4.2.1、相似矩阵
定义4.2.1 设A, B都是n阶矩阵,如果存在可逆 矩阵P, 使
P 1 AP B, 则称A相似于矩阵B, 或说矩阵A与B相似.对A进 行运算P 1 AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵.记为A ~ B.
1
相似矩阵与相似变换的性质
(1)反身性 A与A本身相似. 这是因为 A E 1 AE,故A ~ A.
(2)对称性 若A与B相似,则B与A相似.
这是因为 若A ~ B,则存在可逆矩阵P,
使得B P 1 AP, 所以A (P 1 )1 BP1,
故B ~ A.
(3)传递性 若A与B相似, B与C相似,
则A与C相似.
这是因为 若A ~ B; B ~ C,则存在可逆矩阵P;Q,
使得B P 1 AP;C Q 1BQ, 所以C Q 1P 1 APQ,
a0 X a1X ar r X ()X
14
所以 ( )是方阵 ( A)的特征值， 并且A的对应于的特征向量X也是 ( A) 对应于 ( )的特征向量。
例 设是可逆方阵A的特征值，
证明 | A | 是A*的特征值。
证 设是A的特征值，X是对应于的特征向量， 将AX X两边左乘A*，得A* AX A* X ,
所以A的特征多项式中n和n1的项为 n (a11 a22 ann )n1,
在A的特征多项式中令 0得
f (0) | A | (1)n | A |,
所以A的特征多项式中常数项为 (1)n | A |,
由多项式的根与系数的关系可得
n
n
n
i aii , i | A | .
i 1
i 1
i 1
10
注 (1)方阵A的主对角线的元素之和称为A 的迹。此例表明A的所有特征值之和为A 的迹，而A的所有特征值之积为|A|。 (2)由此容易得到：方阵A可逆的充要条件 是A的所有特征值都不为零。
11
例４ 证明：若 是矩阵A的特征值，x是A的属于
的特征向量，则
(1) m是Am的特征值m是任意常数.
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
证明 1 Ax x AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x
故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
征向量.
2当A可逆时, 0,
由Ax x可得
A1Ax A1x A1x
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
即C (PQ)1 APQ,故A ~ C.
2
4.2.2、 特征值和特征向量的性质
定理4.2.1 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同.
证明 A与B相似
可逆阵P,使得P 1 AP B
E B P1EP P1AP P1E AP
P1 E A P E A.
,
xm
pm
1 1
2
m
m1 2
m1 m
0,0,
,0
上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列
式,当各i不相等时,该行列式不等于0,从而该矩阵
可逆.于是有 x1 p1, x2 p2 , , xm pm 0,0, ,0,
即 xj pj 0 j 1,2, ,m.但 pj 0,故 x j 0 j 1,2, ,m.
推论 若 n 阶方阵A与对角阵
1
2
n
相似,则1, 2 , , n即是A的n个特征值.
4
定理4.2.2 设1, 2 , , m是方阵A的m个特征值,
p1, p2 , , pm依次是与之对应的特征向量.如果
1, 2 , , m各不相等,则 p1, p2 , , pm 线性无关.
证明 设有常数 x1, x2 , , xm 使 x1 p1 x2 p2 xm pm 0.
的特征向量.
13
从定义出发 省略不讲了
例 如果是A的特征值，(x) a0 a1x ar xr , 证明 ( )是 ( A)的特征值。
证 设是A的特征值，X是对应于的特征向量， 由于(x) a0 a1x ar xr , 所以( A) a0 E a1 A ar Ar ,
故有(A)X a0 EX a1 AX ar Ar X
7
因为,如果设x同时是A的属于特征值1 ,2的
1 2 的特征向量,即有
Ax 1x, Ax 2 x 1 x 2 x
1 2 x 0,
由于1 2 0, 则x 0, 与定义矛盾 .
推论 如果n阶方阵A有n个互不相同的特征值， 则A有n个线性无关的特征向量．
8
例 设1, 2 , , n是n方阵A (aij )的n个特征值,
因为A* A | A | E，所以| A | X A* X ,
所以A* X | A | X 即| A | 是A*的特征值.
15
例5 设A是n 阶方阵，其特征多项式为
fA E A n an1n1 a1 a0
求 AT的特征多项式.
解 f AT E AT E AT
E A n an1n1 a1 a0
n
n
n
证明 i aii , i | A | .
i 1
i 1
i 1
证 设n阶方阵A的特征多项式为，
a11 a12
f () | E A | a21 a22
a1n a2n
an1 an2 ann 其中n与n1的项)( a22 ) ( ann )中出现, 9
所以向量组 p1, p2 , , pm 线性无关.
6
注意 １. 属于不同特征值的特征向量是线性无关
的． ２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性
组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
则 Ax1 p1 x2 p2 xm pm 0, 即
1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm 0, 类推之，有 1k x1 p1 k2 x2 p2 km xm pm 0.
k 1,2, ,m 1
5
把上列各式合写成矩阵形式，得
1
1
m1 1
x1 p1, x2 p2 ,