专题01整式的乘除阅读与思考指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：a m⋅a n=a m+n，(a m)n=a mn，(ab)n=a n b n，a m÷a n=a m-n(a≠0)，a0=1(a≠0)，a-p=1a p(a≠0)．学习指数运算律应注意：1．运算律成立的条件；2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式；3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．例题与求解【例1】（1）若n为不等式n200>6300的解，则n的最小正整数的值为．（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）（2）已知x2+x=1，那么x4+2x3-x2-2x+2005=．（“华杯赛”试题）（3）把(x2-x+1)6展开后得a x12+a x11+1211+a x2+a x+a，则210a+a+a+a+a+a+a=．（“祖冲之杯”邀请赛试题）121086420（4）若x5-3x4+7x3-6x2+2x+9=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)则ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de=．（创新杯训练试题）解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求x值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在x允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．，【例 2】已知 25x = 2000 ， 80 y = 2000 ，则 1 1+ 等于（ ）x yA ．2B ．1C ．12D ．3 2（“希望杯”邀请赛试题）1 1 x + y解题思路： x, y 为指数，我们无法求出 x, y 的值，而 + = ，所以只需求出 x + y , xy 的值或x y xy它们的关系，于是自然想到指数运算律．【例 3】设 a, b , c, d 都是正整数，并且 a 5 = b 4 , c 3 = d 2 , c - a = 19 ，求 d - b 的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：设 a 5 = b 4 = m 20 , c 3 = d 2 = n 6 ，这样 a , b 可用 m 的式子表示，c, d 可用 n 的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．【例 4】已知多项式 2 x 2 + 3xy - 2 y 2 - x + 8 y - 6 = ( x + 2 y + m )(2 x - y + n) ，求m3 + 1 n 2 - 1 的值．解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．【例 5】是否存在常数 p , q 使得 x 4 + px 2 + q 能被 x 2 + 2 x + 5 整除？如果存在，求出 p , q 的值，否则请说明理由．解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数） 根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出 p , q 的值，所谓 p , q 是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．精品文档用心整理【例6】已知多项式2x4-3x3+ax2+7x+b能被x2+x-2整除，求ab的值．（北京市竞赛试题）解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当x=-2和x=1时，原多项式的值均为0，从而求出a,b的值．当然本题也有其他解法．能力训练A级1．（1）424⨯(-0.25)23-1=．（福州市中考试题）（2）若a2n=3，则2a6n-1=．（广东省竞赛试题）2．若2x+5y-3=0，则4x32y．3．满足(x-1)200>3300的x的最小正整数为．（武汉市选拔赛试题）4．a,b,c,d都是正数，且a2=2,b3=3,c4=4,d5=5，则a,b,c,d中，最大的一个是．（“英才杯”竞赛试题）5．探索规律：31=3，个位数是3；32=9，个位数是9；33=27，个位数是7；34=81，个位数是1；35=243，个位数是3；36=729，个位数是9；…那么37的个位数字是，330的个位数字是．（长沙市中考试题）6．已知a=8131,b=2741,c=961，则a,b,c的大小关系是（）A．a>b>c B．a>c>b C．a<b<c D．b>c>a7．已知a=255,b=344,c=533,d=622，那么a,b,c,d从小到大的顺序是（）A．a<b<c<d B．a<b<d<c C．b<a<c<d D．a<d<b<c（北京市“迎春杯”竞赛试题）8．若x=2n+1+2n,y=2n-1+2n-2，其中n为整数，则x与y的数量关系为（）A．x=4y B．y=4x C．x=12y D．y=12x（江苏省竞赛试题）9．已知2a=3,2b=6,2c=12,则a,b,c的关系是（）A．2b<a+c B．