专题六 考前必做难题30题一、选择题1．已知，是方程的两个根，则的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D ．考点：根与系数的关系．2．如图，已知二次函数（）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为直线x =1，与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x ＞3时，y ＜0；②3a +b ＜0；③；④； 其中正确的结论是（ ）A ．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B ． 【解析】试题分析：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当x ＞3时，y ＜0，故①正确；②抛物线开口向下，故a ＜0，∵，∴2a +b =0．∴3a +b =0+a =a ＜0，故②正确； a b 2201310x x ++=22(12015)(12015)a a b b ++++2y ax bx c =++0a ≠213a -≤≤-248ac b a ->12bx a=-=考点：二次函数图象与系数的关系．3．如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ACB 的角平分线分别交AB 、CD 于M 、N 两点．若AM =2，则线段ON 的长为（ ）AC ．1 D【答案】C ． 【解析】试题分析：作MH ⊥AC 于H ，如图，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠MAH =45°，∴△AMH 为等腰直角三角形，∴AH =MH =AM =，∵CM 平分∠ACB ，∴BM=MH ，∴AB =，∴AC AB=，∴OC=AC，CH =AC ﹣AH ==BD ⊥AC ，∴ON ∥MH ，∴△CON ∽△CHM ，∴，即ON =1．故选C ． 2222+212122ON OC MH CH ==考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；正方形的性质；综合题． 4．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB =90°，OB =2OA ，点A 在反比例函数的图象上．若点B 在反比例函数的图象上，则k 的值为（ ） A ．﹣4 B ．4 C ．﹣2 D ．2【答案】A ． 【解析】试题分析：过点A ，B 作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，分别于C ，D ．设点A 的坐标是（m ，n ），则AC =n ，OC =m ，∵∠AOB =90°，∴∠AOC +∠BOD =90°，∵∠DBO +∠BOD =90°，∴∠DBO =∠AOC ，∵∠BDO =∠ACO =90°，∴△BDO∽△OCA ，∴，∵OB =2OA ，∴BD =2m ，OD =2n ，因为点A 在反比例函数的图象上，则mn =1，∵点B 在反比例函数的图象上，B 点的坐标是（﹣2n ，2m ），∴k =﹣2n •2m =﹣4mn =﹣4．故选A ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质；综合题．1y x=ky x=BD OD OBOC AC OA==1y x =ky x=5．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A =60°，以点B 为圆心的圆与AD 、DC 相切，与AB 、CB 的延长线分别相交于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为（ ）ABCD ．【答案】A ．考点：扇形面积的计算；菱形的性质；切线的性质；综合题．6．如图，AC 是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC 的内切圆，现将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，使点D 与点O 重合，折痕为FG ．点F ，G 分别在边AD ，BC 上，连结OG ，DG ．若OG ⊥DG ，且⊙O 的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）2ππ2π2πA ．CD +DF =4B ．CD ﹣DF =C ．BC +AB =D ．BC ﹣AB =2 【答案】A ． 【解析】试题分析：如图，设⊙O 与BC 的切点为M ，连接MO 并延长MO 交AD 于点N ，∵将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，使点D 与点O 重合，折痕为FG ，∴OG =DG ，∵OG ⊥DG ，∴∠MGO +∠DGC =90°，∵∠MOG +∠MGO =90°，∴∠MOG =∠DGC ，在△OMG 和△GCD 中，∵∠OMG =∠DCG =90°，∠MOGA =∠DGC ，OG =DG ，∴△OMG ≌△GCD ，∴OM =GC =1，CD =GM =BC ﹣BM ﹣GC =BC ﹣2．∵AB =CD ，∴BC ﹣AB =2．设AB =a ，BC =b ，AC =c ，⊙O 的半径为r ，⊙O是Rt △ABC 的内切圆可得r =（a +b ﹣c ），∴c =a +b ﹣2．