350 450 550 650 750 850 －
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组中值的一般计算方法是： 闭口组组中值：
上限+下限 组中值= 2
缺上限组中值（开口组）： 缺下限组中值（开口组）：
相邻组组距 第一组组中值= 上限－ 2
相邻组组距 第末组组中值= 下限＋ 2
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计算平均日包装量的过程：
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(4)对于任何两个变量和，它们的代数和的算术平 均数就等于两个变量的算术平均数的代数和，即：
x y x y
(5)对各总体单位标志值加（减）一个任意数A，则 算术平均数也要增加或减少该数A，即：
n n n x Af xf A f x A f f f
比重（%） fi/∑fi
∑xifi
50-60
60-70
70-80 合 计 —
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12
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感谢您的关注
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4、算术平均数的数学性质
(1)算术平均数与总体单位数的乘积等于各总体单 位标志值的总和。即：
n x x x f xf
(2)各总体单位标志值与算术平均数离差之和等于 0，即： x x x n x 0 (3)各总体单位标志值与算术平均数离差平方和为
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x x
0
2
nc x x
2
2
c 0 nc 0
2
x x x x
2 0
2
平均数的这一性质说明： 以任意不为平均数的数值为中心计算的离差平方 和总大于以平均数为中心计算的离差平方和，因此， 算术平均数是误差最小的总体代表值。

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例3、仍用表3-5中的资料，用频率作为权数 来计算加权平均数，结果见表3-7。 表3-7 算术平均数计算表3
日产量（件） 工人数（人）
xi 10 20 fi 1 2
人数比重（%）
xi/∑fi 10 20
xi
f
1 4
fi
i
30
合计
7
10
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70
100
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x Af xf A f f f f
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x A
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【作业】：
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1、根据表3-1 某生产组25工人日产量资料计算加 权算术平均数。
2、某车间生产某种零件日产量如下所示，计算算 术加权平均数。
某车间日生产零件情况表 工人人数（人） fi 8 零件数
（件）
组中值 xi
xi
xi
⑴
fi
⑵ 5 13 18 15 7 2 60
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xi/∑fi
⑶ 8.3 21.7 30 25 11.7 3.3 100
f
fi
i
⑴×⑶ 29.05 97.65 165 162.5 87.75 28.05 570
400以下 400～500 500～600 600～700 700～800 800以上 合计

由此可见，平均日产量14件趋向于工人 人数最多，即频数最多的那个变量——10 件。
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由上述例子可以看出，以分组数据 计算算术平均数时，其数值的大小受 两个因素的影响，即： 一个受各组的变量值x的影响； 另一个是受各组变量值出现的次数， 即频数f的影响。

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如果将上例变化：
表3-6 算术平均数计算表2 日产量（件） 工人数（人） xi ×fi 70 40 30 140
xi
10 20 30 合计
fi
7 2 1 10
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解：根据资料，可以计算该生产组10组名 工人的平均日产量为：
x f x f
i i i
140 14 （件） 10
一、算术平均数
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算术平均数是最常用的平均指标，表现形 式为有名数。 算术平均数的基本计算公式：
算术平均数= 总体标志总量 总体单位总量

算术平均数可分为简单算术平均数和加 权平均数
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1、简单算术平均数

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简单算术平均数就是将总体各个单位的 标志值相加除以总体单位数求得。如果用 字母表示，其计算公式：


1、计算各组的组中值xi；
2、计算标志值的频率 f ；
f

3、代入计算公式，求得加权平均数。
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例4、某企业的日包装量如表3-8所示，计算算术加权平均数。
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表3-8 组距式变量分布数列加权算术平均数计算表 组中值
日包装量（件）
工人数（人）
xi fi ⑴×⑵ 1750 5850 9900 9750 5250 1700 34200
当各组变量值x不变时，各组变量值 出现的次数f，对于算术平均数x的大 小起着权衡轻重的作用，算术平均数x 总是趋向于次数出现最多的那个变量 值。因此次数f又称为权数，这种计算 算术平均数的方法，叫做加权平均法。
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将加权平均数公式变形:
x f x f
i i i
x1 f1 x2 f 2 x3 f 3 xn f n f1 f 2 f 3 f n

