∴ f ′( x) = u( x)
v( x)
v( x)u′( x) [v′( x) ⋅ lnu( x) + ] u( x)
四、由参数方程所确定的函数的导数
通常，参数方程的导数可通过消参数的办法 得到显函数表达式，然后求导.
x = 2t , 例如 y = t2,
2
x t= 2
2
消去参数 t
相关变化率问题: 相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率
例9 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直
上升, 其速率为140米 / 秒.当气球高度为500米时 , 观察员视线的仰角增加 率是多少 ? 解 设气球上升 t秒后, 其高度为 h, 观察员视线
有时，若ϕ或ψ的导数不存在，则可用上述极限直接 计算。现举一例如下：
ψ (t0 + ∆t ) −ψ (t0 )
x = 2t + t dy 例8 设 ,求 t=0 . dx y = 5t 2 + 4t t
dx 分析: 解 分析 当 t = 0 时， (0)不存在, dt
不能用公式求导. 不能用公式求导
0
20米时, 水面每小时上升几米 ?
的仰角为 α , 则 h tanα = 500
2
500米
dα 1 dh 500米 = ⋅ 上式两边对 t求导得 sec α ⋅ dt 500 dt dh Q = 140米 / 秒, 当 h = 500米时, sec 2 α = 2 dt dα 仰角增加率 ∴ = 0.14(弧度 / 分 ) dt
α
河水以8米 3 / 秒的体流量流入水库中 , 水库 例10 形状是长为4000米, 顶角为120 的水槽 , 问水深
v0 sin α − gt = v0 cosα
( 2) 炮弹在 t 0时刻沿 x , y轴方向的分速度为
dx ′ vx = t = t 0 = (v 0 t cos α ) t = t 0 = v 0 cosα dt dy 1 2 vy = gt )′ t = t 0 = v 0 sin α t = t 0 = ( v 0 t sin α − dt 2
第二章
导数与微分
第三节 隐函数及由参数方程所 确定的函数的导数 相关变化 率
一、隐函数方程与参数方程简介
定义1: 定义1:(1).显函数方程: 形如 y = f ( x) 或 x = g( y)
的方程. 如 y = sin x或 x = y ln y.
(2).隐函数方程: 形如 F( x, y) = 0的方程. 如
(a). F( x, y) = y − x2 = 0,
(b). F( x, y) = x + y − 1 = 0,
2 2
y (c). F ( x, y) = x + y − arctan = 0, x 3 3 (d ). F( x, y) = x + y − 3xy = 0.
2 2
2
x 2 x ∴y=t =( ) = 2 4
1 ∴ y′ = x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导? 问题: 消参困难或无法消参如何求导
x = ϕ( t ) 在方程 中, y = ψ( t )
设函数 x = ϕ ( t )具有单调连续的反函数 t = ϕ ( x ),
−1
∴ y = ψ [ϕ ( x )]
ψ (t0 + ∆t ) −ψ (t0 ) dy ( P) = lim dx ∆t →0 ϕ(t0 + ∆t ) − ϕ(t0 )
若ϕ和ψ 均在t0处可导，且ϕ '(t0 ) ≠ 0, 则有
ψ '(t0 ) dy ∆t ( P) = lim = dx ϕ '(t0 ) ∆t →0 ϕ(t0 + ∆t ) − ϕ(t0 ) ∆t
解 (1) 在 t 0时刻的运动方向即
y
vy
v0
v vx
轨迹在 t 0时刻的切线方向 , 可由切线的斜率来反映 .
o x
1 2 (v 0 t sin α − gt )′ dy 2 = (v 0 t cos α )′ dx
dy ∴ dx
t = t0
v 0 sin α − gt 0 = . v 0 cos α
d 2 y d dy = d ( ψ ′( t ) ) dt = ( ) 2 dt ϕ′( t ) dx dx dx dx
ψ ′′( t )ϕ ′( t ) − ψ ′( t )ϕ ′′( t ) 1 = ⋅ 2 ϕ ′ (t ) ϕ ′( t )
d y ψ′′(t )ϕ′(t ) −ψ′(t )ϕ′′(t ) . 即 = 2 3 dx ϕ′ (t)
y =1
1 = 得 4
y ′′
x =0 y =1
1 =− . 16
三、对数求导法
( x + 1)3 x − 1 观察函数 y = , y = x sin x . 2 x ( x + 4) e 方法: 方法: 先在方程两边取对数, 先在方程两边取对数 然后利用隐函数的 求导方法求出导数. 求导方法求出导数 --------对数求导法 对数求导法 适用范围: 适用范围: v( x) 多个函数相乘和幂指函 数 u( x ) 的情形 .