在Rt △ABC 中，由勾股定理可得，整理得2ab ﹣4a ﹣4b +4=0，又∵BC ﹣AB =2即b =2+a ，代入可得2a （2+a ）﹣4a ﹣4（2+a ）+4=0，解得，∴BC +AB =． 再设DF=x ，在Rt △ONF 中，FN =，OF =x ，ON =，由勾股定理可得，解得CD ﹣DF=，CD+DF ==5．综上只有选项A 错误，故选A ．考点：三角形的内切圆与内心；翻折变换（折叠问题）．3412222(2)a b a b +=+-11a =21a =1a =3b =431x -11222(2)x x +=4x =1(4-314+7．如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上的一点，点P 从点B 沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是2cm /s ．若P 、Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），已知y 与t 的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（ ）A ．AE =12cmB ．sin ∠EBCC ．当0＜t ≤8时， D．当t =9s 时，△PBQ 是等腰三角形 【答案】D ． 【解析】D ．当t =9s 时，点Q 与点C 重合，点P 运动到ED 的中点，设为N ，如答图3所示，连接NB ，NC ．此时AN =14，ND =2，由勾股定理求得：NB =，NC =，∵BC =16，∴△BCN 不是等腰三角形，即此时△PB Q 不是等腰三角形．故④错误； 故选D ．考点：动点问题的函数图象；综合题．2516y t 80924148．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1、O 2、O 3，…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（ ）A ．（2014，0）B ．（2015，﹣1）C ．（2015，1）D ．（2016，0） 【答案】B ． 【解析】考点：规律型：点的坐标；规律型；综合题；压轴题．9．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦AD 平分∠BAC ，交BC 于点E ，AB =6，AD =5，则AE 的长为（ ）A ．2.5B ．2.8C ．3D ．3.2 【答案】B ． 【解析】2试题分析：如图1，连接BD 、CD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴BD，∵弦AD 平分∠BAC ，∴CD =BD ，∴∠CBD =∠DAB ，在△ABD 和△BED 中，∵∠BAD =∠EBD ，∠ADB =∠BDE ，∴△ABD∽△BED ，∴，解得DE =，∴AE =AB ﹣DE =5﹣=2.8．故选B ．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；综合题．10．如图，E 是边长为l 的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE =BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE于点R ，则PQ +PR 的值为（ ）A ．B ． C． D ．【答案】A ． 【解析】试卷分析：连接BP ，过C 作CM ⊥BD ，∴，即BE •CM =BC •PQ +BE •PR ，又∵BC =BE ，∴BE •CM =BE (PQ +PR )，∴CM =PQ +PR ，∵BE =BC =1且正方形对角线BD BC ，又BC =CD ，CM ⊥BD ，∴M 为BD 中点，又△BDC 为直角三角形，∴CM =BD ，即PQ +PR 值是．故选A. DE DB DB AD =5=11511522212332BPC BPE BCE S S S ∆∆∆+=12121212121222考点：正方形的性质。

二、填空题11．如图，抛物线的对称轴是．且过点（，0），有下列结论：①abc ＞0；②a ﹣2b +4c =0；③25a ﹣10b +4c =0；④3b +2c ＞0；⑤a ﹣b ≥m （am ﹣b ）；其中所有正确的结论是 ．（填写正确结论的序号）【答案】①③⑤． 【解析】∵x =﹣1时，函数值最大，∴（m ≠1），∴a ﹣b ＞m （am ﹣b ），所以⑤正确；故答案为：①③⑤．考点：二次函数图象与系数的关系．2y ax bx c =++1x =-122a b c m a mb c -+>-+12．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中，EF =4cm ，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为 cm ．【答案】． 