第二章 流体静力学2-1如果地面上空气压力为0.101325MPa ，求距地面100m 和1000m 高空处的压力。

答：取空气密度为()3/226.1m kg =ρ，并注意到()()Pa a 610MP 1=。

（1）100米高空处：()()()()()()()Pa Pa Pa m s m m kg Pa gh p p 523501000122.11203101325100/81.9/226.11001325.1⨯=-=⨯⨯-⨯=-=ρ（2）1000米高空处：()()()()()()()Pa Pa Pa m s m m kg Pa gh p p 523501089298.0120271013251000/81.9/226.11001325.1⨯=-=⨯⨯-⨯=-=ρ2-2 如果海面压力为一个工程大气压，求潜艇下潜深度为50m 、500m 和5000m 时所承受海水的压力分别为多少？答：取海水密度为()33/10025.1m kg ⨯=ρ，并注意到所求压力为相对压力。

（1）当水深为50米时：()()()()Pa m s m m kg gh p 523310028.550/81.9/10025.1⨯=⨯⨯⨯==ρ。

（2）当水深为500米时：()()()()Pa m s m m kg gh p 623310028.5500/81.9/10025.1⨯=⨯⨯⨯==ρ。

（3）当水深为5000米时：()()()()Pa m s m m kg gh p 723310028.55000/81.9/10025.1⨯=⨯⨯⨯==ρ。

2-3试决定图示装置中A ，B 两点间的压力差。

已知：mm 500h 1=，mm 200h 2=，mm 150h 3=，mm 250h 4=，mm 400h 5=；酒精重度31/7848m N =γ，水银重度32/133400m N =γ，水的重度33/9810m N =γ。

答：设A ，B 两点的压力分别为A p 和B p ，1,2,3,4各个点处的压力分别为1p ，2p ，3p 和4p 。

根据各个等压面的关系有：131h p p A γ+=，2221h p p γ+=，3123h p p γ+=， 4243h p p γ+=， ()4534h h p p B -+=γ；整理得到：()132********A h h h h h h p p B γγγγγ-+-+-+=，()()()()()Pa h h h h h h p p B 3.554195.025.04.098102.025.013340015.07848145342231A =--⨯++⨯+⨯-=--+++-=-γγγ 2-4有闸门如图所示，其圆心角60=α，转轴位于水面上。

已知闸门宽度为B ，半径为R ，试求闸门受到的合力及合力与自由面的夹角α。

答：（1）求水平分力x c x S h P ⋅⋅=γ由于αsin ⋅=R H ，则αsin 2121⋅==R H h c ；B R B H x ⋅⋅=⋅=αsin S 。

因此：B R B R RB R P x 222832321sin sin 21γγααγ=⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅⋅=。

（2）求垂向分力V P z ⋅=γ其中：B R B R R R V 22836cos sin 212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅=πααππα， 因此()B R B R B R V P z 222306.0217.0523.0836γγπγγ=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⋅=。

（3）求合力P合力大小：B R P P P z x 222484.0γ=+=；合力方向：816.0375.306.0tan 22===B R B R P P x z γγθ，2.39=θ。

2-5设水深为h ，试对下述几种剖面形状的柱形水坝，分别计算水对单位长度水坝的作用力。

（1）抛物线：2ax z =，（a 为常数）；（2）正弦曲线：bx a z sin =，（1/≤a b ，a ，b 为常数）。

答：（1）2ax z =，a 为常数。

水平分力：x c x S h P ⋅⋅=γ； 其中h h c 21=，h h S x =⋅=1；因此22121h h h P x γγ=⋅⋅=。

垂直分力：V P z ⋅=γ； 其中S S V =⋅=1，而dx ax x h S hx h ⎰-⋅=02，并注意到a h x h /=，于是得到：a h h a h a a h h dx ax a h h V ah 32332=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅=-⋅=⎰。

因此，ahh P z γ32=。

（2）bx a z sin =，（1/≤a b ，a ，b 为常数）。

水平分力：221h S h P x c x γγ=⋅⋅=。

垂直分力：V P z ⋅=γ； 其中S S V =⋅=1，而dx bx a x h S hx h ⎰-⋅=0sin ，并注意到ahb x h arcsin 1=，于是得到：ba h ab a h b h b a a h b b b a a h b h ba bxb a h x bx b a h x dx bx a h x V h h xh x h h h--+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=-+⋅=⋅+⋅=-⋅=⎰22001arcsin arcsin 1cos arcsin cos cos sin 因此，⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⋅=a h a a h hb P z 22arcsin γ。

2-6试求图示单位长度水渠壁面所受的静水作用力。

已知水的重度9810=γ（N/m 3），水渠左壁为x y -=的直线，右壁为2x y =的抛物线。

答：（1）水渠左壁面受力①采用平板公式计算作用力大小：)(67.693512219810N S h P c =⨯⨯⨯=⋅⋅=γ； 作用力方向：垂直作用于平板OA ，并指向OA 。

