例题 一空心轴α=d/D=0.8，转速n=250r/m, 功 率 P=60kW ， [t] =40MPa ，求轴的外直径 D 和 内直径d。 解：
P 60 m 9549 9549 2291.76N m n 250
229176 . 6 40 10 3 D3 D (1 4 ) (1 0.8 4 ) 16 16
Me Me
T Me
Me
Mx
T
+
n
Mx T’
Me
T Me
扭矩T的符号规定：
Me Mx T
n
+
Me Mx
T
n
_
功率与扭矩间的换算关系：
作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。 在传动轴计算中，通常给出传动功率 P 和转递 n ， 主动轮上的外力偶矩（输入力偶 则传动轴所受的外加扭力矩 Me可用下式计算： 矩）的转向与轴的转动方向相同，而 P 从动轮上的外力偶矩（输出力偶矩） M e 9549 [N m] n 的转向与轴的转动方向相反，是阻力 偶矩。 其中P 为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单
解：
PA 50PS PB PC 15PS PD 20PS n=300rpm
PA 50 mA 7024 7024 1170N m n 300
PB 15 mB mC 7024 7024 351N m n 300 PD 20 mD 7024 7024 468N m n 300
t max t max
最大剪应力 最大剪应力不超出材料的剪切比 例极限—线弹性范围 在圆轴的任一或指定横截面上 Ip T max T D 2 t max 令抗扭截面系数：Wp IP IP max
t max
T WP
求轴内的最大剪应力 1、一般圆轴（非等直）： 对整根轴而言，T＝T(x)， = (x)，IP＝IP(x) ，故：
位为转/分（r/min）。
如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 N•m/s）， 则
P[马力] M e 7024 [N m] n[r / min]
扭矩图
扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为 扭矩图。绘制扭矩图的方法与绘制轴力图 的方法相似。
例题
圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力 偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶 矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。 试画出圆轴的扭矩图。
t max
T 1.5 103 51MPa ＜ t 60MPa 9 WP 29400 10
2、确定实心轴的直径
根据题意，实心轴的最大剪应力 t max 51MPa
T t max 3 D实 16
3 16 1.5 10 D实 3 m 53mm 6 5110
A D2 d 2

2 2 d
Wp Ip
D4 d 4
32
Ip D2

3
D4
32
4 1
D
16
max
1
4
=d / D
例题：内外径分别为 20mm 和 40mm 的空心圆截 面轴，受扭矩T=1kN· m作用，计算横截面上A点 的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。
T(x)
d
T x d dx GI P x
T x dx GI p x
沿轴线方向积分，得到
dx
AB d
A
B
B
A
对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴， 两端面的相对扭转角为： Tl GI P 对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶 梯状圆轴，轴两端面的相对扭转角为：
Ti li i 1 GI Pi 为了排除长度的影响，采用单位长度相对扭转 角表示圆轴的扭转变形程度，即扭转角的变化率。 T x d x
dx GI p x
n
例题：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转角为
6°时，轴内最大剪应力等于 90MPa ， G=80GPa 。 求该轴长度。
T
42.44 MPa
例题：一直径为 D1的实心轴，另一内外径之 比 α ＝ d2 ／ D2 ＝ 0.8 的空心轴，若两轴横截面 上的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴 外直径之比D2/D1。 解：由
T
D1
16
得：
3

T
D2
16
3
(1 0.8 )
4
D2 1 3 1192 . 4 D1 1 0.8
得 D 791 . mm
由
m
d 63.3mm
例题 汽车传递轴用45号无缝钢管制成，外径 D=90mm，壁厚t=2.5mm，工作时最大扭矩 T=1.5KN· m，材料的许用剪应力[t] =51MPa 1、校核轴的强度； 2、改为实心轴时，在强度相同条件下，确定轴的直径； 3、比较实心轴和空心轴的重量。 合轴 要的 解：1、校核轴的强度 求强 D 2t 90 2 2.5 度 0.944 D 90 符 3 D 4 WP (1 ) 903 (1 0.9444 ) 29400mm4 16 16
16
3

D3
16
(1 0.54 )
得：
A空 A实
D 1.022 d1
D2
4
(1 0.52 )
2
d1
4
0.783
圆杆扭转时的变形及刚度条件
★ 受扭圆轴的相对扭转角
m A x T(x) B dx m
圆轴扭转时，任意两 截面间绕轴线相对转动的 角度称为该两截面间的相 对扭转角，如AB dx微段的相对扭转角
该式的求解可采用 函数极值的计算方 法进行
t max
T x x T x t max x I P x max WP x max
2、等直圆轴： 等直意味着IP(x)＝const，max(x)=const， 即WP(x)＝const，因此圆轴中的最大剪应力
Tmax t max WP
注意：如果对于象阶梯轴一样的分段 等直轴如何计算？
圆截面的极惯性矩与抗扭截面系数 对于实心圆截面
I p 2dA
A D2

0
2 2 d
Ip D2
D4
32
Wp
Ip
D3
16
d
D
max
对于圆环截面
I p 2 dA
z1 n3＝n1 z3
计算各轴的横截面上的最大切应力
t max E
t max H
M x1 16 1114 Pa 16.54MPa 3 -9 WP1 π 70 10
M x 2 16 557 Pa 22.69MPa 3 -9 WP 2 π 50 10
T
T A C A

C
B
D
t
B
t，
D
横截面上的剪应力
变形几何分析
d dx
剪应变的分布规律 是什么？
物性关系与应力分布
t
剪切虎克定律
t =G
O

d t G G dx
剪应力的分布规律 是什么？
静力学方程
d d 2 t d A G d A G dA T dx dx A A A
2 2
D12
D 2
例题
3
E轴将功率一半传给C轴，一半传给 H轴，已知，P1＝14kW, n1= n2= 120 r/min, z1=36, z3=12; d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. 求:各轴横截面上的最 大切应力。
3
解：计算各轴的功 率与转速
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW n1=n2= 120r/min
36 ＝120 r/min ＝360r/min 12
计算各轴的扭矩
16 185.7 Mx1=T1=1114 N.m t C M x3 Pa 21.98MPa max WP3 π 353 10 -9 Mx2=T2=557 N.m
Mx3=T3=185.7 N.m
解：
Tl GI p
(1)
t max
T Wp
(2)
(1) 得： ( 2)
6 80 10 0 . 05 I G p 180 l 6 t max Wp 90 10 2
Nanjing University of Technology
第二篇 材料力学
第六章 圆轴扭转
杆的两端承受大小相等、方向相反、 作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆 的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种 受力与变形形式称为扭转
工程中承受扭转的圆轴
传动轴
扭矩与扭矩图
扭矩
应用截面法可以确定受扭杆件横截面上 的内力—扭矩，扭矩用T表示。
3、比较实心轴和空心轴的重量 两轴材料相同、长度相等，重量比等于横截面面积比
A空 D2 d 2 902 852 0.31 2 A实 D实 53
例题：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆 轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少? 解：设实心轴的直径为 d1 ，由
T T
d1
圆轴扭转时的强度条件
t max
T [t ] Wp
t
在静载作用下，同一种材料在纯剪切 和拉伸时的力学性能之间存在一定的联系，因而通常 可以从材料的许用拉应力值来确定其许用剪应力值 钢： t (0.5 0.60) 铸铁： t (0.8 1) 考虑到受扭圆轴的动 荷载等因素，所取的许用 剪应力一般比静荷载下的 许用剪应力还要低一些