人教版物理选修必修2第五章《曲线运动》专题5.7 向心加速度导学案【学习目标】1.理解向心加速度的概念.2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式.3.能够运用向心加速度公式求解有关问题.【自主预习】一、感受圆周运动的向心加速度1．实例分析(1)地球绕太阳做近似的匀速圆周运动，地球受太阳的力是万有引力，方向由地球中心指向_________．(2)光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动．小球受到的力有_____、桌面的________、细线的________．其中________和_________在竖直方向上平衡，合力即细线的拉力总是指向____．2．结论猜测一切做匀速圆周运动的物体的合力和加速度方向均指向_______．二、向心加速度的定义、公式和方向1．定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向_______，这个加速度叫作向心加速度．2．公式：(1)a n＝______；(2)a n＝_______.3．方向：沿半径方向指向_________，时刻与线速度方向________．【自主预习答案】一、1．(1)太阳中心．(2)光重力、支持力、拉力．重力、支持力、圆心．2．圆心． 二、1．圆心． 2．(1)v 2r ；(2)ω2r .3．圆心，垂直．【问题探究】一、向心加速度及其方向【自学指导一】如图甲所示，表示地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，表示光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动.(1)在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？ (2)地球受到的力沿什么方向？小球受到几个力的作用，合力沿什么方向？ (3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？【答案】 (1)地球和小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化.运动状态发生变化的原因是因为受到力的作用.(2)地球受到太阳的引力作用，方向沿半径指向圆心.小球受到重力、支持力、线的拉力作用，合力等于线的拉力，方向沿半径指向圆心.(3)物体的加速度跟它所受合力方向一致，所以地球和小球的加速度都是时刻沿半径指向圆心，即加速度方向是变化的.匀速圆周运动是一种变加速曲线运动. 【知识深化】对向心加速度及方向的理解 1.向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变.2.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只改变速度的方向，对速度的大小无影响.3.圆周运动的性质：不论向心加速度a n 的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动.【例1】下列关于向心加速度的说法中正确的是( )A.向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢B.向心加速度描述线速度方向变化的快慢C.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D.匀速圆周运动是匀变速曲线运动 【答案】 B【解析】 匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，A 错，B 正确；向心加速度的大小不变，方向时刻变化，故C 、D 错误. 二、向心加速度的大小【自学指导二】(1)匀速圆周运动的速度方向不断发生变化，如图所示，经过Δt 时间，线速度由v A 变为v B ，圆周的半径为r .试根据加速度的定义式推导向心加速度大小的公式.(2)结合v ＝ωr 推导可得向心加速度与角速度关系的表达式为：a n ＝________.(3)有人说：根据a n ＝v 2r 可知，向心加速度与半径成反比，根据a n ＝ω2r 可知，向心加速度与半径成正比，这是矛盾的.你认为呢？ 【答案】 (1)如图，由于A 点的速度v A 方向垂直于半径r ，B 点的速度v B 方向垂直于另一条半径r ，所以∠AOB ＝∠CBD ，故等腰△AOB 和△CBD 相似，根据对应边成比例可得：r v A ＝AB Δv，由于时间t 很短，故弦长AB 近似等于弧长»AB ，而弧长»AB ＝v A ·Δt ，所以r v A＝v A ·Δt Δv ，根据a n ＝Δv Δt 得a n ＝v A 2r.(2)由v ＝ωr ，代入a n ＝v A2r可得a n ＝ω2r .(3)不矛盾.说向心加速度与半径成反比是在线速度一定的情况下；说向心加速度与半径成正比是在角速度一定的情况下，所以二者并不矛盾.【知识深化】1.向心加速度的几种表达式：a n ＝v 2r ＝ω2r ＝4π2T 2r ＝ωv .2.向心加速度与半径的关系(如图所示)3.向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动(1)物体做非匀速圆周运动时，加速度不是指向圆心，但它可以分解为沿切线方向的分量和指向圆心方向的分量，其中指向圆心方向的分量就是向心加速度，此时向心加速度仍满足：a n ＝v 2r ＝ω2r .(2)无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心加速度都指向圆心.【例2】如图所示，一球体绕轴O 1O 2以角速度ω匀速旋转，A 、B 为球体上两点，下列几种说法中正确的是( )A.A 、B 两点具有相同的角速度B.A 、B 两点具有相同的线速度C.A 、B 两点的向心加速度的方向都指向球心D.A 、B 两点的向心加速度之比为21【答案】 A【解析】 A 、B 为球体上两点，因此，A 、B 两点的角速度与球体绕轴O 1O 2旋转的角速度相同，A 对；如图所示，A 以P 为圆心做圆周运动，B 以Q 为圆心做圆周运动，因此，A 、B 两点的向心加速度方向分别指向P 、Q ，C 错；设球的半径为R ，则A 运动的半径r A ＝R sin 60°，B 运动的半径r B ＝R sin 30°，v A v B ＝ωr A ωr B ＝sin 60°sin 30°＝3，B 错；a A a B ＝ω2r Aω2r B＝3，D 错.