2
5.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件;丙 是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( A ) (A)丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 (B)丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 (C)丙是甲的充要条件 (D)丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
甲
乙 丙
思考：写出下列两个命题的条件和结论， 并判断是真命题还是假命题？ （1）若x＞a2 +b2，则x＞2ab, 条件 结论 真命题
方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的充要 条件是△≥0. (2) 在⊿ABC中，如果∠C=90°，则AC2+ BC2=AB2; 反之，如果AC2+BC2=AB2 ，则 ∠C=90°; 这两个命题都是真命题，合起 来可用充要条件表述为： 在⊿ABC中， ∠C=90°的充要条件是 AC2+ BC2=AB2;
也不必要
2. 方程 ax bx c 0(a 0) 有实数根是 必要不充分 条件. ac 0 的_________
2
x y 4 x 2 必要不充分 条件. 3. 是 的_________ xy 4 y 2
4.已知 p : x 3x 2 0 , q : x 0 , 必要不充分 条件. 则 p 是 q 的 充分不必要 ________条件, q 是 p 的________
（2）a＝0成立的条件是 ab＝0. 条件 假命题 结论 可以改成：若ab＝0，则a＝0. 基本形式：“若p，则q”.
在上面的问题(1)中：若x＞a2 +b2，则x ＞2ab. 是真命题。 所以，x＞a2 +b2是x＞2ab的充分条件； x＞2ab是x＞a2 +b2的必要条件。 举例说明： 命题“如果x=－y,则x2=y2”是真命题 x=－yx2=y2; x=－y是x2=y2的充分条件;
x2=y2是 x=－y的必要条件.
(3) 如果四边形是平行四边形，则它的一 组对边平行且相等；反之，如果四边形的 一组对边平行且相等，则这个四边形是平 行四边形.
由于这两个命题都是真命题，所以这两 个命题合起来表述为：
一个四边形是平行四边形的充要条件是 它的一组对边平行且相等。
课堂练习: 1.在下列电路图中,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的什么条件:
充分不必要条件; ⑴如图①所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的__________ 必要不充分 条件; ⑵如图②所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的__________ 充要 ⑶如图③所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的__________ 条件; 既不充分 ⑷如图④所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的__________ 条件.
归纳思考：p和q之间一共会有几种推 出关系？此时p是q的什么条件？
例3：下列“若p，则q”形式的命题中，p 是q的什么条件？ （1）若x=1，则x2－4x＋3＝0； （2）若f(x)＝x，则f(x)为增函数. （1）（2）: p是q是充分不必要条件.
例4：下列“若p, 则q”形式的命题中，p 是q的什么条件? （1）若x＝y，则x2＝y2； 充分不必要条件. （2）若两个三角形的周长相等，则这两 个三角形全等； 必要不充分条件. 必要不充分条件. （3）当c>0时，若a＞b，则ac＞bc．
(2) p: a2=4；q: a=2.
(3) p: A B；q: A∩B=A.
解：(1) p是q的充分条件，不是必要条件. (2) p是q的必要条件，而不是充分条件. (3) p是q的充分和必要条件.
一般地，如果pq，且qp，则称p是q
的充要条件，记作p q. 显然，q也是p的充要条件。 又常说成是q当且仅当p或p与q等价. 举例说明： (1) 如果二次方程ax2+bx+c=0的判别式 △=b2－4ac≥0，则这个方程有实数根. 反之，如果二次方程有实数根，则△≥0. 这两个命题都是真命题，合起来可以 用充要条件表述为：
”是真命题;
的充分条件； 的必要条件.
以上不同的叙述，表达了同一意义的逻
辑关系。
例1.用“充分”或“必要”填空，说明理由： 1. “a和b都是偶数”是“a+b是偶数”的 充分 条件； 2. “四边相等”是“四边形是正方形”的 必要 条件； 3. “x≠3”是“|x|≠3”的 必要 条件； 4. “x－1=0”是“x2－1=0”的 充分 条件；
充分 条件； 5. “a=2，b=3”是“a+b=5”的 6. “自然数能被5整除”是“自然数个位数 必要 字是5的”的 条件 7. “两直线平行”是“同位角相等”的 条件； 充分 必要
思考：以上描述是否完整？
例2. 在下列各命题中，试从两方面判定 p是q的什么条件： (1)p: 两三角形全等；q: 两三角形面积相等.
（2）逆命题： “若q ，则p”； （3）否命题： “若非 p ，则非q”；
（4）逆否命题： “若非q ，则非p”.
一般来说Байду номын сангаас四种命题形式之间有如下关系：
若p，则q
互 否
互逆
互为 逆否
若q ，则p
互 否
若非p ，则非q
若非 q ，则非 p 互逆
互为逆否的两个命题等价(同真或同假)
1.2 充分条件、必要条件
复习回顾一：命题的概念
1.定义：一般地，我们把用语言、符号 或式子表达的，可以判断真假的陈述句 叫做命题．其中判断为真的语句为真命 题，判断为假的命题叫做假命题.
2.所有的命题都是由条件和结论两部分构 成．在数学中，命题常写成“若p，则q” 的形式；
复习回顾2：四种命题
（1）原命题： “若p，则q”；
一般地，“若p，则q”为真命题，是 指由p通过推理可以得出q．这时，我们 就说，由p可推出q，记作：pq． 定义：如果命题“若p，则q”为真命题，
即p q, 那么我们就说p是q的充分条件；
q是p必要条件．
如: 命题“若A∩B≠ A∩B≠ A∩B≠ A≠ A≠ 是A≠ 是A∩B≠
,则A≠