作用点：S y I y y c c c f +='，其中22=c y ，()62121213=⨯⨯=c I ，212=⨯=S 。

因此，）（m y f 9427.0232=='；）（m y h ff 322223245sin =⨯='='。

②采用柱面公式计算水平分力：()N 490511219810=⨯⨯⨯=⋅⋅=x c x S h P γ； 垂直分力：()N 4905111219810=⨯⨯⨯⨯=⋅=V P z γ； 合力：()N 72.69362490522=⨯=+=z x P P P 。

（2）水渠右壁面受力水平分力：()N 4905111219810=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=x c x S h P γ； 垂直分力：V P z ⋅=γ；而S 1S =⋅=V ，3231111S 12=-=-⨯=⎰dx x ； 因此()N V P z 6540329810=⨯=⋅=γ。

合力：()N 817522=+=z x P P P 。

2-7 一圆筒形容器的半径R ，所盛水的高度H 。

若该容器以等角速度ω绕其中心轴转动，设r=0，z=h 点的压力为p0，试求容器内水的压力分布及自由表面方程（设容器足够高，旋转时水不会流出）。

答：（1）作用于筒内流体的质量力包括两项：第一项：与z 坐标方向相反的重力，重力加速度为g ； 第二项：沿r 坐标方向的离心力，离心加速度为r 2ω。

因此单位质量力为：z r e g e r f ⋅-⋅=2ω，其中：r e 、z e分别为r 、z 方向的单位向量。

（2）对于静止流体微分方程：p f ∇=ρ1 ，其中压力梯度：z r e z p e r p p⋅∂∂+⋅∂∂=∇； 将质量力f和压力梯度p ∇代入，则得到：z r z r e zp e r p e g e r⋅∂∂+⋅∂∂=⋅-⋅ρρω2； 比较方程两端，则得到：r r p 2ρω=∂∂，g zpρ-=∂∂。

（3）压力的全微分：dz z p dr r p dp ∂∂+∂∂=，将r r p 2ρω=∂∂和g zpρ-=∂∂代入其中，有：gdz rdr dp ρρω-=2；将上式两端同时积分，得到：C gz r p +-=ρρω2221，其中C 为常数。

将条件0=r 、h z =时0p p =代入上式，则得到：gh p C ρ+=0。

即流体内部的压力分布为：22002221)(21r z h g p gh p gz r p ρωρρρρω+-+=++-=； 又由于在自由表面上：0p p =，代入到上述压力分布式中，则得到：0)(2122=-+z h g r ρρω； 该式便是筒内流体的自由面方程。

2-8底面积a ×a=200×200mm 2的正方形容器的质量为m 1=4kg ，水的高度为h=150mm ，容器的质量为m 2=25kg 的重物作用下沿平板滑动，设容器底面与平板间的摩擦系数为0.13，试求不使水溢出的最小高度H 。

答：（1）求水平加速度x a ：建立如图所示坐标系，且设倾斜后不使水溢出的最小高度为H 。

设容器内水的质量为1m '，容器和水的总质量为m ，则： 615.02.02.0100.1321=⨯⨯⨯⨯=='h a m ρ（kg ），106411=+='+=m m m （kg ）。

由牛顿第二定律：x a m m mg g m )(22+=-μ，其中13.0=μ为摩擦系数，则水平加速度为：()()g g g m m m m a x 667.01013.025351122=⨯-=-+=μ。

（2）求作用于流体上的单位质量力：单位质量力为：k g i a f x--=。

代入到静止流体平衡微分方程p f ∇=ρ1 中，有：⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=--k z p i x p k g i a xρ1；比较方程两端，可以得到：x a x p ρ-=∂∂，g zpρ-=∂∂。

（3）求自由表面方程压力的全微分为：dz zpdx x p dp ∂∂+∂∂=。

在自由液面上，const p p ==0，0=dp 。

代入到上式中得到：0=--dz g dx a x ρρ。

对其进行积分，得到自由表面方程：C gz x a x =+其中C 为常数。

*** （确定常数C 和高度H ）：由于自由表面方程通过两点：),0(H 、),(1h a ，代入到自由面方程中，则有：C gH a x =+⋅0 (1) C gh a a x =+⋅1 (2)将（1）代入到（2）中，得到：gH gh a a x =+⋅1 (3)又由于倾斜前后，水体积（质量）保持不变，则有：)(21122h H a h a +=整理得到：H h h -=21 （4） 将（4）代入（3）中，得到：gH H h g a a x =-+⋅)2(，整理得到：218.015.02.02667.02=+⨯=+⋅=gg h a g a H x （m ）， 即不使水溢出的最小高度为0.218m 。