横向：圆周线仍相互平行，

且形状和大小不变，间距不
变，但相邻圆周发生相对转
动
纵向：各纵向线仍然平行，但倾斜了一个角度，由纵向线与 圆周线所组成的矩形变成了平行四边形
平截面假定：圆轴扭转变形后，横截面保持为平面，其形 状和大小及相邻两横截面间的距离保持不变，半径仍保持 为直线（横截面刚性地绕轴线作相对转动）
推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。
1. 变形几何条件
取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角df
，原来的矩形ABCD变成为菱形ABCD。
MT
r
A C
df
B
C O
D df r
D
dx
是微元的直角改变量，即半径r 各处的剪应变。因为
CC= dx=rdf , 故有：
第八章 圆轴的扭转
8.1 扭转的概念与实例 8.2 扭矩、扭矩图 8.3 圆轴扭转时的应力与变形 8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 8.5 静不定问题
8.1 扭转的概念与实例
传动轴
实际工程中，有很多产生扭转变形的构件。图示汽车操纵杆 ；机械中的传动轴等。
研究对象： 圆截面直杆
受力特点：
作用在垂直于轴线的不同平 面内的外力偶，且满足平衡 方程:
TBC=mA-mB=-74Nm
mB B TBC
4）扭矩图 T
74
+
Cx
A
B
–
74
[例8-3] 一传动轴如图，转速 n 300 r min ；主动轮输 入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2=
150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴的扭矩图。
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
rdf / dx
df /dx ,称为单位扭转角。
对半径为r的其它各处，可作类 似的分析。
1. 变形几何条件
MT
2
TBC 2
B mx C
2 TBC
2
T
A
用假想截面2将圆轴切开 ，取左段或右段为隔离 体，根据平衡条件求得 ：
TBC=-mx
（3）作扭矩图
2mx +
B
–
Cx mx
[例8-2]图示为一装岩机的后车轴，已知其行走的功率 PK=10.5kW，额定转速n=680r/min，机体上的荷载通过轴承 传到车轴上，不计摩擦，画出车轴的扭矩图
讨论：试作扭矩图
M A 40kN.m 10kN.m 10kN.m
o
x
10kN.m 10kN.m 40kN.m 20kN.m A
B
CD
o
x
A BC D
向 按右手法确定
求反力偶： M A 20kN m 向 按右手法确定
MT / kN m 20
10
MT图
MT
/
kN
20
m
MT图
A
B
C
D
20
A
B
C
D
10
20
8.3 圆轴扭转时的应力与变形
8.3.1. 横截面上的应力
表面 变形 情况
横截面 推断 的变形
情况
(问题的几何方面)
横截面 上应变 的变化 规律
应力-应变关系
横截面上 内力与应力的关系 横截面上应力
应力变化
的计算公式
规律
(问题的静力学方面)
(问题的物理方面)
圆轴扭转实验现象：
T
+
x
–
[例8-1]、作图示圆轴的扭矩图
A
1 3mx
2mx
B
1 TAB
2mx
1
解：由于AB、BC两段 mx 的扭矩不同，所以要分
段计算 C
（1）计算AB段的扭矩
用假想的1截面将轴切开，取 左段为隔离体 根据平衡条件求得：
TAB=2mx
A
3mx 2
mx （2）计算BC段的扭矩
2mx
B
A
3mx
2mx
M1

(9.55103

500)N 300

m

15.9 103
N

m

15.9
kN
m
M2

M3

(9.55103
150) 300
N
m

4.78103
Nm

4.78
kN m
M4

(9.55103

200) 300
Nm

6.37 103
Nm

6.37
kN m
2. 计算各段的扭矩 BC段内： T1 M2 4.78 kN m 注意这个扭矩是假定为负的
SMx=0
y
M0
z
变形前
变形特征：相对扭转角 fAB
fAB x
M0
变形后
从动轮 n
Me 主轴
主动轮
叶片
本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的 情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要 研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工 作的情况。
8.2 扭矩与扭矩图
扭矩：MT是横截面上的内力偶矩。 内力—由截面法求得。
M0
M0
取左边部分
MT
M0 假想切面
外力偶
内力偶
平衡
由平衡方程： MT M0
M0
M0
取左边部分
MT
M0 假想切面
外力偶
扭矩
由平衡方程：
平衡
M0
MT M0 MT 取右边部分 MT
MT 和MTT是同一截面上的内力，应
当有相同的大小和正负。
扭矩
外力偶
平衡
扭矩的符号规定：
M0
MT
正
M0
MT
负
按右手螺旋 法则确定扭 矩的矢量方 向，扭矩矢 量的指向与 截面的外法 线方向一致 者为正，反 之为负。
n T （+）
n
m
m
n
T（+） n
上述截面的内力（扭矩）为正值
扭矩图：利用截面法每次只能求某一指定截面上的扭矩 ，为能反映出扭矩的分布情况，我们以杆件的轴线为基 线，用一个图形来表示沿轴长各横截面上扭矩的变化规 律，称为扭矩图
4.78
6.37
15.9
4.78
简捷画法：
MT图 10kN m 10kN m
FN图（轴力）
2kN 8kN
5kN
o
x
A
C B 20kN m
5kN 2kN 8kN
5kN
向 按右手法确定
向
MT / kN m
20
5kN
3kN
10
N图
5kN
A
B
C
在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。
解：1）计算外力矩
A
C
B
mA
mC

齿轮B输入的功率分别传递
到轮A、C上，每个轮所消耗
的功率为：PK/2
mB
9550 PK n
148N m
mA

mC

mB 2

74N
m
2）计算AB段内力
mA
mC
根据平衡条件，可求
mA A
mA A
mB
得：
TAB=mA=74Nm
3）计算BC段内力
TAB 根据平衡条件，求得：
CA段内：T2 M 2 M3 9.56 kN m (负) AD段内：T3 M 4 6.37 kN m
3. 作扭矩图
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其 值为9.56 kN·m。
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭 矩图。这样的布置是否合理？