知识点串讲必修五第一章：解三角形1．1．1正弦定理1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abA B =sin cC =一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

2、已知∆ABC 中，∠A 060=，a 求sin sin sin a b c A B C++++ 证明出sin sin a b A B =sin c C ==sin sin sin a b c A B C++++ 解：设sin sin a b A B =(>o)sin c k k C== 则有sin a k A =，sin b k B =，sin c k C = 从而sin sin sin a b c A B C ++++=sin sin sin sin sin sin k A k B k C A B C++++=k又sin a A =2k ==，所以sin sin sin a b c A B C++++=2 评述：在∆ABC 中，等式sin sin a b A B =sin c C ==()0sin sin sin a b c k k A B C ++=>++ 恒成立。

3、已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c（答案：1：2：3）1.1.2余弦定理1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac222cos 2+-=b a c C ba2、在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A⑴解：∵2222cos =+-b a c ac B =222+-⋅cos 045=2121)+-=8∴=b求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵解法一：∵cos 2222221,22+-=b c a A bc ∴060.=A解法二：∵sin 0sin sin45,=a A B b2.41.43.8,+=21.8 3.6,⨯=∴a ＜c ，即00＜A ＜090,∴060.=A评述：解法二应注意确定A 的取值范围。

3、在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=1200）1．1．3解三角形的进一步讨论1、在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 分析：先由sin sin b A B a=可进一步求出B ；则0180()C A B =-+ 从而sin a C c A= 1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。

2．当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解。

（以上解答过程详见课本第9:10页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

2、（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。

（2）在∆ABC 中，若1a =，12c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。

（3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3）2x <<3、在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。

解：222753>+Q ，即222a b c >+，∴ABC 是钝角三角形∆。

4、（1）在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断∆ABC 的类型。

（2）已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。

（答案：（1）ABC 是钝角三角形∆；（2）∆ABC 是等腰或直角三角形）5、在∆ABC 中，060A =，1b =，求sin sin sin a b c A B C++++的值 sin sin abA B =sin cC ==sin sin sin a b c A B C++++解：由1sin 22S bc A ==得2c =，则2222cos a b c bc A =+-=3，即a = 从而sin sin sin a b c A B C ++++2sin a A==1.2解三角形应用举例1、两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B 在观察站C 南偏东60︒，则A 、B 之间的距离为多少？ 解略：2a km2、 某人在M 汽车站的北偏西20︒的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶。

公路的走向是M 站的北偏东40︒。

开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米。

问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B 处。

在∆ABC 中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC=BC AC AB BC AC ⋅-+2222=3123, 则sin 2C =1- cos 2C =231432, sinC =31312,所以 sin ∠MAC = sin （120︒-C ）= sin120︒cosC - cos120︒sinC =62335 在∆MAC 中，由正弦定理得MC =AMC MAC AC ∠∠sin sin =2331⨯62335=35 从而有MB= MC-BC=15答：汽车还需要行驶15千米才能到达M 汽车站。

3、S=21absin C ，，S=21bcsin A, S=21acsinB 4、在∆ABC 中，求证：（1）;sin sin sin 222222CB A c b a +=+ （2）2a +2b +2c =2（bccosA+cacosB+abcosC ） 证明：（1）根据正弦定理，可设A a sin = Bb sin = Cc sin = k 显然 k ≠0，所以左边=Ck B k A k c b a 222222222sin sin sin +=+ =CB A 222sin sin sin +=右边 （2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc bc a c b 2222-++ca cab ac 2222-++ab ab c b a 2222-+)=(b 2+c 2- a 2)+(c 2+a 2-b 2)+(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2+c 2=左边变式练习1：已知在∆ABC 中，∠B=30︒,b=6,c=63,求a 及∆ABC 的面积S提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。

答案：a=6,S=93;a=12,S=1835、如图，在四边形ABCD 中，∠ADB=∠BCD=75︒，∠ACB=∠BDC=45︒，DC=3，求：（1） AB 的长（2） 四边形ABCD 的面积略解（1）因为∠BCD=75︒，∠ACB=45︒，所以∠ACD=30︒ ，又因为∠BDC=45︒，所以∠DAC=180︒-（75︒+ 45︒+ 30︒）=30︒，所以 AD=DC=3在∆BCD 中，∠CBD=180︒-（75︒+ 45︒）=60︒，所以︒75sin BD = ︒60sin DC ，BD = ︒︒60sin 75sin 3= 226+ 在∆ABD 中，AB 2=AD 2+ BD 2-2⨯AD ⨯BD ⨯cos75︒= 5,所以得 AB=5（3） S ABD ∆=21 ⨯AD ⨯BD ⨯sin75︒=4323+ 同理， S BCD ∆= 433+ 所以四边形ABCD 的面积S=4336+第二章：数列2．1数列的概念与简单表示法1、概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。

辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？给出首项与第n 项的定义及数列的记法：{a n}2、数列的分类: 有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。

3、数列的表示方法：项公式列表和图象等方法表示数列4、 = 2 a n-1 + 1（n ∈N ，n>1），（※） 式称为递推公式。

递推公式也是数列的一种表示方法。

2．2 等差数列1、数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

2、个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项。

3、等差数列中，若m+n=p+q 则q p n m a a a a +=+4、通项公式：以1a 为首项，d 为公差的等差数列}{n a 的通项公式为：d n a a n )1(1-+=5、迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：（迭加法）： }{n a 是等差数列，所以 ,1d a a n n =--,21d a a n n =---,32d a a n n =---……,12d a a =-两边分别相加得 ,)1(1d n a a n -=-所以 d n a a n )1(1-+=（迭代法）：}{n a 是等差数列，则有 d a a n n +=-1d d a n ++=-2d a n 22+=-d d a n 23++=-d a n 33+=-……d n a )1(1-+=所以 d n a a n )1(1-+=6、 ⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？解：⑴由1a =8，d=5-8=-3，n=20，得49)3()121(820-=-⨯-+=a⑵由1a =-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为,14)1(45--=---=n n a n 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。

解这个关于n 的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。

7、某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4千米）计费10元。