§1.4 光和物质的作用
1.4.2 自然增宽
2. 量子解释
E t (1) 测不准关系： h (h为普朗克常数 ) 2 对原子的能级来说，时间的不确定值就是原子的平均寿命 ，则能级宽度
E h
2 而频率宽度 νN 的大小由能级宽度来决定。
(2) 宽度为E2 的上能级原子，跃迁到宽度为E1 的下能级时，围绕中心频率 ν0 的谱线宽度为： E2 E1 1 1 1 νN ( ) h 2 1 2 (3) 图(1-14)画出了三种不同情况由于能级宽度引起的辐射跃迁谱线宽度：
图(1-12) 电偶极子辐射场的衰减振动
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第 一 章 辐 射 理 论 概 要 与1.4.2 自然增宽
(2) 衰减振动不是简谐振动，因此原子辐射的波不是单色的，谱线具有 t t 有限宽度。 i 2ν t
1.4.2 自然增宽
(3)自然增宽: 作为电偶极子看待的原子作衰减振动而造成的谱线增宽。 由线型函数归一化条件可得： 1 f ( ν ) d ν 1 A 1 f ( ν ) N 0 N 4 2 (ν ν0 ) 2 (1 2 ) 2 当 ν ν0 时，f N (ν0 ) 4 ；当 ν ν1 ν0 和 ν ν2 ν0 时， 4 4 1 f N (ν) f N (ν1 ) f N (ν2 ) 2 f N (ν0 ) 2 所以，原子谱线的半值宽度即自然增宽为 νN ， 如图(1-13)所示。 1 νN ν2 ν1 2 我们也可以用自然增宽来表达光谱线型函数： νN 2 图（1-13）洛仑兹线型函数
υ ν ν0 (1 ) c υ取负值。这叫光 并且光源与接收器相对趋近时，υ 取正值；两者背离时， 的纵向多普勒效应。
0为光源与接收器相对静止时的频率。一般情况下 υ c ，上式取一级近似
可得：
(3) 若在介质中传播时，光速应为 c ，则此时的频率可写成： υ ν ν0 (1 ) c (4) 当光源与接收器之间的相对速度在垂直于两者连线方向时，此时的频率为： υ ν 1 ( ) 2 ν0 c υ 为垂直于光源与接收器连线方向的相对速度，这叫横向多普勒效应
U U 0e 2 cos2ν0t U (t ) U 0e
2
由傅立叶分析可知： U (t )