【解析】试题分析：如图乙，取CD 的中点G ，连接HG ，设AB =6a cm ，则BC =7acm ，中间菱形的对角线HI 的长度为xcm ，∵BC =7acm ，MN =EF =4cm ，∴CN=，∵GH ∥BC ，∴，∴，∴x =3.5a ﹣2…（1）；∵上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2，∴6a •（7a﹣x ）÷2=54，∴a （7a ﹣x ）=18…（2）； 由（1）（2），可得：a =2，x =5，∴CD =6×2=12（cm ），CN ==9，∴DN ==15（cm ），又∵DH ===7.5（cm ），∴HN =15﹣7.5=7.5（cm ），∵AM ∥FC ，∴，∴HK ==，∴该菱形的周长为：×4=（cm ）．故答案为：．考点：菱形的性质；矩形的性质；综合题．13．已知正方形ABC 1D 1的边长为1，延长C 1D 1到A 1，以A 1C 1为边向右作正方形A 1C 1C 2D 2，延长C 2D 2到A 2，以A 2C 2为边向右作正方形A 2C 2C 3D 3（如图所示），以此类推…．若A 1C 1=2，且点A ，D 2，D 3，…，D 10都在同一直线上，则正方形A 9C 9C 10D 10的边长是 ．76=BC AB 503742a +GH DG CN DC=7127422a xa -=+742a +44945KN MN HK CN ===-57.545⨯+256256503503【答案】．【解析】试题分析：延长D 4A 和C 1B 交于O ，∵AB ∥A 2C 1，∴△AOB ∽△D 2OC 2，∴，∵AB =BC 1=1，=2，∴=，∴OC 2=2OB ，∴OB =BC 2=3，∴OC 2=6，设正方形A 2C 2C 3D 3的边长为，同理证得：△D 2OC 2∽△D 3OC 3，∴，解得，=3，∴正方形A 2C 2C 3D 3的边长为3，设正方形A 3C 3C 4D 4的边长为，同理证得：△D 3OC 3∽△D 4OC 4，∴，解得=，∴正方形A 3C 3C 4D 4的边长为；设正方形A 4C 4C 5D 5的边长为，同理证得：△D 4OC 4∽△D 5OC 5，∴，解得=，∴正方形A 4C 4C 5D 5的边长为；以此类推…．正方形A n ﹣1C n ﹣1C n D n 的边长为；∴正方形A 9C 9C 10D 10的边长为．故答案为：．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质；规律型；综合题；压轴题． 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD 的边OB 在x 轴正半轴上，反比例函数（）的图象经过该菱形对角线的交点A ，且与边BC 交于点F ．若点D 的坐标为（6，8），则点F 的坐标是 ．8732222OB ABOC D C =2212D C C C =222OB AB OC D C =121x 11266x x =+1x 2x 22399x x =+2x 92923x 3392722272x x =+3x 2742742332n n --87328732ky x=0x >【答案】（12，）． 【解析】考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；综合题；压轴题．15．已知点P 是半径为1的⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且PA =1，AB 是⊙O 的弦，AB，连接PB ，则PB= ．【答案】1 【解析】试题分析：连接OA ，（1）如图1，连接OA ，∵PA =AO =1，OA =OB ，PA 是⊙的切线，∴∠AOP =45°∵OA =OB ，∴∠BOP =∠AOP =45°，在△POA 与△POB 中，∵OA =OB ，∠AOP =∠BOP ，OP =OP ，∴△POA ≌△POB ，∴PB =PA =1；83（2）如图2，连接OA ，与PB 交于C ，∵PA 是⊙O 的切线，∴OA ⊥PA ，而PA =AO =1，∴OP，∵AB，而OA =OB =1，∴AO ⊥BO ，∴四边形PABO 是平行四边形，∴PB，AO 互相平分，设AO 交PB 与点C，即OC =，∴BC PB1考点：切线的性质；分类讨论；综合题．16．如图，OA 在x 轴上，OB 在y 轴上，OA =8，AB =10，点C 在边OA 上，AC =2，⊙P 的圆心P 在线段BC 上，且⊙P 与边AB ，AO 都相切．若反比例函数（）的图象经过圆心P ，则k = ．【答案】﹣5． 【解析】试题分析：作PD ⊥OA 于D ，PE ⊥AB 于E ，作CH ⊥AB 于H ，如图，设⊙P 的半径为r ，∵⊙P 与边AB ，AO 都相切，∴PD =PE =r ，AD =AE ，在Rt △OAB 中，∵OA =8，AB =10，∴OB =6，∵AC =2，∴OC =6，∴△OBC 为等腰直角三角形，∴△PCD 为等腰直角三角形，∴PD =CD =r ，∴AE =AD =2+r ，∵∠CAH =∠BAO ，∴△ACH ∽△ABO ，∴，即，解得CH =，∴AH ，∴BH ==，∵PE ∥CH ，∴△BEP ∽△BHC ，∴，即，解得r =1，∴OD =OC ﹣CD =6﹣1=5，∴P（5，﹣1），∴k =5×（﹣1）=﹣5．故答案为：﹣5．12ky x=0k ≠CH AC OB AB =2610CH =65858105-425BE PE BH CH=10(2)42655r r -+=考点：切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征；综合题；压轴题．17．关于x 的一元二次方程的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a 的取值范围是 ． 【答案】． 