2b=a+c C．2b>a+c D．a+b>c（河北省竞赛试题）2n+4-2(2n)10．化简得（）2(2n+3)A．2n+1-18B．-2n+1C．78D．7411．已知ax+by=7,ax2+by2=49,ax3+by3=133,ax4+by4=406，试求1995(x+y)+6x y-172(a+b)的值．12．已知6x2-7x y-3y2+14x+y+a=(2x-3y+b)(3x+y+c)．试确定a,b,c的值．13．已知x3+kx2+3除以x+3，其余数较被x+1除所得的余数少2，求k的值．（香港中学竞赛试题）2．（1）计算： ⎪B级1．已知2a=3,4b=5,8c=7,则8a+c-2b=．⎛7⎫199832000+152000⨯⎝3⎭72000+352000=．（第16届“希望杯”邀请竞赛试题）（2）如果45+45+45+4565+65+65+65+65+65⨯=2n，那么n=．35+35+3525+25（青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）3．（1）1516与3313的大小关系是15163313（填“＞”“＜”“＝”）．（2）32000+132001+132000+132001+1与的大小关系是：32001+132002+132001+132002+1（填“＞”“＜”“＝”）．4．如果x2+x-1=0,则x3+2x2+3=．（“希望杯”邀请赛试题）5．已知(x+2)5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则16b+4d+f=．（“五羊杯”竞赛试题）6．已知a,b,c均为不等于1的正数，且a-2=b3=c6,则abc的值为（）A．3B．2C．1D．1 27．若x3+x2+x+1=0，则x-27+x-26++x-1+1+x+x2+（“CASIO杯”武汉市竞赛试题）+x26+x27的值是（）A．1B．0C．—1D．28．如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，则a+b=（）A．7B．8C．15D．21（奥赛培训试题）9．已知a,a,a,a1231996,a1997均为正数，又M=(a+a+12+a1996)(a+a++a231997)，N=(a+a+12+a1997)(a+a+23+a1996)，则M与N的大小关系是（）A．M=N B．M<N C．M>N D．关系不确定10．满足(n2-n-1)n+2=1的整数n有（）个A．1精品文档用心整理B．2C．3D．411．设a,b,x,y满足ax+by=3,a x2+by2=7,ax3+by3=16,ax4+by4=42,求ax5+by5的值．512．若x,y,z,w为整数，且x>y>z>w，2x+2y+2z+2w=20，求(x+y+z+w-1)2010的值．8（美国犹他州竞赛试题）13．已知a,b,c为有理数，且多项式x3+ax2+bx+c能够被x2+3x-4整除．（1）求4a+c的值；（2）求2a-2b-c的值；（3）若a,b,c为整数，且c≥a>1．试比较a,b,c的大小．（四川省竞赛试题）⎪⎩n －m 2＝1，解得 n ＝10，m ＝3，所以 d －b ＝10－3数，n ＋m 2，n －m 2 是自然数，且 n ＋m 2＞n －m 2，得⎨a y ⎪专题 01 整式的乘除例 1(1)(n 2)100＞(63)100，n 2 ＞216，n 的最小值为 15．(2)原式＝x 2(x 2＋x)＋x(x 2 ＋x)－2(x 2＋x) ＋2005＝ x 2＋x －2＋2005＝2004 (3)令 x ＝1 时，a 12＋a 11＋a 10＋…＋a 2＋a 1＋a 0＝1， ① 令 x ＝－1 时，a 12 –11＋a l0－…＋n 2－a l ＋a 0 ＝729 ②由①＋②得：2(a 12＋a l0＋a 8＋…＋a 2 ＋a 0)＝730． ∴a 12 ＋a 10 ＋a 8 ＋a 6＋a 4 ＋a 2＋a 0 ＝365．(4)所有式子的值为 x 3 项的系数，故其值为 7． 例 2 B 提示：25xy ＝2 000y ， ①80xy ＝2 000x ， ②①×②，得：(25×80)xy ＝2000x ＋，得：x ＋ y ＝xy ． 例 3 设 a ＝m 4，b ＝m 5，c ＝n 2，d ＝n 3，由 c －a ＝19 得，n 2－m 4＝19，即(n ＋m 2) (n －m 2)＝19，因 19 是质⎧n ＋m 2＝19 3 5＝757例 4 － 提示：由题意知：2x 2＋3xy －2y 2－x ＋8y －6＝2x 2＋3xy －2y 2＋(2m ＋n )x ＋(2n －m )y ＋mn ．⎩n ＝3n 2－1 ⎪⎩mn ＝－6 x ＋p x ＋q ＝x4＋(m ＋2)x ＋(5＋n ＋2m )x ＋(2n ＋5m )x ＋5n ，得⎨ ，解得⎨ 2n ＋5m ＝0 p ＝6 ∴ ＝ ＝－2 ⎨ ⎩b ＋2(a ＋9)＝0 ⎩b ＝6∴⎨ ，即⎨ ，∴ ＝－2 1． 18978⎧⎪2m ＋n ＝－1 m ＝－2 m 3＋1 7∴ ⎨2n －m ＝8 ，解得⎧ ，∴ ＝－ 8倒 5 提示：假设存在满足题设条件的 p ，q 值，设(x 4＋p x 2＋q )＝(x 2＋2x ＋5)(x2＋mx ＋n )，即⎧m ＋2＝0 ⎧m ＝－25＋n ＋2m ＝p n ＝5 4 2 3 2， ⎩5n ＝q⎩q ＝25故存在常数 p ，q 且 p ＝6，q ＝25，使得 x 4＋p x 2＋q 能被 x 2＋2x ＋5 整除． 