e
0

u (ν)ei 2νt dν
t 2
u (ν ) U (t )e i 2νt dt U 0e


e i 2 ( νν0 ) t dt
(ν ν0 ) 2 (νc 2) 2
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第 一 章 辐 射 理 论 概 要 与 激 光 产 生 的 条 件
§1.4 光和物质的作用
1.4.4 多普勒增宽
1. 光的多普勒效应
(1) 多普勒效应：光源和接收器相对运动，接收器收到的光频不等于原频率 (2) 设光源与接收器在两者连线方向的相对速度为 υ，则接收到的光的频率为： 1 υ c ν ν0 1 υ c
其中 ν0为谱线的中心频率，假定用 f N (ν) 表示自然增宽的线型函数，则：
f N (ν ) A 4 2 (ν ν0 ) 2 (1 2 ) 2
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第 一 章 辐 射 理 论 概 要 与 激 光 产 生 的 条 件
§1.4 光和物质的作用
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§1.4 光和物质的作用 第 一 1.4.1 光谱线，线型和光谱线宽度 章 (2) 由于总的受激辐射(吸收)原子数密度与外来光的单色能量密度有关， 辐 分两种情况讨论： 射 当入射光的中心频率为ν0，线宽为 ν ，但 ν 比原子发光谱线宽度 ν 小 理 很多，如图(1-11a)，则单位时间内总的受激辐射原子数密度n等于： 论 n B n f (ν)dν n B f (ν ) dν n B f (ν ) 概 要 其中 dν 为外来光总辐射能量密度。这种情况表明总能量密度为 的外 与 来光只能使频率为ν0 附近原子造成受激辐射。 激 光 此时受激辐射的跃迁几率为:W21 B21f (ν0 ) 产 生 同理，受激吸收跃迁几率为： W12 B12 f (ν0 ) 的 条 件
U U 0e cos2ν0t , t 0
t 2
此式表示场矢量随时间衰减的振动规律，如图(1-12)所示。 由光强 I U 2 I AU 02 e t 假设I0为t =0时的光强，则 t 时的光强I=I0/e， 即振子的衰减寿命为 ，可以证明 。 1 A21
0
0
1
2
0
2
1
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§1.4 光和物质的作用 第 一 1.4.1 光谱线，线型和光谱线宽度 章 8. 光谱线型对光与物质的作用的影响 辐 射 (1) 考虑光谱线线型的影响后，在单位时间内，对应于频率在 ν ν dν 间 理 隔，自发辐射、受激辐射、受激吸收的原子跃迁数密度公式分别为： 自发辐射 dn2 A21n2dt dn2 (ν) A21n2 f (ν)dν 论 受激辐射 dn2 B21n2 ν dt dn2 (ν) B21n2 ν f (ν)dν 概 要 受激吸收 dn1 B12 n1ν dt dn2 (ν) B12 n1ν f (ν)dν 与 激 所以单位时间内， 光 总的自发辐射原子数密度 dn2 (ν) A21n2 0 产 总的受激辐射原子数密度 B21n2 ν f (ν)dν 0 生 总的受激吸收原子数密度 B12 n1ν f (ν)dν 0 的 条 件
§1.4 光和物质的作用 第 一 1.4.1 光谱线，线型和光谱线宽度 章 1. 用分辨率极高的摄谱仪拍摄出的每一条原子发光谱线都具有有限宽度。 辐 原子发射的不是正好频率 ν0 （满足 hν0 E2 E1）的光，而是发射频率 射 在 ν0 附近的某个范围内的光。 理 就每一条光谱线而言，在有限宽度的频率范围内，光强的相对强度也不一样。 论 2. 设某一条光谱线的总光强为I0，频率 ν 附近单位频率间隔的光强为 I (ν) ，则频 概 率 ν 附近单位频率间隔的相对光强 f (ν) 为： 要 f (ν) I (ν) I 0 与 激 3. f (ν) ν 曲线如图(1-10a)， f (ν) 表示某一谱线在单位频率间隔的相对光强分 光 布，它叫做光谱线的线型函数。图(1-10b)为理想情况的单色光的相对光强分布 产 生 的 条 件
考虑到t <0时U (t)=0，所以上式可写成：
u (ν) U 0e
0 t 2
ei 2 ( νν0 )t dt
U0 i 2 (ν ν0 ) 1 2
由于电偶极子的衰减振动可展开成频率在一定范围内连续变化的简谐波，所以 光强在谱线范围内随频率有一个分布：
2 U0 I (ν) u(ν) 2 4 (ν ν0 )2 (1 2 )2 2
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第 一 章 辐 射 理 论 概 要 与 激 光 产 生 的 条 件
§1.4 光和物质的作用
1.4.2 自然增宽
1. 经典理论
(1) 经典理论将一个原子看作是由一个负电中心和一个正电中心组成的电偶 极子。当正负电中心距离r作频率为 ν0 的简谐振动时，该原子辐射频率为 ν0 的电磁波，电磁波在空间某点的场矢量为： U U0 cos2ν0t 由于原子在振动的过程中不断地辐射能量，则上式应写为：
f N (ν) (ν ν0 ) 2 (νN 2) 2
1 1
这个自然增宽（设想原子处在彼此孤立并且静止不动时的谱线宽度）的线型分 布函数也叫洛仑兹线型函数。 估算经典理论的自然增宽的大小。
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第 一 章 辐 射 理 论 概 要 与 激 光 产 生 的 条 件
0 21 2 2 21 0 0 ν 2 21 0
0 ν
图(1-11) 外来光作用下的受激原子数密度
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§1.4 光和物质的作用 第 一 1.4.1 光谱线，线型和光谱线宽度 章 如入射光的谱线宽度为 ν ，单色辐射能量密度为 ν ；原子谱线的线型 辐 函数为 f (ν) ，线宽为ν ，中心频率为ν 。如果有 ν ν ，如图(1-11b)所 0 射 示，则在单位时间内，总的受激辐射原子数密度 n等于： 理 n n B 2 21 ν f (ν )dν n2 B21 ν 论 0 概 要 此时受激辐射的跃迁几率为: W21 B21ν 与 激 W12 B12 ν 光 同理，受激吸收跃迁几率为： 图(1-11) 外来光作用下的受激原子数密度 产 生 的 因此，在入射光线宽度远大于原子光谱线宽的情况下，受激跃迁与原子谱线 中心频率处的外来光单色能量密度有关。 条 件
图(1-10) 光谱的线型函数
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§1.4 光和物质的作用 第 一 1.4.1 光谱线，线型和光谱线宽度 章 5. 频率为ν 到 ν dν 的频率间隔范围内的光强为 I (ν)dν I f (ν)dν ，则 I (ν)dν 辐 f (ν)dν I 射 理 上式即为图(1-10)中曲线下阴影部分的面积，也是频率在 ν ν dν 范围的光 论 强占总光强的百分比。 概 1 6. 很显然： 要 0 f (ν)dν I 0 0 I (ν)dν 1 与 即相对光强之和为1。此公式为线型函数的归一化条件。 激 光 产 7. 光谱线宽度 ν ：相对光强为最大值的一半处的频率间隔，即： 1 生 f (ν ) f (ν ) f (ν ) 则 ν ν ν 2 的 条 件