f tn a2 h, y tn a2 hy ' tn f tn , y tn a2hf t ' a2hy ' t n f y' 1 2 2 '' '' '' 3 a 2 h ftt 2a 2 2 h 2 y ' tn f ty a 2 2 h 2 y '2 t n f yy O h 2!
x n1 xn x n1 x xn 1 x xn dx f xn 1 , y xn 1 dx x n xn xn 1 xn 1 xn
y xn f xn , y xn
h y xn 3 f xn , yn f xn 1 , yn 1 2
令
1 c1 c2 0 1 a2 c2 0 2
最后解得 a2 0, c2 0 ，所求得的二级 R-K 方法具有二阶精度。 四、本章测验题
dy f x, y , 例题：考虑常微分方程初值问题 dx ，应用数值积 y a , a x b
分的有关理论导出二步 Adams 显示公式：
初值问题的数值解法
基本概念
差分方程 的一般形 式
单步法 多步法
显示法 隐式法
局部截断 误差、 整体 截断误差
基本方法
差商代替 导数的方 法
Taylor 数法
级
数值积分 法
基本应用
Runge-Kutta 方法
二 一 阶 ：
yn1 yn hf tn , yn
阶
：
k1 f tn , yn
进一步化简，
1 2 3 '' 1 1 1 2 3 ''' Rn1 1 c1 c2 hy ' tn a2c2 h 2 y '' tn a2 c2 h y tn a2 c2h y t n f y' O h 4 2 2 6 2
将 y xn 用 yn 代替，将 换成=，则命题得f tn a2 h, yn a2 hk1
改进的欧拉法 中点公式 休恩公式
相容性、收敛性和绝对稳定性
三、本章思考题 选择合适的系数使得二级 R-K 方法具有更高的阶数，其中二级 R-K 方法的形式为
k1 f tn , yn yn 1 yn h(c1k1 c2 k2 )
数值分析第七章学习小结
姓名 班级 学号
一、本章学习体会 这一章主要解决的问题是常微分方程初值问题的计算方法， 对于 解决那些很难求解出解析表达式的， 甚至有解析表达式但是解不出具 体的值的常微分方程非常有用。 在这一章里求解常微分方程的基本思 想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。在这里将初值问题 离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、taylor 级数法 和数值积分法。 常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和 隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。在这里单步法是指计算第 n+1 个 y 的值时,只用到前一步的值， 而多步法则是指计算第 n+1 个 y 的值时，用到了前几步的值。在这里需要注意的是：局部截断误差 则具有 P 阶， 当整体截断误差 n1 O h p ， 则具有 P 阶。 Rn1 O h p 1 ， 在这一章里重要的是学会初值问题的构造以及收敛阶数的判断。 二、本章知识梳理
L1 x f xn , y xn x xn1 x xn ， f xn1 , y xn1 xn xn1 xn 1 xn
代入前式，
y xn 1 y xn
xn1 xn
f x, y x dx
h yn1 yn 3 f xn , yn f xn 1 , yn 1 。 2
考点：常微分方程初值问题的理论推导。 证明：记 h
ba , xi a ib, 0 i n n
xn1
n
将原方程两边在区间 xn , xn1 上积分得 y xn1 y xn x f x, y x dx ， 以 xn , xn1 为插值节点作 f x, y x 的一次插值多项式，
。
k2 f tn a2 h, yn a2 hk1
解：局部截断误差为
Rn1 y tn1 y tn c1hy ' tn c2hf tn a2h, y tn a2hy ' tn
由二元函数 F 在点 tn , y tn 进行 taylor 级数展开，