A
C
D
O
B
证明猜想
垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足 为E.求证：AE＝BE，弧AC＝弧BC，弧AD＝弧BD.
垂径定理 垂直于弦的直径平分这 条弦，并且平分弦所对的两条弧. C
A
O
ED
B
定理辨析
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C ADC ADCOOE DC A
4.如图，⊙O过点B 、C。圆心O在等腰直角△ABC的内 部，∠BAC＝900，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为 （）
A. 10
B. 2 3
C. 3 2
D. 13
【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB， 根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.
又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， 则AD=1 B C =3,∴OD=3-1=2,
2 ∴OB= 2232 13.
5、已知：如图，在以O为圆
心的两个同心圆中，大圆的弦AB
交小圆于C，D两点.
求证：AC＝BD.
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
O.
则AE＝BE，CE＝DE. AE－CE＝BE－DE.
E AC
DB
所以，AC＝BD
通过本课时的学习，需要我们： 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明； 2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有 什么关系？
解析：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是 它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.
观察右图，有什么等量关系？
AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC， 弧AD＝弧BD， AE＝BE
AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC=弧 AC＝弧BD
想一想：如果将题设和结论中的5个
条件适当互换，情况会怎样？
①③ ③④ ①④ ④⑤
①② ②④ ⑤ ①②③②③⑤
② ③③ ⑤ ② ④
①① ②④ ①④⑤
C
③
⑤
A
E
O
D
B
推论1
（1）平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两 条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心， C 并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦并且平分弦所对的另 一条弧.
D
解析：定理中两个条件（直径垂直于弦）缺一不可，故
前三个图均不能，仅第四个图可以！
例题
A
E
B
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的
长为8㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，
O
求圆O的半径。
解：根据题意得， AE=4cm OE⊥AB OE=3cm 在Rt△OEA中，根据勾股定理得： AO2=OE2+AE2=32+42=25 AO=5cm
归纳： 变式1：AC、BD有什么关系？
AC
O
DB
A C O D B 变式2：AC＝BD依然成立吗？
变式3：EA＝__F_B_, EC=___F_D_.
AC E
F DB
O
AC
DB
O
变式4：_O__A_=__AC=BD.
变式5：_OO__CB_=_O_ADC=BD.
AC
DB
O
跟踪训练
如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB
A
E
O
D
B
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什
么结论？
E
A
弧AE＝弧BF
C
O
D
B F
1.如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，
OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是
．
【解析】如图所示，连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定理求得
＝2，PO＝5，求⊙O的半径.
解析：提示作OM 垂直于 B
MA
PB ，连接OA.
P
O
答案： 1 7
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一 条非常重要的辅助线.
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.
题设 ①直线CD经过圆心O
②直线CD垂直弦AB
结论 ③直线CD平分弦AB ④直线CD平分弧ACB ⑤直线CD平分弧AB
BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,所以AB=6.
答案：6
2．已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是( D )
A.3
B.4 C.6 D.8
3.如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是 （B ）
A．AE＝OE
C．OE＝
1 CE
2
B．CE＝DE D．∠AOC＝60°
24.1.2 垂直于弦的直径
1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用 垂径定理进行计算和证明； 2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力； 3.通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生 对数学的热爱．
问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的 石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱 是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m，拱高 （弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能求出赵州桥主桥 拱的半径吗？
要利用时间，思考一下一天之中做了些 什么，是‘正号’还是‘负号’，倘若是‘+’，则
步；倘若是‘-’，就得吸取教训，采取措施.
——季米特洛夫