【解析】考点：抛物线与x 轴的交点；综合题；压轴题．18．如图，在边长为2的等边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE +DE 的最小值为 ．2310ax x --=924a -<<-【解析】试题分析：作B 关于AC 的对称点B ′，连接BB ′、B ′D ，交AC 于E ，此时BE +ED=B ′E +ED =B ′D ，根据两点之间线段最短可知B ′D 就是BE +ED 的最小值，∵B 、B ′关于AC 的对称，∴AC 、BB ′互相垂直平分，∴四边形ABCB ′是平行四边形，∵三角形ABC 是边长为2，∵D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴ADBD =CD =1，BB ′=2AD =B′G ⊥BC 的延长线于G ，∴B′G =AD在Rt △B ′BG 中，BG =3，∴DG =BG ﹣BD =3﹣1=2， 在Rt △B ′DG 中，BD BE +ED考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质；最值问题；综合题．19．如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 （结果保留π）．【答案】． 【解析】试题分析：根据图示知，∠1+∠2=180°﹣90°﹣45°=45°，∵∠ABC +∠ADC =180°，∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2=135°，∴阴影部分的面积应为：S ==．故答案为：．38π21351360π⨯38π38π考点：扇形面积的计算；压轴题．20．菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （2，0），∠DOB =60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，﹣1），当EP +BP 最短时，点P 的坐标为 ．【答案】（，．【解析】试题分析：连接ED ，如图，∵点B 的对称点是点D，∴DP =BP ，∴ED即为EP +BP 最短，∵四边形ABCD 是菱形，顶点B （2，0），∠DOB =60°，∴点D 的坐标为（1，∴点C 的坐标为（3，∴可得直线OC 的解析式为：，∵点E 的坐标为（﹣1，0），∴可得直线ED 的解析式为：，∵点P 是直线OC 和直线ED 的交点，∴点P 的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点P 的坐标为（，，故答案为：（，． 考点：菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题；动点型；压轴题；综合题．32y x =(11y x =-(11y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+-⎩32x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩323221．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC =1，将其放入平面直角坐标系，使A 点与原点重合，AB 在x 轴上，△ABC 沿x 轴顺时针无滑动的滚动，点A 再次落在x 轴时停止滚动，则点A 经过的路线与x 轴围成图形的面积为 ．【答案】． 【解析】考点：旋转的性质；扇形面积的计算；规律型；综合题．22．有9张卡片，分别写有这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a ，则使关于x 的不等式组有解的概率为____． 【答案】． 【解析】12π+1~943(1)122x x x x a ≥-⎧⎪⎨--<⎪⎩49试题分析：设不等式有解，则不等式组的解为，那么必须满足条件，，∴，∴满足条件的a 的值为6，7，8，9，∴有解的概率为．故答案为：．考点：解一元一次不等式组；含字母系数的不等式；概率公式；压轴题． 三、解答题23．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于A （1，a ）、B 两点．（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）在x 轴上找一点P ，使PA +PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标及△PAB 的面积．【答案】（1），；（2）P ，． 【解析】试题分析：（1）把A 的坐标代入一次函数可得到a 的值，从而得到k 的值，联立一次函数和反比例函数成方程组，解方程组即可得到点B 的坐标；()431122x x x x a ≥+⎧⎪⎨--<⎪⎩2133a x -≤<2133a ->5a >49P =494y x =-+ky x=k 0k≠3y x =()3,1B 5,02⎛⎫⎪⎝⎭32PAB S ∆=（2）如答图所示，把B 点关于x 轴对称，得到，连接交x 轴于点，连接，则有，，当P 点和点重合时取到等号．易得直线：，令，得，∴，即满足条件的P 的坐标为，设交x 轴于点C ，则，∴，，即．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；最值问题；轴对称-最短路线问题；综合题．24．