安徽省六安市毛坦厂中学2020届高三数学下学期假期作业（2.21）理1．(2018·河南商丘检测)在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( D )A ．74B ．121C ．－74D ．－121解析展开式中含x 3的项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.2．(2018·安徽安庆二模)将⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x－43展开后，常数项是__－160__.解析⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开后的通项是C k6(x )6－k·⎝⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k ·C k 6(x )6－2k.令6－2k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.3．(2018·广东广州综合测试)已知⎝⎛⎭⎪⎫2x 3－1x n的展开式的常数项是第7项，则正整数n的值为__8__.解析二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x 3－1x n的展开式的通项是T r ＋1＝C r n ·(2x 3)n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r n ·2n －r ·(－1)r ·x 3n －4r， 依题意，有3n －4×6＝0，得n ＝8.4．C 0n ＋3C 1n ＋5C 2n ＋…＋(2n ＋1)C n n ＝__(n ＋1)·2n__. 解析设S ＝C 0n ＋3C 1n ＋5C 2n ＋…＋(2n －1)·C n －1n ＋(2n ＋1)C nn ， ∴S ＝(2n ＋1)C n n ＋(2n －1)C n －1n ＋…＋3C 1n ＋C 0n ， ∴2S ＝2(n ＋1)(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n )＝2(n ＋1)·2n， ∴S ＝(n ＋1)·2n .易错点 不能灵活使用公式及其变形错因分析：选择的公式不合适，造成解题错误．【例1】 求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3＋3x －1x 25展开式中常数项．解析x －3＋3x －1x 2＝x 3－3x 2＋3x －1x 2＝(x －1)3x2， ∴原式＝1x10(x －1)15，则常数项为C 515(－1)5＝－3 003.【例2】 求9192被100除所得的余数．解析(90＋1)92＝C 092·9092＋C 192·9091＋…＋C 9092·902＋C 9192·90＋C 9292，前91项均能被100整数，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.【跟踪训练1】 (x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( C ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5， 含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.课时达标 第56讲[解密考纲]对二项式定理的考查主要涉及利用通项公式求展开式、特定项或参数值，利用二项式的性质求多项式的二项式系数、各项系数的和，一般以选择题、填空题的形式出现．一、选择题1．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 210的展开式中的常数项是( A )A ．180B ．90C ．45D ．360解析⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 210的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10·(x )10－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2k ＝2k C k 10x 5－52 k ，令5－52k ＝0，得k ＝2，故常数项为22C 210＝180.2．设n 为正整数，⎝⎛⎭⎪⎫x －1x x 2n展开式中存在常数项，则n 的一个可能取值为( B )A ．16B ．10C ．4D ．2解析⎝⎛⎭⎪⎫x －1x x 2n 展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 2n x 2n －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x x k ＝C k 2n (－1)kx4n －5k2 ，令4n －5k 2＝0，得k ＝4n5，依据选项知n 可取10.3.⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋366的展开式的第二项的系数为－3，则⎰a 2-x 2d x 的值为( B )A ．3B ．73C ．3或73D ．3或－103解析该二项展开式的第二项的系数为C 1636a 5，由C 1636a 5＝－3，解得a ＝－1，因此⎰a2-x 2d x ＝x 33|－1－2＝－13＋83＝73.4．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝( D ) A ．－5 B ．5 C ．90D ．180解析∵(1＋x )10＝[2－(1－x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，∴a 8＝C 810·22·(－1)8＝180，故选D ．5．若(3y ＋x )5展开式的第三项为10，则y 关于x 的函数图象的大致形状为( D )解析(3y ＋x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x r 2 y 5-r3 ，则T 3＝C 25xy ＝10，即xy ＝1，由题意知x ≥0，故D 选项的图象符合．6．在(2x ＋x lg x )8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1 120，则x ＝( C )A ．1B ．110C ．1或110D ．－1解析二项式系数最大的项为第5项，由题意可知T 5＝C 48(2x )4·(xlg x )4＝1 120，∴x4(1＋lgx )＝1，两边取对数可知lg 2x ＋lg x ＝0，得lg x ＝0或lg x ＝－1，故x ＝1或x ＝110.二、填空题7．(2017·浙江卷)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝__16__，a 5＝__4__.解析由题意知a 4为展开式含x 的项的系数，根据二项式定理得a 4＝C 23×12×C 22×22＋C 33×13×C 12×2＝16，a 5是常数项，所以a 5＝C 33×13×C 22×22＝4.8．(2016·全国卷Ⅰ)(2x ＋x )5的展开式中，含x 3项的系数是__10__(用数字填写答案)．解析由(2x ＋x )5得T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(x )r＝25－r C r 5x 5－r2 ，令5－r2＝3得r ＝4，此时系数为10.9．若二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 的展开式中的常数项是80，则该展开式的二项式系数之和等于__32__.解析对于T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x r ＝C r n 2rx n -r 2 －r 3，当r ＝35n 时展开式为常数项，因此n为5的倍数，不妨设n ＝5m ，则有r ＝3m ，则23m C 3m5m ＝80，因此m ＝1，则该展开式中的二项式系数之和等于2n＝25＝32.三、解答题10．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．解析(1)依题意知⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r n x n -2r 3 ，又第6项为常数项，则当r ＝5时，n －2r3＝0，即n －103＝0，解得n ＝10.(2)由(1)得T r ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r10x 10-2r3 ，令10－2r 3＝2，解得r ＝2，故含x 2的项的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－122C 210＝454.(3)若T r ＋1为有理项，则有10－2r3∈Z ，且0≤r ≤10，r ∈Z ，故r ＝2,5,8，则展开式中的有理项分别为T 3＝C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122x 2＝454x 2， T 6＝C 510⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝－638， T 9＝C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫－128x －2＝45256x －2. 11．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解析令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)∵(1－2x )7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.12．已知n2x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求： (1)展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解析(1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0. ∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5. ∴T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352，T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70，当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432.(2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0.∴n ＝12或n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k124k≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1，∴9.4≤k ≤10.4，∵k ∈N ，∴k ＝10.∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝C 1012·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·210·x 10＝16 896x 10.。