 26．菱形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 边上，且EAF B ∠=∠． （1）如果B ∠=60°，求证：AE AF =；（2）如果B α∠=，（0°α<<90°）(1)中的结论：AE AF =是否依然成立，请说明理由；（3）如果AB 长为5，菱形ABCD 面积为20，设BE x =，AE y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．26．(1)联结对角线AC ， ……………………………………………（1分） 在菱形ABCD 中，AB =BC =CD =DA ，B D ∠=∠=60°，∴△ABC 和△ACD 都是等边三角形，………………………………（1分） ∴AB =AC , BAC ∠=60°，ACD ∠=60°． ∵EAF ∠=60°，∴FAC ∠=60°EAC -∠．又∵BAE ∠=60°EAC -∠，∴FAC ∠=BAE ∠．…………………（1分） 又∵B ACD ∠=∠，AB =AC ,∴△ABE ≌△ACF ，∴AE AF =．…………………………………（1分） (2)过点A 点作AG ⊥BC ，作AH ⊥CD ，垂足分别为G ，H ，……（1分） 则AG =AH ．在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，∴EAF B ∠=∠=180°C -∠， 又∵GAH ∠=360°AGC AHC C -∠-∠-∠=180°C -∠，∴GAH ∠=EAF ∠．…………………………………………………（1分） ∴GAE HAF ∠=∠．…………………………………………………（1分） 又∵AGE AHF ∠=∠，AG =AH ,∴△AGE ≌△AHF ，∴AE AF =．…………………………………（1分） (3) 作法同（2），由面积公式可得，AG = 4,在Rt △AGB 中，222BG AG AB +=， ∴BG = 3, 3EG x =-， 在Rt △AGE 中，222AG EG AE +=，即2224(3)x y +-=．y (15)x ≤≤ ……………………………………（2分）25.（本题满分8分，第（1）小题2分；第（2）小题各3分；第（3）小题3分）已知：如图7.四边形ABCD 是菱形，6=AB ，︒=∠=∠60MAN B .绕顶点A 逆时针旋转MAN ∠，边AM 与射线BC 相交于点E （点E 与点B 不重合），边AN 与射线CD 相交于点F .（1）当点E 在线段BC 上时，求证：CF BE =；（2）设x BE =，ADF △的面积为y .当点E 在线段BC 上时，求y 与x 之间的函数关系式，写出函数的定义域；（3）联结BD ，如果以A 、B 、F 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE 的长.A M N D CB E F （图7） A B （备用图）25.解：（1）联结AC （如图1）.由四边形ABCD 是菱形，︒=∠60B ，易得： BC BA =，︒=∠=∠60DAC BAC , ︒=∠=∠60ACD ACB . ∴ABC △是等边三角形. ∴AC AB =.…………………………1分 又∵︒=∠+∠60MAC BAE ，︒=∠+∠60MAC CAF ，∴ CAF BAE ∠=∠.…………1分 在ABE △和ACF △中，∵CAF BAE ∠=∠，AC AB =，ACF B ∠=∠， ∴ABE △≌ACF △（A.S.A ）.∴CF BE =.………………………………1分（2）过点A 作CD AH ⊥，垂足为H （如图2）在ADH △Rt 中，︒=∠60D ，︒=︒-︒=∠306090DAH ， ∴362121=⨯==AD DH . 33362222=-=-=DH AD AH .………………1分又x BE CF ==，x DF -=6， ∴)33()6(21⨯-⨯=x y ， 即 39233+-=x y （60<<x ）.……2分 （3）如图3，联结BD ，易得 ︒=∠=∠3021ADC ADB . 当四边形BDFA 是平行四边形时，AF ∥BD .∴ ︒=∠=∠30ADC FAD .…………………………1分 ∴︒=︒-︒=∠303060DAE ，︒=︒-︒=∠9030120BAE . 在ABE △Rt 中，︒=∠60B ，︒=∠30BEA ，6=AB . 易得：12622=⨯==AB BE .…………………………1分AM NCB EF（第25题图1） AMNDCBE F（第25题图2） HANDCBEF（第25题图3）27．解：（1）在正方形ABCD 中，BC = CD ，∠BCD =∠DCE = 90°．……………（1分）∵ BF ⊥DE ，∴ ∠GFD = 90°．即得 ∠BGC =∠DEC ，∠GAC =∠EDC ．…………………………（1分） 在△BCG 和△DCE 中， ,,,GBC EDC BC DC BGC EDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △BCG ≌△DCE （A ．S ．A ）．…………………………………（1分） ∴ GC = EC ．即得 ∠CEG = 45°．…………………………………………………（1分） （2）在Rt △BCG 中，BC = 4，BG =利用勾股定理，得 CG = 2．∴ CE = 2，DG = 2，即得 BE = 6．………………………………（1分） ∴ AEG ABE ADG DEG ABED S S S S S ∆∆∆∆=---四边形11114646424222222=+⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯（） = 2．…………………………………………………………（2分）（3）由 AM ⊥BF ，BF ⊥DE ，易得 AM // DE ．于是，由 AD // BC ，可知四边形AMED 是平行四边形． ∴ AD = ME = 4．由 CE = x ，得 MC = 4 -x ．∴ 1144421622AMCD y S AD MC CD x x ==+⋅=+-⨯=-+梯形（）（）．