为加强公民的节水意识，合理利用水资源．某市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于1：1.5：2．如图折线表示实行阶梯水价后每月水费y （元）与用水量xm 3之间的函数关系．其中线段AB 表示第二级阶梯时y 与x 之间的函数关系． （1）写出点B 的实际意义； （2）求线段AB 所在直线的表达式；()'3,1B -'AB 'P 'P B ''PA PB PA PB AB +=+≥'P 'AB 25y x =-+0y =52x =5',02P ⎛⎫⎪⎝⎭5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭4y x =-+()4,0C ()153431222PAB S ∆⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭（3）某户5月份按照阶梯水价应缴水费102元，其相应用水量为多少立方米？【答案】（1）图中B 点的实际意义表示当用水25m 3时，所交水费为90元；（2）；（3）27． 【解析】试题分析：（1）根据图象的信息得出即可；（2）首先求出第一、二阶梯单价，再设出解析式，代入求出即可； （3）因为102＞90，求出第三阶梯的单价，得出方程，求出即可．试题解析：（1）图中B 点的实际意义表示当用水25m 3时，所交水费为90元；（2）设第一阶梯用水的单价为x 元/m 3，则第二阶梯用水单价为 1.5 x 元/m 3，设A （a ，45），则，解得：，∴A （15，45），B （25，90），设线段AB 所在直线的表达式为，则：，解得：，∴线段AB 所在直线的表达式为；（3）设该户5月份用水量为xm 3（x ＞90），由第（2）知第二阶梯水的单价为4.5元/m 3，第三阶梯水的单价为6元/m 3，则根据题意得90+6（x ﹣25）=102，解得，x =27． 答：该用户5月份用水量为27m 3．考点：一次函数的应用；分段函数；综合题．25．某工厂在生产过程中每消耗1万度电可以产生产值5.5万元，电力公司规定，该工厂每月用电量不得超过16万度，月用电量不超过4万度时，单价是1万元/万度；超过4万度时，超过部分电量单价将按用94522y x =-451.5(25)90ax ax x a =⎧⎨+-=⎩153a x =⎧⎨=⎩y kx b =+45159025k b k b =+⎧⎨=+⎩92452k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩94522y x =-电量进行调查，电价y 与月用电量x 的函数关系可用如图来表示．（效益=产值﹣用电量×电价）（1）设工厂的月效益为z （万元），写出z 与月用电量x （万度）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求工厂最大月效益．【答案】（1）z =；（2）54万元． 【分析】（1）根据题意知电价y 与月用电量x 的函数关系是分段函数，当0≤x ≤4时，y =1，当4＜x ≤16时，函数过点（4，1）和（8，1.5）的一次函数，求出解析式；再根据效益=产值﹣用电量×电价，求出z 与月用电量x （万度）之间的函数关系式；（2）根据（1）中得到函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质，求出最值．【解析】（1）根据题意得：电价y 与月用电量x 的函数关系是分段函数，当0≤x ≤4时，y =1，当4＜x ≤16时，函数过点（4，1）和（8，1.5）的一次函数，设一次函数为y =kx +b ，∴，解得：，∴，∴电价y 与月用电量x 的函数关系为：，∴z 与月用电量x （万度）之间的函数关系式为：z =，即z=29 (04)2111 2 (416)82x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+-<≤⎪⎩418 1.5k b k b +=⎧⎨+=⎩1812k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1182y x =+ 1 (04)11 (416)82x y x x ≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩11 (04)2111141(4)() (416)282x x x x x x x ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪-⨯--+<≤⎪⎩； 【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是图中的函数为分段函数，分别求出个函数的解析式，注意自变量的取值范围．对于最值问题，借助于一次函数的性质和二次函数的性质进行解答． 考点：一次函数的应用；二次函数的最值；最值问题；分段函数；压轴题．26．如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG =2OD ，OE =2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连接AG ，DE ．（1）求证：D E ⊥AG ；（2）正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE ′F ′G ′，如图2．