值，即算术加权平均数 ( xi
fi )。 fi
i
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所以，平均日包装量为：
x f x f
i i i
34200 570 ( 件) 60

或
fi x ( xi ) 570(件) fi
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计算加权算术平均数时，常以各组的组平 均数乘以相应的频数计算各组的变量值总量。 在组距变量数列中，由于缺乏组平均数资 料，是以各组的组中值作为组平均数的代表 值来计算各组的变量值总量的。因此，其计 算结果只能是一个近似值。 实际上，简单算术平均数和加权算术平均 数并没有根本区别，仅是操作方式不同，因 此： 总体变量值总量
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(3)对于任何两个变量和，它们的代数和的算术平 均数就等于两个变量的算术平均数的代数和，即：
x y x y
(4)对各总体单位标志值加（减）一个任意数A，则 算术平均数也要增加或减少该数A，即： x A x nA
n n n x A
1、各组组中值xi；
2、统计工人数fi及其累加∑fi；

4、计算组中值与工人数的乘积xifi及累加∑xifi； x f 5、计算平均日包装量算术加权平均数 f ； fi x 6、或计算组中值与频率乘积 i f ，及其累加
i i i
fi 3、计算各组次数占次数比重（频率），即 f ； i
f3 fn f1 f2 x1 x2 x3 xn fi fi fi fi ( xi

fi fi
)
频率 （比重）
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因此，加权算术平均数等于各组变 量值分别与其频数相乘后加总求得标 志总量。 由此可见，所谓权数就是影响平均 水平高低的总体结构因素，它有两种 表现形式：频数权数和频率权数。
20 30 合计
2 7 10
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40 210 260
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解：根据资料，可以计算该生产组10组名 工人的平均日产量为：
x f x f
i i i
260 26 （件） 10

由此可见，平均日产量26件趋向于工人 人数最多，即频数最多的那个变量——30 件。
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x1 x2 x3 xn x n
x
n
i
其中， x xi n
——算术平均数 ——第i个总体单位的标志值 ——总体单位数 ——总和符号
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例1、 某生产组6名工人生产某同一种零件 的日产量 （件）分别为： 解： 67 68 69 71 72， 则该组工人的平均日产量为：
解：根据资料，可以计算加权平均数为：
x ( xi
f
fi
) 26(件)
i
显然，用频率作权数比用频数作权数更直 观，加权平均数的实质就在于频率，频率不变， 平均数也不变。
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（2）组距式数列的加权算术平均数
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组距式数列计算加权算术平均数的方法和 单项式数列的计算方法基本相同，基本步骤 为：
2 2 x x x x c 0 2 x x c 2 x x 2cx x c 2 2 x x 2c x x nc2 2 x x nc2
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二、算术平均数的应用特点
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(1)算术平均数是最严密、最可靠、最富有代表性 而应用范围最广的平均数，所以常用算术平均数 进行集中趋势分析。
(2)算术平均数易于用代数方法处理。 (3)算术平均数最易受极端变量值的影响。极大值 的影响大于极小值的影响。 (4)对有开口组的组距数列，用邻组组距确定组中 值，其假定性较大。
算术平均数=
总体频数总量
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算术平均数是指同质总体内各单位某种 变量值分布集中趋势的中心位置的代表值， 它是同质总体内所有变量值的平均值。 算术平均数是统计中最常用的一种表示 代表集中趋势的代表值。由于在计算时， 所有的变量值都参与了计算，因此，计算 算术平均数能够代表所有的变量值。 此外，应当注意算术平均数对极端值反 映敏感，容易受两侧极端值的影响。