一、知识纲要(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项．(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法． 二、方法总结1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2．等差、等比数列中，1a 、n a 、n 、)(q d 、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法． 3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等． 三、知识内容： 1.数列数列的通项公式：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n nn 数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 3211、数列：按照一定顺序排列着的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、有穷数列：项数有限的数列．4、无穷数列：项数无限的数列．5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．7、常数列：各项相等的数列．8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n -=22,求数列{}n a 的通项公式.当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈2.等差数列等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

等差数列的判定方法: （1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。

（2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。

等差数列的通项公式： 如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n)1(1-+=。

说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。

等差数列的前n 项和：①2)(1n n a a n S +=②d n n na S n 2)1(1-+= 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。

等差中项： 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

即：2ba A +=或b a A +=2 说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。

等差数列的性质：（1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=（2）对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p mn a a a a +=+。

2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =+也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a ，如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ++---112,,,,,,12321（3）若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。

如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++例7.等差数列{a n }中，已知113a =，6113a =，a n =33，则n 为（） (A)48 (B)49 (C)50 (D)51 例12.已知等差数列{}n a 满足1231010a a a a ++++=,则有( )1101()0A a a +>2100()0B a a +<399()0C a a +=51()51D a =例13. 已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 232-=，求证:数列{}n a 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式 .解：12311=-==S a ,当2n ≥时,56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n ,1=n 时亦满足∴56-=n a n , ∴首项11=a 且)(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n ∴{}n a 成等差数列且公差为6、首项11=a 、通项公式为56-=n a n3.等比数列等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0≠q ）。

等比中项：如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。

也就是，如果是的等比中项，那么Gb a G =，即ab G =2。

等比数列的判定方法： （1）定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a nn ，则数列{}n a 是等比数列。

（2）等比中项：对于数列{}n a ，若212++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列。

等比数列的通项公式： 如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11-=n nq a a 。

等比数列的前n 项和：○1)1(1)1(1≠--=q q q a S n n ○2)1(11≠--=q qq a a S n n○3当1=q 时，1na S n =等比数列的性质：①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有mn m n q a a -=②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u mn a a a a ⋅=⋅也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n na a a a a a 。

如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列。

如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++例8.在等比数列{}n a 中,3712,2a q ==,则19_____.a =例9.23+和23-的等比中项为( )()1A ()1B -()1C ±()2D例10. 在等比数列{}n a 中，22-=a ，545=a ，求8a ，解：∵5a 是2a 与8a 的等比中项，∴25482-⨯=a ∴14588-=a例11.在等比数列{}n a 中,1a 和10a 是方程22510x x ++=的两个根,则47a a ⋅=( )5()2A -2()2B 1()2C -1()2D4.数列前n 项和 （1）重要公式：2)1(321+=+++n n n ； 6)12)(1(3212222++=+++n n n n ；2333)]1(21[21+=++n n n（2）等差数列中，mndS S S n m n m ++=+（3）等比数列中，n m m m n n nm S q S S q S S +=+=+（4）裂项求和：111)1(1+-=+n n n n ；（!)!1(!n n n n -+=⋅）五、例析数列求和的常用方法数列求和是数列教学内容的中心问题之一，也是近年高考命题的一个热点问题。

掌握一些求和的方法和技巧可以提高解决此问题的能力。

本文例析了一些求和的方法，仅供参考。

（一）倒序相加法：将一个数列倒过来排序（倒序），当它与原数列相加时，若有因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。

如等差数列的求和公式2)(1n na a n S +=的推导。

（二）错位相减法：这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{n nb a ⋅的前n 项和，其中}{n a 、}{n b 分别是等差数列和等比数列。

（三）分组求和法 所谓分组求和法，即将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和。

例3．已知数列}{n a 满足1)21(-+=n nn a ，求其前n 项和n S 。

（四）公式法（恒等式法）：利用已知的求和公式来求和，如等差数列与等比数列求和公式，再如n ++++ 3212)1(+=n n 、)12)(1(613212222++=++++n n n n 等公式。

（五）拆项（裂项）相消法：若数列}{n a 能裂项成)()1(n f n f a n-+=，即所裂两项具有传递性（即关于n 的相邻项，使展开后中间项能全部消去）。

例5．已知数列}{n a 满足)1(1+=n n a n，求数列}{n a 的前n 项和n S（六）通项化归法：即把数列的通项公式先求出来，再利用数列的特点求和。

例．求数列n+++++++ 3211,,3211,211,1的前n 项和n S （七）并项法求和：在数列求和中，若出现相邻两项（或有一定规律的两项）和为常数时，可用并项法，但要注意n 的奇偶性。

例7．已知数列)12()1(--=n a n n，求数列}{n a 的前n 项和100S（八）奇偶分析项：当数列中的项有符号限制时，应分n 为奇数、偶数进行讨论。

例8．若)34()1(1--=-n a n n，求数列}{n a 的前n 项和（九）利用周期性求和：若数列}{n a ，都有n T n a a =+（其中0N n ∈,0N 为给定的自然数，0≠T ），则称数列}{n a 为周期数列，其中T 为其周期。

例9．已知数列}{n a 中，nn a a a 11,211-==+，求其前n 3项的和n S 3.（十）导数法：利用函数的求导来计算数列的和。