①在旋转过程中，当∠OAG ′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD 的边长为1，在旋转过程中，求AF ′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）①α=30°或150°；②，α=315°． 【解析】试题分析：（1）延长ED 交交AG 于点H ，易证△AOG ≌△DOE ，得到∠AGO =∠DEO ，然后运用等量代换证明∠AHE =90°即可；29 (04)2111 2 (416)82x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+-<≤⎪⎩22+（2）①在旋转过程中，∠OAG ′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG ′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG ′=90°时，α=150°；②当旋转到A 、O 、F ′在一条直线上时，AF ′的长最大，AF ′=AO +OF ′=，此时α=315°． （Ⅱ）α由90°增大到180°过程中，当∠OAG ′=90°时，同理可求∠BOG ′=30°，∴α=180°﹣30°=150°． 综上所述，当∠OAG ′=90°时，α=30°或150°．②如图3，当旋转到A 、O 、F ′在一条直线上时，AF ′的长最大，∵正方形ABCD 的边长为1，∴OA =OD =OC =OB =，∵OG =2OD ，∴OG ′=OG，∴OF ′=2，∴AF′=AO +OF，∵∠COE ′=45°，∴此时α=315°．考点：几何变换综合题；四边形综合题；分类讨论；旋转的性质；最值问题；综合题；压轴题．27．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB 的延长线相交于点D ，E ，F ，且BF =BC ．⊙O 是△BEF 的外接圆，∠EBF 的平分线交EF 于点G ，交于点H ，连接BD 、FH ．（1）求证：△ABC ≌△EBF ；（2）试判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（3）若AB =1，求HG •HB 的值．22+2+【答案】（1）证明见试题解析；（2）相切，理由见试题解析；（3）【解析】试题解析：（1）∵∠ABC =90°，∴∠CBF =90°，∵FD ⊥AC ，∴∠CDE =90°，∴∠ABF =∠EBF ，∵∠DEC =∠BEF ，∴∠DCE =∠EFB ，∵BC =BF ，∴△ABC ≌△EBF （ASA ）；（2）BD 与⊙O 相切．理由：连接OB ，∵DF 是AC 的垂直平分线，∴AD =DC ，∴BD =CD ，∴∠DCE =∠DBE ，∵OB =OF ，∴∠OBF =∠OFB ，∵∠DCE =∠EFB ，∴∠DBE =∠OBF ，∵∠OBF +∠OBE =90°，∴∠DBE +∠OBE =90°，∴OB ⊥BD ，∴BD 与⊙O 相切；（3）连接EA ，EH ，∵DF 为线段AC 的垂直平分线，∴AE =CE ，∵△ABC ≌△EBF ，∴AB =BE =1，∴CE =AE =，∴，∴，又∵BH 为角平分线，∴∠EBH =∠EFH =45°，∴∠HEF =∠HBF =45°，∠HFG =∠EBG =45°，∴△EHF 为等腰直角三角形，∴，∴，∵∠HF G =∠FBG =45°，∠GHF =∠GHF ，∴△GHF ∽△FHB ，∴，∴，∴ 222AB =12BF BC ==+()2222112422EF BE BF =+=++=+222EF HF =221222HF EF ==+HF HG HB HF=2HG HB HF ⋅=222HG HB HF ⋅==考点：全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；圆周角定理；探究型；压轴题；综合题．28．【发现】如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）【思考】如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？请证明点D也不在⊙O内．【应用】利用【发现】和【思考】中的结论解决问题：若四边形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，点E在边AB上，CE⊥DE．（1）作∠ADF =∠AED ，交CA 的延长线于点F （如图④），求证：D F 为Rt △ACD 的外接圆的切线；（2）如图⑤，点G 在BC 的延长线上，∠BGE =∠BAC ，已知sin ∠AED =，AD =1，求DG 的长．【答案】【思考】证明见试题解析；【应用】（1）证明见试题解析；（2）． 【解析】试题分析：【思考】假设点D 在⊙O 内，由圆周角定理及三角形外角的性质，可证得与条件相矛盾的结论，从而证得点D 不在⊙O 内；【应用】（1）作出RT △ACD 的外接圆，由发现可得点E 在⊙O 上，则∠ACD =∠FDA ，又∠ACD +∠ADC =90°，有∠FDA +∠ADC =90°，即可得出DF 是圆的切线；（2）由【发现】和【思考】可得点G 在过C 、A 、E 三点的圆O 上，证明四边形AOGD 是矩形，由已知条件解直角三角形ACD 可得AC 的长，即DG 的长．