故选A.【例3】如图所示，O 1为皮带传动的主动轮的轴心，主动轮半径为r 1，O 2从动轮的轴心，从动轮半径为r 2，r 3为固定在从动轮上的小轮半径.已知r 2＝2r 1，r 3＝1.5r 1.A 、B 、C 分别是三个轮边缘上的点，则点A 、B 、C 的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)( )A.1∶2∶3B.2∶4∶3C.8∶4∶3D.3∶6∶2【答案】 C【解析】 因为皮带不打滑，A 点与B 点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率.根据向心加速度公式a n ＝v 2r ，可得a A ∶a B ＝r 2∶r 1＝2∶1.由于B 、C 是固定在同一个轮上的两点，所以它们的角速度相同.根据向心加速度公式a n ＝rω2，可得a B ∶a C ＝r 2∶r 3＝2∶1.5.由此得a A ∶a B ∶a C ＝8∶4∶3，故选C.归纳总结】讨论圆周运动的向心加速度与线速度、角速度、半径的关系，可以分为两类问题： (1)皮带传动问题，两轮边缘线速度大小相等，常选择公式a n ＝v 2r .(2)同轴转动问题，各点角速度相等，常选择公式a n ＝ω2r .【举一反三】如图所示，压路机大轮的半径R 是小轮半径r 的2倍.压路机匀速行驶时，大轮边缘上A 点的向心加速度是12 cm/s 2，那么小轮边缘上B 点的向心加速度是多少？大轮上距轴心距离为R3的C 点的向心加速度大小是多少？【答案】 a B ＝0.24 m/s 2 a C ＝0.04 m/s 2【解析】 大轮边缘上A 点的线速度大小与小轮边缘上B 点的线速度大小相等.由a A ＝v 2R 和a B ＝v 2r 得a B ＝Rr a A＝24 cm/s 2＝0.24 m/s 2；C 点和A 点同在大轮上，角速度相同，由a A ＝ω2R 和a C ＝ω2·R 3得a C ＝a A3＝4 cm/s 2＝0.04 m/s 2.【课堂练习】1.(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是( )C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心 【答案】 AD【解析】 向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变.物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；非匀速圆周运动的加速度不是始终指向圆心，故选A 、D. 2.关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )A.由a n ＝v 2r 可知，a n 与r 成反比 B.由a n ＝ω2r 可知，a n 与r 成正比C.由v ＝ωr 可知，ω与r 成反比D.由ω＝2πf 可知，ω与f 成正比 【答案】 D【解析】 质点做匀速圆周运动的向心加速度与质点的线速度、角速度、半径有关.但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能给出.当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论，正确答案为D.3.如图所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E 为大轮半径的中点，C 、D 分别是大轮和小轮边缘上的一点，则E 、C 、D 三点向心加速度大小关系正确的是( )A.a n C ＝a n D ＝2a n EB.a n C ＝2a n D ＝2a n EC.a n C ＝a n D2＝2a n ED.a n C ＝a n D2＝a n E【答案】 C【解析】 同轴转动，C 、E 两点的角速度相等，由a n ＝ω2r ，有a n Ca n E ＝2，即a n C ＝2a n E ；两轮边缘点的线速度大小相等，由a n ＝v 2r ，有a n C a n D ＝12，即a n C ＝12a n D ，故选C.4.下列关于向心加速度的说法中正确的是( )C ．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D ．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化 【答案】A【解析】向心加速度的方向时刻指向圆心，A 正确；向心加速度的大小不变，方向时刻指向圆心，不断变化，故B 、C 、D 错误．5．关于物体随地球自转的加速度大小，下列说法中正确的是( ) A ．在赤道上最大 B ．在两极上最大 C ．地球上处处相同 D ．随纬度的增加而增大 【答案】A【解析】物体随地球自转角速度相同，但自转的圆心在地轴上，自转的半径由赤道向两极逐渐减小，赤道处最大，由公式a ＝ω2r 知：自转的加速度由赤道向两极逐渐减小，因此，选项A 正确，选项B 、C 、D 错误．6.如图所示，A 、B 是两个摩擦传动轮(不打滑)，两轮半径大小关系为R A ＝2R B ，则两轮边缘上的( )A.角速度之比ωA ∶ωB ＝2∶1B.周期之比T A ∶T B ＝1∶2C.转速之比n A ∶n B ＝1∶2D.向心加速度之比a A ∶a B ＝2∶1 【答案】 C【解析】 两轮边缘的线速度相等，由ω＝v r 知，ωA ∶ωB ＝R B ∶R A ＝1∶2，A 错.由T ＝2πω知，T A ∶T B ＝ωB ∶ωA ＝2∶1，B 错.由ω＝2πn 知，n A ∶n B ＝ωA ∶ωB ＝1∶2，C 对.由a n ＝v 2r 知，a A ∶a B ＝R B ∶R A ＝1∶2，D 错.。