21
§5-3 算术平均值及其中误差
一、观测值的算术平均值 设在相同的观测条件下对未知量观测了n次出该 未知量的最或然值。 ，观测值为L1、L2……Ln，现 在要根据这n个观测值确定
设未知量的真值为X，写出观测值的真误差公式为 ∆i= Li-X (i=1,2…n)
将上式相加得 或 故
X
1 2 n L1 L2 Ln nX
为了直观地表示偶然误差的正负和大小的分布情 况，可以按表5-2的数据作误差频率直方图(见下图)。
k /n d
k / n(频率)
-24-21-18-16-12 -9 -6 –3 0 +3 +6 +9+12+15+18+21+24
x=△
图5-1 频率直方图
12
若误差的个数无限增大(n→∞)，同时又无限缩 小误差的区间d△，则图5-1中各小长条的顶边的折 线就逐渐成为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中 称为“正态分布曲线”，它完整地表示了偶然误差 出现的概率P。 即当n→∞时，上述误差区间内误差 出现的频率趋于稳定，成为误差出现的概率。 正态分布曲线的数学方程式为 :
7
引进如下概念： 1.系统误差 ---- 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列 的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一 定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。 系统误差 具有规律性。 2.偶然误差---在相同的观测条件下，对某一量进行一系列 的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面 上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差”。 个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。 3.粗差----观测中的错误叫粗差。
例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。 错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。 一旦发现，应及时更正或重测。
8
(二) 测量误差的处理原则
• 在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。 • 系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改 正、抵消或削弱。 • 对可能存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多 次观测，消弱其影响。 • 消除系统误差的常用的有效方法： • ① 检校仪器：使系统误差降低到最小程度。 • ② 求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。 • ③ 采用合理的观测方法：如对向观测。 • 研究偶然误差是测量学的重要课题。 • 消除或削弱偶然误差的有效方法： • ① 适当提高仪器等级。 • ② 进行多余观测，求最或是值。
1 y f () 2
e

2 2
2
(5-3)
为标准差，标准差的平方为 2 方差。
方差为偶然误差平方的理论平均值：
13
正态分布曲线的数学方程式为 :
1 y f () 2
e

2 2
2
(5-3)
lim
2 n
1 2 n
2 2 2
n
lim
n

2
(5 4)
n
lim
n

2
n
lim
n

n
(5 5)
14
• 从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。 即:
•
1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得 的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三 特性。 • 2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值; 反之， △愈大，f(△)愈小。当n→±∞时，f(△) →0,这就是偶然误 差的第一和第二特性。 • 3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐 点横坐标： △拐=± • 如果求f(△)在区间± 的积分，则误差出现在区间内 的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭， 即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差 分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特 征。 1 y f () e 2 2 15
试求这两组观测值的中误差。 由
m

n
解得：m1=±2.7″ m2=±3.6 ″ 可见：第一组的观测精度较第二组观测精度高。
19
二，误差在微小区间d△中的概率： p(△)=f(△) · 设以k倍中误差作为区间，则 d△ 在此区间误差出现的概率为：
P( km)
2
例如： DJ6型光学经纬仪基本分划为1′，难以确保分以下 估读值完全准确无误。 使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，难以保证厘米 以下估读值的准确性。 ②仪器构造本身也有一定误差。
例如： 水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中 含有i 角误差或交叉误差。 水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误 差。
20
三、相对误差
在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量 还不能正确反映观测的质量。 例如: 用钢卷尺量200米和40米两段距离，量距的中误 差都是±2cm，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距 的误差与其长度有关。 为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观 测的质量。即m/L来评定精度，通常称此比值为相对中误差。 相对中误差又可要求写成分子为1的分式，即 1 。 N 上例为 K1= m1/L1=1/10000, K2= m2/L2=1/2000 可见: 前者的精度比后者高。 与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为 绝对误差。
3
2、人的原因
观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯 因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来 不同程度的影响。
3、外界条件
例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素 的变化，均使观测结果产生误差。 例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏 移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置 不稳定等。 人、仪器和外界环境通常称为观测条件； 观测条件相同的各次观测称为等精度观测； 观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。
9
四、 偶然误差的特性
若△i= Li – X
误差区间 ） d△ ″ （ 0～3 3～6 6～9 9～12 12～15 15～18 18～21 21～24 ＞24 ∑ 负 误 差 个数 k 45 40 33 23 17 13 6 4 0 181 频率 k n / 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0 0.505
L nX
L
n n
22
设以x表示上式右边第一项的观测值的算术平均值，
即
L x
n
以∆X表示算术平均值的真误差，即 x
代入上式，则得

n
X x x
由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，
∆x趋近于零，即:
最大纵坐标点：

2
2
1 2
17
§5-2 衡量观测值精度的标准
一.中误差
误差△的概率密度函数为： 标准差
2

f ( )
1 2
2 e 2
lim
n

2
n
lim
n

n
在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述 误差公式： ΔΔ m n ① 标准差σ 中误差 m 的不同在于观测个数 n 上； ② 标准差表征了一组同精度观测在(n→∞)时误差分布的扩散特 征，即理论上的观测指标； ③ 而中误差则是一组同精度观测在为 n 有限个数时求得的观测精 度指标； ④ 所以中误差是标准差的近似值估值；
可以看出：
误差符号始终不变，具有规律性。 误差大小与所量直线成 正比，具有累积性。 误差对观测结果的危害性很大。
6
例
•
2：
在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时 估过小，每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶 然。 • 大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、 有时偏右。 可以看出： ① 从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任 何规律性。 ② 多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。
（i=1,2,3,·,358） · ·
表5-2
正 误 差 个数 k 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177 频率 k n / 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0 0.495 91 81 66 44 33 26 11 6 0 358
4
三、测量误差的分类
先作两个前提假设：
① 观测条件相同.
② 对某一量进行一系列的直接观测在此基础上 分析出现的误差的数值 、符号及变化规律。
5
•
先看两个实例：
例1：用名义长度为30米而实际长度为30.04米的钢尺量距。 丈量结果见下表5-1： 表5-1
尺段数 观测值 真实长度 真误差 一 30 30.04 -0.04 二 60 60.08 -0.08 三 90 90.12 -0.12 四 120 120.16 -0.16 五 150 150.20 -0.20 · · · · · · · · · · · · N 30 n 30.04n -0.04 n
第五章 测量误差基本知识
本章主要内容如下：
• 测量误差及其产生的原因 • 测量误差的分类与处理原则 • 偶然误差的特性 • 精度评定的指标 • 误差传播定律及其应用
1
§5-1 测量误差概述
一、观测误差 当对某观测量进行观测，其观测值与真值(客观存 在或理论值)之差，称为测量误差。 用数学式子表达： △i = Li – X (i=1,2…n) L —观测值 X—真值 二、测量误差的来源 测量误差产生的原因很多，但概括起来主要有 以下三个方面： 1、仪器的原因 ① 仪器结构、制造方面，每一种仪器具有一定的 精确度，因而使观测结果的精确度受到一定限制。