即 216y x =-+．……………………………………………………（2分） 定义域为 0 < x ≤4．………………………………………………… （1分）25、（本题8分）已知直角坐标平面上点A ()0,2，P 是函数()0>=x x y 图像上一点，PQ ⊥AP 交y 轴正半轴于点Q （如图）. （1）试证明：AP =PQ ； （2）设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，那么b 关于a 的函数关系式是_______； （3）当APQ AOQ S S ∆∆=32时，求点P 的坐标.25、证：（1）过P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为H 、T ，∵点P 在函数x y =()0>x 的图像上，∴PH =PT ，PH ⊥PT ，---------------------------------------------------（1分）又∵AP ⊥PQ ，∴∠APH =∠QPT ，又∠PHA =∠PTQ ，∴⊿PHA ≌⊿PTQ , ------------------------------------------------------（1分）∴AP =PQ . ---------------------------------------------------------------（1分） (2)22-=a b . -------------------------------------------------------------（2分）（3）由（1）、（2）知，2221-=⨯=∆a OQ OA S AOQ ， 222122+-==∆a a AP S APQ，------------（1分） ∴()2232222+-=-a a a ， 解得255±=a ，--------------------------------------------------------（1分） 所以点P 的坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--255,255与⎪⎪⎭⎫⎝⎛++255,255.---（1分）25、（本题8分）已知直角坐标平面上点A ()0,2，P 是函数()0>=x x y 图像上一点，PQ ⊥AP 交y 轴正半轴于点Q （如图）. （1）试证明：AP =PQ ； （2）设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，那么b 关于a 的函数关系式是_______； （3）当APQ AOQ S S ∆∆=32时，求点P 的坐标.25、证：（1）过P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为H 、T ，∵点P 在函数x y =()0>x 的图像上，∴PH =PT ，PH ⊥PT ，---------------------------------------------------（1分）又∵AP ⊥PQ ，∴∠APH =∠QPT ，又∠PHA =∠PTQ ，∴⊿PHA ≌⊿PTQ , ------------------------------------------------------（1分）∴AP =PQ . ---------------------------------------------------------------（1分） (2)22-=a b . -------------------------------------------------------------（2分）（3）由（1）、（2）知，2221-=⨯=∆a OQ OA S AOQ ， 222122+-==∆a a AP S APQ，------------（1分） ∴()2232222+-=-a a a ， 解得255±=a ，--------------------------------------------------------（1分） 所以点P 的坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--255,255与⎪⎪⎭⎫⎝⎛++255,255.---（1分）26．（本题满分10分）已知：在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2.（1）如图①，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（5分）（2）如图②，当四边形EFGH 为菱形，且BF = a 时，求△GFC 的面积（用含a 的代数式表示）；（5分）D(第26题图1)FDCA BE(第26题图2)FHG26．解：（1）如图①，过点G 作GM BC ⊥于M . …………………………………………（1分）在正方形EFGH 中，90,HEF EH EF ∠==. …………………………………………………………（1分）90.90,.AEH BEF AEH AHE AHE BEF ∴∠+∠=∠+∠=∴∠=∠又∵90A B ∠=∠=，∴⊿AH E ≌⊿BEF …………………………………………………………（1分）同理可证：⊿MFG ≌⊿BEF . …………………………………………………………（1分） ∴GM=BF=AE =2.∴FC=BC-BF =10. …………………………………………………………（1分） （2）如图②，过点G作GM BC ⊥于M .连接HF . …………………………………………（1分）//,.//,.AD BC AHF MFH EH FG EHF GFH ∴∠=∠∴∠=∠.AHE MFG ∴∠=∠ …………………………………………………（1分）又90,,A GMF EH GF ∠=∠==∴⊿AHE ≌⊿MFG . ………………………………………………………（1分）∴GM=AE =2. ……………………………………………………………（1分）11(12)12.22GFCSFC GM a a ∴=⋅=-=- …………………………………………（1分）。