i 1 i i 1 ii i 1
n
n
n
i
| A | .
11
注 (1)方阵A的主对角线的元素之和称为A 的迹。此例表明A的所有特征值之和为A 的迹，而A的所有特征值之积为|A|。 (2)由此容易得到：方阵A可逆的充要条件 是A的所有特征值都不为零。
12
例４
证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则
(3)传递性 若A与B相似, B与C相似,
这是因为 若A ~ B; B ~ C , 则存在可逆矩阵P; Q, 使得B P 1 AP; C Q 1 BQ, 所以C Q 1 P 1 APQ, 即C ( PQ) 1 APQ, 故A ~ C.
3
则A与C相似.
4.2.2、 特征值和特征向量的性质
因为1， 2 属于不同的特征值， 故它们线性无关，
因此有
1 0，2 0
由此得1 2，但这与1，2 互异矛盾，
所以1 2不是A的特征向量。
19
1 2 3 例 设A x y z ，已知A的特征值为1,3,5， 0 0 1 求x, y, z的值.
将AX X两边左乘A*，得A* AX A* X ,
因为A* A | A | E，所以 | A | X A* X ,
所以A X
*
| A|

X
即
| A|

是A*的特征值.
16
例5 设A是n 阶方阵，其特征多项式为
f A E A n an1n1 a1 a0
2 2
X 3X 2 X
2
( 3 2) X 0
2
因为X 0，故 1或 2。
22
四、小结
１．相似矩阵
相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有： (1) A与B相似, 则 det( A) det( B );
( 2)若A与B相似, 且A可逆, 则B也可逆, 且A 1与 B 1相似; ( 3) A与B相似, 则kA与kB相似, k为常数;
14
从定义出发 省略不讲了
例 如果是A的特征值， ( x) a 0 a1 x a r x r , 证明 ( )是 ( A)的特征值。
证 设是A的特征值，X是对应于的特征向量， 由于 ( x) a 0 a1 x a r x r ,
所以 ( A) a0 E a1 A a r A ,
解：根据A的所有特征值之和为A的迹，A得全体 特征值的积为 | A | ，有
y 2 9, y 2 x 15,
解得x 4, y 7, 观测A的最后一行可得 为任意实数就行 z .
20
例
T
设4阶方阵A满足条件 : det3E A 0,

AA 2 E , det A 0, 求A 的一个特征值.
式,当各i不相等时, 该行列式不等于0, 从而该矩阵 可逆.于是有 x1 p1 , x2 p2 ,, xm pm 0,0,,0,
即 x j p j 0 j 1,2,, m .但 p j 0,故 x j 0 j 1,2,, m .
所以向量组 p1 , p2 ,, pm 线性无关.
7
注意
１.
的．
属于不同特征值的特征向量是线性无关
２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量． ３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
8
1 2 的特征向量,即有
Ax 1 x , 1 x 2 x 1 2 x 0,
因为, 如果设x同时是A的属于特征值1 , 2的
Ax 2 x
由于1 2 0, 则x 0, 与定义矛盾 .
推论 如果n阶方阵A有n个互不相同的特征值， 则A有n个线性无关的特征向量．
9
例 设1 , 2 , , n 是n方阵A (aij )的n个特征值, 证明 i aii , i | A | .
§4.2 相似矩阵及特征值和特征向量 的性质
上节引入了特征值和特征向量的概念, 那么有什么性质 呢? 本节讨论 他们 的性质, 并 着眼 相似矩阵 的性质.
1
4.2.1、相似矩阵
定义4.2.1 设A, B都是n阶矩阵, 如果存在可逆 矩阵P, 使 P 1 AP B, 则称A相似于矩阵B, 或说矩阵A与B相似.对A进 行运算P AP称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵.记为A ~ B.
推论 若 n 阶方阵A与对角阵
1 2 n
相似, 则1 , 2 , , n即是A的n个特征值.
5
定理4.2.2 设1 , 2 , , m 是方阵A的m个特征值, p1 , p 2 , , p m 依次是与之对应的特征向量.如果
定理4.2.1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同 .
证明
可逆阵P ,使得P 1 AP B
A与B相似
E B P E P P AP 1 P E AP 1 P E A P E A.
1 1
(4)若A与B相似, 而f ( x )是一多项式, 则f ( A)与 f ( B )相似.
23
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 P 1 AP，而可逆矩阵 P 称为进行这一变换的 相似变换矩阵．
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算．
故 m 是矩阵Am的特征值, 且 x 是 Am 对应于m的特 征向量.
2 当A可逆时, 0,
由Ax x可得
A1 Ax A1 x A1 x
A1 x 1 x
故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1 的特征向量.
假设 2 2是A的属于特征值的特征向量，则有
A(1 2 ) (1 2 )
即
A1 A 2 1 2
由题设知
A1 11 , A 2 2 2 ,
18
所以 于是
11 2 2 1 2 (1 )1 (2 ) 2 0
1
2
相似矩阵与相似变换的性质
(1)反身性 A与A本身相似. 1 这是因为 A E AE, 故A ~ A. (2)对称性 若A与B相似, 则B与A相似.
( P 1 ) 1 BP 1 , 故B ~ A.
1 , 2 , , m 各不相等, 则 p1 , p 2 , , p m 线性无关 .
证明 设有常数 x1 , x2 ,, xm 使 x1 p1 x2 p2 xm pm 0. A x1 p1 x2 p2 xm pm 0, 即 则 1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm 0, 类推之，有
r
故有 ( A) X a0 EX a1 AX a r A r X
a0 X a1X a r r X
( ) X
15
所以 ( )是方阵 ( A)的特征值， 并且A的对应于的特征向量X也是 ( A) 对应于 ( )的特征向量。
例 设是可逆方阵A的特征值， | A| 证明 是A*的特征值。 证 设是A的特征值，X是对应于的特征向量，
求 AT 的特征多项式.
解
f AT E AT
E A E A
T
n an1n1 a1 a0
注意 此例说明A与AT 有相同的特征值， 但一般地A与AT 的特征向量是不相同的。
从定义出发 省略不讲了
设1，2是n阶方阵A的两个不同的特征值， 对应的特征向量分别为1， 2， 证明：1 2不是A的特征向量。 证明（用反证法） 例6
i 1 i 1 i 1 n n n
证 设n阶方阵A的特征多项式为，
a11
f ( ) | E A | a 21 a n1
a12 an2

a1n a2n
a 22
a nn
其中n与n 1的项只能在主对角线上元素的连乘积 中出现, 即只能在( a11 )( a 22 ) ( a nn )中出现,
解 因为det A 0, 故A可逆.由 det( A 3 E ) 0知
3是A的一个特征值,
1 1 从而 是A 的一个特征值. 3 又由 A AT 2 E得 det( A AT ) det(2 E ) 16,即
(det A)

2
16, 于是 det A 4, 但 det A 0,
(1) m 是A m的特征值m 是任意常数. ( 2) 当A可逆时, 1是A 1的特征值.
证明
1 Ax x A2 x 2 x A Ax Ax Ax x
m 2 次，就得 Am x m x 再继续施行上述步骤
1
因此 det A 4,
4 故 A | A | A 有一个特征值为 . 3
21
例 设方阵A满足A 3 A 2E 0，试求A的特征值。
2
解 设是A的特征值，X是对应于的特征向量， 则AX X , 2 由已知A 3 A 2E 0，得
( A 3 A 2 E ) X A X 3 AX 2 EX
k 1 x1 p1 k x2 p2 k xm pm 0. 2 m k 1,2,, m 1