试题解析：【思考】如图1，假设点D 在⊙O 内，延长AD 交⊙O 于点E ，连接BE ，则∠AEB =∠ACB ，∵∠ADE 是△BDE 的外角，∴∠ADB ＞∠AEB ，∴∠A DB ＞∠ACB ，因此，∠ADB ＞∠ACB 这与条件∠ACB =∠ADB 矛盾，所以点D 也不在⊙O 内，所以点D 即不在⊙O 内，也不在⊙O 外，点D 在⊙O 上；【应用】（1）如图2，取CD 的中点O ，则点O 是RT △ACD 的外心，∵∠CAD =∠DEC =90°，∴点E 在⊙O 上，∴∠ACD =∠AED ，∵∠FDA =∠AED ，∴∠ACD =∠FDA ，∵∠DAC =90°，∴∠ACD +∠ADC =90°，∴∠FDA +∠ADC =90°，∴OD ⊥DF ，∴DF 为Rt △ACD 的外接圆的切线；（2）∵∠BGE =∠BAC ，∴点G 在过C 、A 、E 三点的圆上，如图3，又∵过C 、A 、E 三点的圆是RT △ACD 的外接圆，即⊙O ，∴点G 在⊙O 上，∵CD 是直径，∴∠DGC =90°，∵AD ∥BC ，∴∠ADG =90°，∵∠DAC =90°，252∴四边形ACGD 是矩形，∴DG =AC ，∵sin ∠AED =，∠ACD =∠AED ，∴sin ∠ACD =，在RT △ACD 中，AD =1，∴=，∴CD =，∴AC，∴DG．考点：切线的判定；圆周角定理；圆的综合题；压轴题．29．如图，抛物线与直线交于A ，B 两点，交x 轴与D ，C 两点，连接AC ，BC ，已知A （0，3），C （3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan ∠BAC 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE ，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一个单位速度运动到E 点，再沿线段EA 个单位的速度运动到A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）（1）（11，36）、（，）、（，）；（2）E （2，1）． 【解析】 2525AD CD 2552212y x mx n =++132y x =-+215322y x x =-+13133149173449试题分析：（Ⅰ）只需把A 、C 两点的坐标代入，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB 与抛物线的交点B 的坐标，过点B 作BH ⊥x 轴于H ，如图1．易得∠BCH =∠ACO =45°，BC，AC =从而得到∠ACB=90°，然后根据三角函数的定义就可求出tan ∠BAC 的值；（2）过点E 作EN ⊥y 轴于N ，如图3．易得AE EN ，则点M 在整个运动中所用的时间可表示为=DE +EN ．作点D 关于AC 的对称点D ′，连接D ′E ，则有D ′E =DE ，D ′C =DC ，∠D ′CA =∠DCA =45°，从而可得∠D ′CD =90°，DE +EN =D ′E +EN ．根据两点之间线段最短可得：当D ′、E 、N 三点共线时，DE +EN =D ′E +EN 最小．此时可证到四边形OCD ′N 是矩形，从而有ND ′=OC =3，ON =D ′C =DC ．然后求出点D 的坐标，从而得到OD 、ON 、NE 的值，即可得到点E 的坐标．试题解析：（Ⅰ）把A （0，3），C （3，0）代入，得：，解得：．∴抛物线的解析式为；联立，解得：或，∴点B的坐标为（4，1）．过点B 作BH ⊥x 轴于H ，如图1，∵C （3，0），B （4，1），∴BH =1，OC =3，OH =4，CH =4﹣3=1，∴BH =CH =1．∵∠BHC =90°，∴∠BCH =45°，BC ．同理：∠ACO =45°，AC =ACB =180°﹣45°﹣45°=90°，∴tan ∠BAC ==； （Ⅱ）（1）存在点P ，使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似．过点P 作PG ⊥y 轴于G ，则∠PGA =90°．设点P 的横坐标为x ，由P 在y 轴右侧可得x ＞0，则PG =x ，∵PQ ⊥PA ，∠ACB =90°，∴∠APQ =∠ACB =90°．212y x mx n =++212DE +212y x mx n =++319302n m n =⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩523m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩215322y x x =-+213215322y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩03x y =⎧⎨=⎩41x y =⎧⎨=⎩2BC AC 13若点G 在点A 的下方，①如图2①，当∠PAQ =∠CAB 时，则△PAQ ∽△CAB ．∵∠PGA =∠ACB =90°，∠PAQ =∠CAB ，∴△PGA ∽△BCA ，∴=，∴AG =3PG =3x ，则P （x ，3﹣3x ）． 把P （x ，3﹣3x ）代入，得：，整理得：，解得：（舍去），（舍去）．②如图2②，当∠PAQ =∠CBA 时，则△PAQ ∽△CBA ，同理可得：A G =PG =，则P （x ，），把P （x ，）代入，得：，整理得：，解得：（舍去），，∴P （，）； 若点G 在点A 的上方，①当∠PAQ =∠CAB 时，则△PAQ ∽△CAB ，同理可得：点P 的坐标为（11，36）．