2 2
y = sin= t sin t (−3π ≤ t ≤ 3π ).
其图形为： 观察其切线动画：
一、隐函数的导数
定义:由 程 确 的 数 y = y( x)称 隐 数. 定义: 方 所 定 函 为 函
y = f ( x ) 形式称为显函数 .
F ( x, y) = 0
( x + 1)3 x − 1 1 1 2 [ ∴ y′ = + − − 1] 2 x x + 1 3( x − 1) x + 4 ( x + 4) e
例5
设 y= x
sin x
( x > 0), 求y′.
解 等式两边取对数得 ln y = sin x ⋅ ln x
上式两边对 x 求导得
1 1 y ′ = cos x ⋅ ln x + sin x ⋅ y x 1 ∴ y ′ = y(cos x ⋅ ln x + sin x ⋅ ) x
)的 方程(c)的图形：
)的 方程(d)的图形：
y x + y − arctan = 0 x
2 2
2
x + y − 3 xy = 0
3 3
)的 观察图形(d )的切线动画：
定义2: 定义2:参数方程: 形如 x = ϕ(t ), y = ψ (t )的方程组.
如 圆周方程可表示为：x = cos t , 更复杂的方程如：
4 x 3 − y − xy ′ + 4 y 3 y ′ = 0
1 代入 x = 0, y = 1得 y ′ x = 0 = ; 4 y =1 将方程 (1)两边再对 x求导得
(1)
12 x − 2 y′ − xy′′ + 12 y ( y′ ) + 4 y y′′ = 0
2 2 2 3
代入 x = 0, y = 1, y ′ x = 0
y = f ( x)
隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导 问题 隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数不易显化或不能显化如何求导 隐函数求导法则: 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
二、隐函数的导数
例1 求由方程 xy − e x + e y = 0所确定的隐函数
sec t = 3a sin t
4
考虑参数方程一阶导数的几何求法 割线斜率的极限：
连接两点P(ϕ(t0 ),ψ(t0 ))与Q ϕ(t0 + ∆t ),ψ(t0 + ∆t )) ( 的割线斜率为：
ψ (t0 + ∆t ) −ψ (t0 ) k= ϕ(t0 + ∆t ) − ϕ(t0 )
则点P处的切线斜率，即导数为
=x
sin x
sin x (cos x ⋅ ln x + ) x
一般地
f ( x) = u( x)v( x) (u( x) > 0)
Q ln f ( x) = v( x)⋅ lnu( x)
d 1 d 又Q ln f ( x) = ⋅ f ( x) dx f ( x) dx
d ∴ f ′( x) = f ( x) ⋅ ln f ( x) dx
−1
再设函数ϕ ( t )，ψ ( t )都可导，且ϕ '( t ) ≠ 0.
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) dy dt = = ⋅ = ⋅ dt dx ϕ ′( t ) 即dx = dx dx dt dx dt dt
x = ϕ( t ) 若函数 二阶可导, y = ψ( t )
2
( , ) 2 2
= − 1. 3 3
3 3 所求切线方程为 y − = −( x − ) 即 x + y − 3 = 0. 2 2 3 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x , 显然通过原点 显然通过原点. 2 2
例3 设 x4 − xy + y4 = 1, 求y′′在点(0,1)处的值. 解 方程两边对 求导得 方程两边对x
− gt 0
∴ 在 t 0时刻炮弹的速度为
2 x 2 y
= v02 − 2v0 gt0 sinα + g 2 t02 v = v +v
例7
x = a cos t . 求由方程 表示的函数的二阶导数 3 y = a sin t