在t=t0时刻，
V V (x, y, z)
u v w 0
x dV
y
f
z 1 p
dt
p p(x,y,z)
在物体的边界上 在无穷远处
Vn 0
V V
Folie5
3.1、平面不可压位流的基本方程
如果没有无旋流条件进一步简化上述方程， 求解起来也是很困难的。这是因为方程中的对 流项是非线性的，而且方程中的速度V和压强p 相互偶合影响，需要一并求出。但是，对于无 旋流动，问题的复杂性可进一步简化，特别是 可将速度和压力分开求解。这是因为，对于无 旋运动情况，流场的速度旋度为零，即
在流体力学中的边界条件多数属于第二类边 界条件，及在边界上给定速度势函数的偏导数。
Folie11
3.1、平面不可压位流的基本方程
2、速度势函数的性质
（1）速度势函数沿着某一方向的偏导数等该方 向的速度分量，速度势函数沿着流线方向增加 。由此可得出，速度势函数允许相差任意常数 ，而不影响流体的运动。
rotV V 2 0
存在速度势函数（位函数）为
V
u x
v y
w z
Folie6
3.1、平面不可压位流的基本方程
如果将上式代入不可压缩流体的连续方程中，
得到
V 0 u v w 0 x y z
2 2 2 0 x2 y2 z 2
Folie7
3.1、平面不可压位流的基本方程 由此可见，利用无旋流动和连续条件所得到
Folie2
3.1、理想不可压缩流体平面位流的基本方程 对于理想不可压缩流体，流动的基本方程是
连续方程和欧拉运动方程组。在第二章中已给 出这些方程的推导过程，本章应该讨论怎样求 解这些方程。但是，要想得到这些偏微分方程 的解，并非易事。因为实际飞行器的外形都比 较复杂，要在满足这些复杂边界条件下求得基 本方程的解，困难是相当大的。为了简化求解 问题，本章首先介绍流体力学中一类简单的流 动问题，理想不可压缩流体的无旋流动。
对于理想不可压缩流体无旋流动，控制方程及
其初边界条件为
2 2 2 x2 y2 z 2 0
V 2 p C(t) t 2
Folie10
3.1、平面不可压位流的基本方程
初始条件 边界条件为
t t0 V V0(x, y, z) p p0(x, y, z)
0 固壁面条件
n
V V 无穷远处
Folie3
3.1、理想不可压缩流体平面位流的基本方程 这是早期流体力学发展的一种理想化近似模型， 比求解真实粘性流动问题要容易的多。在粘性 作用可忽略的区域，这种理想模型的解还是有 相当的可信程度。
Folie4
3.1、理想不可压缩流体平面位流的基本方程
1、不可压缩理想流体无旋流动的基本方程
初始条件和边界条件为
2
Folie9
3.1、平面不可压位流的基本方程
由此说明，只要把速度势函数解出，压强p 可直接由Bernoulli方程得到。在这种情况下整
个求解步骤概括为：
（1）根据纯运动学方程求出速度势函数和速度
分量；（2）由Bernoulli方程确定流场中各点
的压强。这使得速度和压强的求解过程分开进
行，从而大大简化了问题的复杂性。综合起来
Folie15
3.1、平面不可压位流的基本方程
Vn
m
nm
Vn
m
x
x
m y
y m
v cos(m, x) u cos(m, y)
根据流函数这一性质，如果沿着流线取s，反时 针旋转90度取n方向，则有
（1）流函数值可以差任意常数而不影响流动
（2）流函数值相等的点的连线是流线。即等流 函数线的切线方向与速度矢量方向重合。
在流函数相等的线上，有
d dx dy vdx udy 0
x
y
dx dy uv
上式即为平面流动的流线方程。
（3）流函数在某一方向的偏导数顺时针旋转90 度方向的速度分量。
Folie8
3.1、平面不可压位流的基本方程 对于理想不可压缩流体，在质量力有势条件下， 对于无旋流动，运动方程的积分形式为
V 2 p C(t) t 2
对于定常流动，质量力只有重力，得到
V 2 p gz C 2
如果忽略质量力（在空气动力学中经常不考虑重 力的作用）
V2 p C
的这个方程是大家熟知的二阶线性偏微分方程， 拉普拉斯方程，这是一个纯运动学方程。如果 对这个方程赋予适定的定解条件，就可以单独 解出速度位函数，继而求出速度值。与压强p没 有进行偶合求解，那么如何确定压强呢？在这 种情况下，可将速度值作为已知量代入运动方 程中，解出p值。实际求解并不是直接代入运动 方程中，而是利用Bernoulli(或Lagrange)积分 得到。
空气动力学基础 理想不可压缩流体平面位流
Folie1
理想不可压缩流体平面位流
3．1 理想不可压缩流体平面位流的基本方程 3．2 几种简单的二维位流
3．2．1 直匀流 3．2．2 点源 3．2．3 偶极子 3．2．4 点涡 3．3 一些简单的流动迭加举例 3．3．1 直匀流加点源 3．3．2 直匀流加偶极子 3．3．3 直匀流加偶极子加点涡 3．4 二维对称物体绕流的数值解
Vs ds
V
ds
udx
vdy
wdz
Vs
V ds ds
u
dx ds
v
dy ds
w dz ds
Vs
x
dx ds
y
dy ds
z
dz ds
s
Folie12
3.1、平面不可压位流的基本方程
（2）速度势函数满足拉普拉斯方程，是调和函 数。满足解的线性迭加原理。如果速度势函数 满足拉普拉斯方程，则它们的线性组合也满 拉普拉斯方程。
势函数之差。速度线积分与路径无关，仅决定
于两点的位置。如果是封闭曲线，速度环量为
零。
B B
V ds (udx vdy wdz)
A
A
B A
(
x
dx
y
dy
z
dz)
B A
d
B
A
Folie14
3.1、平面不可压位流的基本方程
3、流函数及其性质
流函数的概念是1781年Lagrange首先引进的。 流函数具有下列性质
n
Cii i 1
2
x2
2
y 2
2
z 2
n i 1
Ci
2i
x2
2i
y 2
2i
z 2
0
Folie13
3.1、平面不可压位流的基本方程
（3）速度势函数相等的点连成的线称为等势线
，速度方向垂直于等势线 。
d 0 d V ds 0 V ds
（4）连接任意两点的速度曲线等于该两点的速度