空间与酉空间通称为内积空间。
例 1 设 C n 是 n 维复向量空间，任取
( a 1 ,a 2 , ,a n ) , ( b 1 ,b 2 , ,b n )
规定
(,) : () T a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n
容易验证 ( , ) 是 C n 上的一个内积，从
,
0,
0

2
2 2


1 , 6
1, 6
2 6
,
0

3
3 3



2
1 3
,
2
1 3
,
2
1 3
,
2
3 3

那么 1,2,3 即为所求的标准正交向量组。
例 2 求下面齐次线性方程组
x1 x2 x3 x4 0 x1 2x2 3x3 4x4 0 2x1 3x2 4x3 5x4 0
定理：向量组 i 为正交向量组的充分必要
条件是
(i,j)0, ij
;向量组 i 为标准正交向量组的充分必要条
件是
1 ij
(i,j)ij
{ 0
ij
定理：正交的向量组是一个线性无关的向量 组。反之，由一个线性无关的向量组出发可 以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正 交向量组。
而C n 成为一个酉空间。
例 2 设 C [ a , b ] 表示闭区间 [ a , b ] 上的所有
连续复值函数组成的线性空间，定义
b
(f,g):a f(x)g(x)dx
容易验证 ( , ) 是 C [ a , b ] 上的一个内
积，于是 C [ a , b ] 便成为一个酉空间。
例 3 在 n 2 维线性空间 C n n 中，规定
1


r , r1 r1, r1
r 1
容易验证 1,2, ,r 是一个正交向量组。
第二步 单位化
1 1 1,2 2 2,
,r r r
显然1,2, ,r 是一个标准的正交向量组。
例 1 运用正交化与单位化过程将向量组
化1 为 标 1 准, 1 , 正0 , 交0 向, 量2 组 。 1 , 0 , 1 , 0 ,3 1 , 0 , 0 , 1
其解空间的一个标准正交基底。
解： 先求出其一个基础解系
X 1 1 , 2 ,0 ,1 ,X 2 2 , 3 ,0 ,1
下面对 X 1, X 2 进行正交化与单位化：
1 X1
2

X2

(X 2,1) (1, 1)
1


2 3
,

1 , 3
4 3
,
1
(1) (12i,i,3,2 2i) (2) (1,2,3,4)
解： 根据上面的公式可知
5196 21
14916 30
一般地，我们有: 对于 C n 中的任意向量
(a1,a2, ,an)
其长度为
n

ai 2
i 1
这里 a i 表示复数 a i 的模。
2] 3
与向量组
1[cos,0,isin],2[0,1,0] 3[isin,0,cos]
都是标准正交向量组。
定义：在 n 维内积空间中，由 n 个正交向 量组成的基底称为正交基底；由 n 个标准的
正交向量组成的基底称为标准正交基底。
注意：标准正交基底不唯一。在上面的例题 中可以发现这一问题。
n
1
gn2
g
nn

称 G 为基底 i 的度量矩阵，而且
gij gij, (G)T G
定义：设 ACnn，用 A 表示以 A
的共轭复数为元素组成的矩阵，记
的元素
AH ( A)T
则称 A H 为 A 的复共轭转置矩阵。不难验证
复共轭转置矩阵满足下列性质：
(1) A H ( AT ) (2) (A B)H AH B H (3) (kA)H k AH (4) ( AB)H B H AH
(A,B):Tr(ABH) 其中B H 表示 B 中所有元素取共轭复数后再
转置，容易验证 ( , ) 是 C n n 上的一 个内积，从而 C n n 连同这个内积一起成为
酉空间。
内积空间的基本性质：
欧氏空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , )
(2) ( , ) ( , ) ( , )
t
t
( 3) ( k i i , ) k i ( i , )
i1
i1
t
t
( 4 ) ( , k i i ) k i ( , i )
i1
i1
酉空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , )
(2 ) ( , ) ( , ) ( , )
(3) ( , ) (, ) (, )
(4) (,) 0
这里 , , 是 V 中任意向量，k 为任意实数
，只有当 0 时 (,) 0 ，我们称带有
这样内积的 n 维线性空间 V 为欧氏空间。
例 1 在 R n 中，对于
( x 1 ,x 2 , ,x n ) , ( y 1 ,y 2 , ,y n )
解：先正交化
1 1 1,1,0,0
2
2

2,1 1,1
1

12
1

3,2 2,2
2

13,
1, 3
13,1
再单位化
1
1 1


1, 2
1 2
t
t
( 3 ) ( k i i , ) k i ( i , )
i1
i1
t
t
( 4 ) ( , k i i ) k i ( , i )
i1
i1
定义：设 V 是 n 维酉空间， i 为其一组
基底，对于V 中的任意两个向量
n
xii,
4i 2 i 4 2i
(1)

2

i
i
1

4 2 i 1 2 i
6 1 2i 3i
( 2 ) 1 2 i
9
1

i

3 i 1 i 7
0 1 i 8i
(3)


1

i
0
4

i

8 i 4 i 0
(5) ( A k )H ( A H )k (6) ( A H )H A (7) A A (8) ( A H )1 ( A 1)H
定义：设 ACnn ,如果 AH A ，那么称 A 为Hermite矩阵；如果 AH A，那么
称 A 为反Hermite矩阵。
例 判断下列矩阵是H-阵还是反H-阵。
这样 C [ a , b ] 对于这个内积成为一个欧氏空间。
定义： 设 V 是复数域 C 上的 n 维线性空间， 对于V 中的任意两个向量 , 按照某一确定 法则对应着一个复数，这个复数称为 与
的内积，记为 ( , ) ，并且要求内积满足下
列运算条件：
(1) (, ) ( , )
;
1
1 1


1 , 6
2, 6
1 6
,
0

2
2 2


2 , 30
1 , 30
4, 30
3 3
1,2 即为其解空间的一个标准正交基底。
酉变换与正交变换
定义：设 A 为一个 n 阶复矩阵，如果其满
足
AHAAAHI
则称 A 是酉矩阵，一般记为 AUnn
Schmidt正交化与单位化过程:
设 1,2, ,r为 n 维内积空间 V 中 的 r 个线性无关的向量，利用这 r 个向量完
全可以构造一个标准正交向量组。
第一步 正交化
1 1
2
2

2, 1 1, 1
1
r
r

r , 1 1, 1
3 1 3i 2i
(4)

1

3i
4
1

5
i

2 i 1 5 i 5
（5） 实对称矩阵 （6） 反实对称矩阵 （7） 欧氏空间的度量矩阵 （8） 酉空间的度量矩阵
内积空间的度量
定义：设 V 为酉（欧氏）空间，向量 V
的长度定义为非负实数
(,) 例 在 C 4 中求下列向量的长度
i1
那么 与 的内积
n
yjj
j1
n
n
n
(,)( xii, yii) xiyj(i,j)
i 1
j 1
i,j 1
令
g ij (i, j), i,j 1 ,2 , ,n
g11 g12
g1n
G


g
2
1
g 22
g
2
n




g
例 2 在 n m 维线性空间 R n m 中，规定 (A,B):Tr(ABT)
容易验证这是 R n m 上的一个内积，这样R n m
对于这个内积成为一个欧氏空间。
例 3 在线性空间 C [ a , b ] 中，规定
b
(f,g):a f(x)g(x)dx