②当∠PAQ =∠CBA 时，则△PAQ ∽△CBA ，同理可得：点P 的坐标为P （，）． 综上所述：满足条件的点P 的坐标为（11，36）、（，）、（，）； （2）过点E 作EN ⊥y 轴于N ，如图3．在Rt △ANE 中，EN =AE •sin 45°=AE ，即AEEN ，∴点M 在整个运动中所用的时间为=DE +EN ．作点D 关于AC 的对称点D ′，连接D ′E ，则有D ′E =DE ，D ′C =DC ，∠D ′CA =∠DCA =45°，∴∠D ′CD =90°，DE +EN =D ′E +EN ．根据两点之间线段最短可得：当D ′、E 、N 三点共线时，DE +EN =D ′E +EN 最小．此时，∵∠D ′CD =∠D ′NO =∠NOC =90°，∴四边形OCD ′N 是矩形，∴ND ′=OC =3，ON =D ′C =DC ．对于，当y =0时，有，解得：，，∴D （2，0），OD =2，∴ON =DC =OC ﹣OD =3﹣2=1，∴NE =AN =AO ﹣ON =3﹣1=2，∴点E 的坐标为（2，1）．PG BC AG AC =13215322y x x =-+21533322x x x -+=-20x x +=10x =21x =-1313x 133x -133x -215322y x x =-+215133223x x x -+=-21303x x -=10x =2133x =13314917344913314917344921DE +215322y x x =-+2153022x x -+=12x =23x =考点：二次函数综合题；相似三角形的判定与性质；动点型；存在型；分类讨论；综合题；压轴题．30．如图，⊙E 的圆心E （3，0），半径为5，⊙E 与y 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），与x 轴的正半轴交于点C ，直线l 的解析式为，与x 轴相交于点D ，以点C 为顶点的抛物线过点B ． （1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l 与⊙E 的位置关系，并说明理由；（3）动点P 在抛物线上，当点P 到直线l 的距离最小时．求出点P 的坐标及最小距离．【答案】（1）；（2）直线l 与⊙E 相切与A ；（3）P （2，），． 【解析】试题分析：（1）连接AE ，由已知得：A E =CE =5，OE =3，利用勾股定理求出OA 的长，结合垂径定理求出OC 的长，从而得到C 点坐标，进而得到抛物线的解析式；（2）求出点D 的坐标，根据△AOE ∽△DOA ，求出∠DAE =90°，判断出直线l 与⊙E 相切与A ；（3）过点P 作直线l 的垂线段PQ ，垂足为Q ，过点P 作直线PM 垂直于x 轴，交直线l 于点M ．设M （m ，），P （m ，），得到PM ===，根据△PQM 的三个内角固定不变，得到PQ 最小=PM 最小•sin ∠QMP =PM 最小•sin ∠AEO ==，从而得到最小距离．344y x =+21416y x x =-+-94-315344m +21416m m -+-2314(4)416m m m +--+-2118164m m -+2131(2)164m -+31445⨯315第31页 共31页 试题解析：（1）如图1，连接AE ，由已知得：A E =CE =5，OE =3，在Rt △AOE 中，由勾股定理得，OA=4，∵OC ⊥AB ，∴由垂径定理得，OB =OA =4，OC =OE +CE =3+5=8，∴A （0，4），B （0，﹣4），C （8，0），∵抛物线的定点为C ，∴设抛物线的解析式为，将点B 的坐标代入上解析的式，得64a =﹣4，故a =，∴，∴所求抛物线的解析式为：； （2）在直线l 的解析式中，令y =0，得，解得x =，∴点D 的坐标为（，0），当x =0时，y =4，∴点A 在直线l 上，在Rt △AOE 和Rt △DOA 中，∵，，∴，∵∠AOE =∠DOA =90°，∴△AOE ∽△DOA ，∴∠AEO =∠DAO ，∵∠AEO +∠EAO =90°，∴∠DAO +∠EAO =90°，即∠DAE =90°，因此，直线l 与⊙E 相切与A ；（3）如图2，过点P 作直线l 的垂线段PQ ，垂足为Q ，过点P 作直线PM 垂直于x 轴，交直线l 于点M ． 设M （m ，），P （m ，），则PM ===，当m =2时，PM 取得最小值，此时，P （2，），对于△PQM ，∵PM ⊥x 轴，∴∠QMP =∠DAO =∠AEO ，又∠PQM =90°，∴△PQM 的三个内角固定不变，∴在动点P 运动的过程中，△PQM 的三边的比例关系不变，∴当PM 取得最小值时，PQ 也取得最小值，PQ 最小=PM 最小•sin ∠QMP =PM 最小•sin ∠AEO ==，∴当抛物线上的动点P 的坐标为（2，）时，点P 到直线l 的距离最小，其最小距离为．考点：二次函数综合题；二次函数的最值；探究型；最值问题；动点型；综合题；压轴题．2(8)y a x =-116-21(8)16y x =--21416y x x =-+-344y x =+3404x +=163-163-34OE OA =34OA OD =OE OA OA OD =344m +21416m m -+-2314(4)416m m m +--+-2118164m m -+2131(2)164m -+31594-31445⨯31594-315。