O
C
B
自学检测2：（6分钟）
1.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
C ∵ CD是直径， CD⊥AB ∴ AE=BE,A⌒C ⌒ A⌒D ⌒
·O
=BC, =BD.
提示:
AE
B •垂径定理是圆中一个重要的定理,
D
三种语言要相互转化,形成整体,才
能运用自如.
垂径定理三角形
C 有哪些等量关系？
d+h=r
O r 2 d 2 ( a2 )2
注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距， 或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
当堂训练：（10分钟）
1.已知：⊙O中弦AB∥CD,
求证：A⌒C＝B⌒D.
C
A
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M ∴A⌒C＝B⌒D
AD
B
C
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
3、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为 10cm,OE=6cm,则AB= cm。
解：连接OA，∵ OE⊥AB A E B
∴ AE OA2 OE 2
O·
102 62 8cm
∴ AB=2AE=16cm
4、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm， 圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
C
∴ AE=AD E
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
·O
D
B
2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么 关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。 ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD.
O.
A CED B
2、如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.
你能发现图中有那些相等的线段和弧?
C
线段: AE=BE
弧: A⌒C=⌒BC, A⌒D=⌒BD
3、结论：
·O
圆既是轴对称图形，又是中心 对称
图形。圆心是它的 对称中心，直径 A E
B
所在的直线是它的 对称轴。
D
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条。弧
E C
O
∵ DE=8 ㎝，CE=4 ㎝， ∴ CD=DE+CD=8+4=12 cm ∴ OA=OC=OD=6 cm ∴ OE=OC-OE=6-4=2 cm
∵ ∠ CEB=30°,
∴ ∠ OEF=30° ∴ OF= 1 OE=1 cm
rd
E
A h B h中，在已a，知d其，中r，任
意两个量，可以
D 求出其它两个量
a
．
自学检测1：（6分钟）
1、下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O E
D
A D B
O B
A
O E
BA
O EB D
是
不是
是
不是
2、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，
CD⊥AB于E，则下列结论中C不成立的是（ ）
则AD=BD ∴AB=2BD
∵OD⊥AB，∠OCA=300，OC=8cm
∴OD= 1 OC=4 cm
2
在Rt△OBD中
O
BD OB2 OD2 52 42 3
45 8
∴AB=2BD=6 cm
A
┌
D
30°
BC
概念：过圆心作弦的 垂线段 长度，叫做弦心距。
归纳：在垂径定理解决问题时，常用辅助线是作弦心距。
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径 第一课时 垂径定理
学习目标：（1分钟） 1.了解圆是轴对称图形，理解垂径定理； 2.运用垂径定理解决有关圆的问题.
自学指导1：（4分钟）
自学教材81页至82页例2前，完成下列问题： 1、圆有几条对称轴？它的对称轴是什么？
有无数条。任何一条直径所在的直线都是它的对称轴.
A、∠COE=∠DOE B、CE=DE C、OE=AE
⌒⌒
D、BD=BC
A
C
D
E
O·
B
3.如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC
＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴ AD 1 AB 1 8 4 (cm)
E
22
设OC=xcm，则OD=x-2,
·O
根据勾股定理，得 x2=42+(x-2)2，
小结：（2分钟）
E
C
A
B
A
.
O
O.
E
AC
DB
M D B
.O
N
总结： 解决有关弦的问题，经常是过圆心作 弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径 等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
条件：
CD过圆心 CD⊥AB于E
A
O
D
B
D
B
O
A
C C
结论：
AE=BE
AC=BC AD=BD
M D B
.O
N
2.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于
E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。
解：连接OA，
A
∵ CD是直径，OE⊥AB
C E O·
D
∴ AE= 0.5 AB = 5 B
设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得
x2=52+(x-1)2 解得：x=13
∴ OA=13 ∴ CD=2OA=26 即直径CD的长为26.
解：过点O作OE⊥AB于E，连接
OA ∴
AE
1
AB
4cm
2
OE 3cm
AEB
∴ AE AE 2 OE 2
O·
42 32 5cm
即⊙O的半径为5cm.
自学指导2：（6分钟）
问题：如图，AB是⊙O的弦∠OCA=300，OB=5cm， OC=8cm，求AB的长。
解：过圆心O 作OD⊥AB于点D
点拨：（2分钟）
1.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆 的对称轴。
圆的对称轴有无数条，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴。
理由如下：连接AO,BO.
把圆沿着直径CD折叠时，CD两
侧的两个半圆重合，点A与点B重 合，AE与BE重合，A⌒C和B⌒C,A⌒D 与B⌒D重合．
C
·O
E
A
B
D
2.垂径定理：
3.如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点 P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连 接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于
E,OF⊥B4P于F,EF= 。
O
AE
F
B
P
4.如图，CD为圆O的直径，弦AB交
A
CD于E， ∠ CEB=30°，DE=8㎝，
Байду номын сангаас
CE=4㎝，求弦AB的长。
F
D
解：连接AO,过圆心O作OF⊥AB于点F