例 6 解法 1 ∵x 2＋x －2＝(x ＋2) (x －1)，∴2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b 能被(x ＋2)(x －1)整除，设商是 A ． 则 2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b ＝A(x ＋2)(x －l)，则 x ＝－2 和 x ＝1 时，右边都等于 0，所以左边也等于 0．当 x ＝－2 时，2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b ＝32＋24＋4a －14＋b ＝4a ＋b ＋42＝0， ① 当 x ＝1 时， 2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b ＝2－3＋a ＋7＋b ＝a ＋b ＋6＝0． ② ①－②，得 3a ＋36＝0，∴ a ＝－12， ∴ b ＝－6－a ＝6．a －12b 6解法 2 列竖式演算，根据整除的意义解x 2 + x - 2 2x 4 - 3x 32x 4 + 2x 32x 2+ ax 2- 4x 2- 5x + (a + 9)+ 7 x + b- 5x 3 + (a + 4) x 2 - 5x 3 -5x 2(a + 9) x 2+ 7 x + b+ 10x- 3x + b(a + 9) x 2 - (a + 9) x - 2(a + 9)(-12 - a) x + b + 2(a + 9)∵2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b 能被 x 2＋x －2 整除， ⎧－12－a ＝0 ⎧a ＝－12 a bA 级1．(1) －5 (2)53 2．8 3．7 4．6 5．7 9 6．A 7．D 提示：a ＝(25)11，b －(34)11， c ＝(53)11，d ＝(62)11 8．A 9．B 10．C 11．4800 12．a ＝4．b ＝4，c ＝113． 提示：令 x 3 ＋kx 2＋3＝(x ＋3) ( x 2＋ax ＋6)＋r 1，x 3＋kx 2＋3＝( x ＋1) ( x 2＋cx ＋d )＋r 2，令 x ＝－3，得 r 1＝9k －24．令 x ＝－1，得 r 2＝k ＋2，由 9k －24＋2＝k ＋2， 得 k ＝3．B 级125(1＋5 ) 7 1998 3 2000 9 97 1998 3 2． (1) 提示：原式＝( ) × ＝( ) ×( ) ＝ (2)12 7 (1＋5 )2000 200049 3 2000 2000 3 7 49 3．(1) ＜ 1516 ＜1615＝264，3 313 ＞3213＝265 ＞264．(2) ＞ 提示：设 32 000 ＝x ． 4．4 5．512 提示：令 x ＝±2． 6．C 提示：由条件得 a ＝c －3 ，b ＝c 2 ，abc ＝c －3·c 2·c ＝1 7．C8．D9．C提示：设 a 2＋a 3＋…a 1996＝x ，则 M ＝（a 1＋x ）(x ＋a 1997)＝a 1x ＋x 2＋a 1a 1997＋a 1 997x ． N ＝(a 1＋x ＋a 1 997)x ＝a l x ＋x 2＋a 1997x ．M ＝N ＝a 1a 1997＞0．10．D11．由 ax 2＋by 2 ＝7，得(ax 2＋by 2)(x ＋y)＝7(x ＋y)，即 ax 3－ax 2y ＋bxy 2＋b y 3 ＝7(x ＋y)，(ax 3＋by 3)－xy(ax ＋by)－7(x ＋y)． ∴16＋3xy ＝ 7(x ＋y)． ①由 ax 3 ＋by 3＝16，得(ax 3＋by 3)(x ＋y) ＝16(x ＋y)，即 ax 4 ＋ax 3 y ＋bxy 3＋b y 4 ＝16(x ＋y)，（ax 4＋by 4)＋xy(a x 2 ＋b y 2 )＝16(x ＋y ）．∴42＋7xy ＝16(x ＋y ）．②由①②可得，x ＋y ＝－14，xy ＝－38．由 a x 2 ＋b y 2 ＝42，得（a x 4 ＋b y 4 ）（x ＋y ）＝42×（－14），（a x 5 ＋b y 5 ）＋xy （a x 3 ＋b y 3 ）＝－588，ax 5 + by 5 ＋16×（－38）＝－588．故 ax 5 + by 5 ＝20．12．两边同乘以 8 得 2x +3 ＋ 2 y +3 ＋ 2z +3 ＋ 2w +3 ＝165．∵x ＞y ＞z ＞w 且为整数，∴x ＋3＞y ＋3＞z ＋3＞w ＋3，且为整数．∵165 是奇数，∴w ＋3＝0，∴w ＝－3．∴ 2x +3 ＋ 2 y +3 ＋ 2z +3 ＝164．∴ 2x +1 ＋ 2 y +1 ＋ 2 z +1 ＝41，∴z ＋1＝0，∴z ＝－1．∴ 2x +1 ＋ 2 y +1 ＝40．两边都除以 8 得： 2x -2 ＋ 2 y -2 ＝5．∴y －2＝0，∴y ＝2．∴ 2x -2 ＝4．∴x －2＝2，∴x ＝4．∴(x+y+z+w-1)2010＝(4+2-1-3-1)2010＝1．13．（1）∵（x－1）（x＋4)＝x2＋3x－4，令x－1＝0，得x＝1；令x＋4＝0，得x＝－4．当x＝1时，得1＋a＋b＋c＝0；①当x＝－4时，得－64＋16a－4b＋c＝0．②②－①，得15a－5b＝65，即3a－b＝13．③①＋③，得4a＋c＝12．（2）③－①，得2a－2b－c＝14．（3）∵c≥a＞1，4a＋c＝12，a，b，c为整数，∴1＜a≤125，则a＝2，c＝4．又a＋b＋c＝－1，∴b＝－7，．∴c＞a＞b．。