2019-2020学年高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 导数
与函数的单调性教案1 北师大版选修1-1
一、教学目标：
1．会从几何直观了解可微函数的单调性与其导数之间的关系，并会灵活应用；
2．会用导数判断或证明函数的单调性；
3．通过对可微函数单调性的研究，加深学生对函数导数的理解，提高学生用导数解决实际问题的能力，增强学生数形结合的思维意识．
二、教学重点：正确理解“用导数法判别函数的单调性”的思想方法，并能灵活应用． 教学难点：灵活应用导数法去解决函数单调性的有关问题的能力，以及解题善于运用数形结合的思想方法．
三、教学用具：多媒体
四、教学过程
1．复习引入
问题1 对于函数34)(2+-==x x x f y ，利用函数单调性的定义讨论它在R 上的单调性．（此题是教科书中引例的变式．多媒体展示）
教师引导学生独立完成，并请学生上台板演，以帮助学生复习函数单调性的有关知识．点评学生的解答后，展示教师的推演过程与函数图象，理清学生的思路．
略解：对任意R 21∈<x x ，有)4)(()()(21212121-+-=-=-x x x x x f x f y y ． 当221<<x x 时，有021>-y y ，知)(x f 在其中是减函数；
当212x x <<时，有021<-y y ，知)(x f 在其中是增函数．
2．新授
（多媒体画面中，问题1的解答消失，问题1与图形适当调整位置，并增加展示出图象上点))(,(00x f x 处的切线随0x 变化的动画．给出问题2）
问题 2 对于函数34)(2
+-=x x x f ，它的增减性与函数图象在相应区间上的切线的斜率有何联系？
从动画中学生不难看出：在区间),2(+∞内，函数为增函数，切线的斜率为正；在区间
)2,(-∞内，函数为减函数，切线的斜率为负；在2=x 时，函数的切线的斜率为0． （画面中问题1、2与图形适当调整位置，给出问题3）
问题3 对于函数34)(2+-==x x x f y ，它的增减性与函数在相应区间上导数的正负符号有何联系？
因函数在某点处的导数就是函数在该点的切线的斜率，或从动画中学生易知：函数在区间),2(+∞内导数为正；在区间)2,(-∞内导数为负；在2=x 时，函数的切线的斜率为0．
分段展示结论：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数；如果在某区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数．
特别说明第三点：)(x f 在某区间内为常数，当且仅当0)(=x f 在该区间内“恒有”之时．否则可能只是“驻点”（曲线在该点处的切线与x 轴平行）．
3．例题与练习
例1
题解可引导学生自己完成，教师加以完善．然后向学生展示教师的书写格式与此函数的图象，使学生能清楚解题时应如何表达书写为好．最后可提示学生，)(,0)1(x f f ='在1=x 处改变了增减性，)(x f 改变了正负符号，为下一节的学习作铺垫．
学生独立完成并请上台板演．点评时注意学生的思路、符号、术语、书写格式是否合理．然后向学生展示教师的推演过程与函数的图象，以帮助学生理清思路．（解题过程略） 例2
师生共同完成，展示教师的解答与此函数的图象，加深学生的理解．说明在1=x 和2=x 处函数改变增减性，导数为0．一是使学生能更清楚在何种情况下)(x f 为常数，而不是驻点；二是为下一节课学习函数的极值埋下伏笔．（解题过程略）
特别说明：利用导数法去探讨可微函数的单调性，一般要比定义法简捷，提醒学生在以后解题时可多尝试使用此法．
补充练习1函数53)(2
3--=x x x f 的单调递增区间是_____________．
略解：由0)2(363)(2>-=-='x x x x x f ，得增区间为)0,(-∞与),2(+∞．
补充练习2 已知函数31232)(23+-+=x x x x f ，则函数)(x f 在（－2，1）内是（ ）
A ．单调递减
B ．单调递增
C ．可能递增也可能递减
D ．以上都不成立
略解：当)1,2(-∈x 时，有0)1)(2(6)(<-+='x x x f ，递减．故选A ．
补充练习3 已知函数x x x f ln )(=，则（ ）
A ．在),0(+∞上递增
B ．在),0(+∞上递减
C ．在⎪⎭⎫
⎝⎛e 1,0上递增 D ．在⎪⎭
⎫ ⎝⎛e 1,0上递减 略解：当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e x 1,0时，01ln )(<+='x x f ，递减．故选D ．
补充练习4 函数1+-=x e y x 的递减区间是_______________．
略解：要使01<-='x e y ，只需0<x ，故递减区间为)0,(-∞．
补充练习5 证明函数22x x y -=
在区间（0，1）上单调递减，而在区间（1，2）上单调递增．
略证：由)
2(1x x x y --='，在（0，1）上0>'y ，增；在（1，2）上0<'y ，减． 补充练习6 讨论函数x x y sin 2-=在)2,0(π内的单调性．
略解：因x y cos 21-='，由0>'y ，得353ππ
<<x ，增．由0<'y ，得3
0π<<x ，ππ23
5<<x ，减． 4．归纳小结
（1）函数导数与单调性的关系：0)(>'x f 时，增函数；0)(<'x f 时，减函数．用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便．
（2）本节课中，用导数方法去研究函数单调性问题是中心，灵活应用导数法去解题是目的，适当的见识与练习是达到目的最佳手段，数形结合是应使学生养成的良好思维习惯．
五、布置作业
教科书习题 第1、2题
课外研究题
1．设函数ax x x f -+=1)(2，其中0>a ，求a 的取值范围，使函数)(x f 在),0(+∞上是单调函数．（2000年全国高考题） 略解：a x x
x f -+='1)(2，其中0>a 且),0(+∞∈x 时，)1,0(12∈+x x 使函数)
(x f 在),0(+∞上是单调必然；0)(<'x f ，知1≥a ．
2．当0>x 时，证明不等式
x x x x <+<+)1ln(1成立． 解：作函数)1ln(1)(x x x x f +-+=，当0>x 时，0)
1()(2<+-='x x x f ，知)(x f 单调递减；当0=x 时，0)(=x f ．知)(x f 在0>x 时，0)(<x f ．
作x x x g -+=)1ln()(，当0>x 时，01)(<+-='x
x x g ，知)(x g 单调递减；当0=x 时，0)(=x g ．知)(x g 在0>x 时，0)(<x g ．综上获证．。