局部平方收敛.
五、矩阵特征值问题
1. 了解Gerschgorin圆盘定理, 会估计特征值. 2. 了解乘幂法、反幂法的思想及加速技巧. 3. 了解Jacobi方法的思想以及平面旋转矩阵的构造.
六、插值与逼近
1.了解差商的概念和性质. 2.会建立插值多项式并导出插值余项. Lagrange、Newton、Hermite插值多项式；基函数法 及待定系数法。
总复习
一、绪论
1.掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差 限及有效数字的概念。掌握误差限和有效数字之间的关系。 会计算误差限和有效数字。
一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其 绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。
定义1 设数x是数x*的近似值，如果x的绝对误差限 是它的某一数位的半个单位，并且从x左起第一个非零数 字到该数位共有n位，则称这n个数字为x的有效数字，也 称用x近似x*时具有n位有效数字。
推论 若1.a(x)b; 2.|(x)| L<1, x[a,b]. 则xk+1=(xk),x0[a,b]都收敛于方程的唯一根.
推论 若(x)在附近具有一阶连续导数,且|()|<1,
则对充分接近的初值x0,迭代法xk+1=(xk)收敛. 3. 了解迭代法收敛阶的概念,会求迭代法收敛的阶.
a
2
12
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)] (b a)5 f (4) ()
a
6
2
2880
2.掌握求积公式的代数精度的概念，会用待定系数法
确定求积公式。
3. 了解复化求积公式的思想和Romberg公式的构造。 4. 了解Gauss公式的概念，会建立简单的Gauss公式。 5.了解微分公式建立形式，会求简单的微分公式。
4.求 3 a 的Newton迭代格式为_x_k_1 __xk__x_3k3_xk_2 a_或_x_k_1__32_x_k __a3_x_k2_.
解 只要取(x)=x3-a ,或(x)=1-x3/a. 5.设(x)=x3+x2-3,则差商[3,32,33,34]=__1_____.
2.掌握并会应用迭代法的误差估计式。
x(k ) x* M k x(1) x(0) 1 M
四、解非线性方程的迭代法
1.了解二分法的思想,误差估计式|xk-|2-(k+1)(b-a). 2.会建立简单迭代法迭代格式；会判定迭代方法的收 敛性。 定理 若(x)为I上的压缩映射, 则对任何x0I,迭代 格式xk+1=(xk)均收敛于(x)在I上的唯一不动点.
3.了解分段插值及三次样条插值的概念及构造思想。
4. 了解正交多项式的概念，会求简单的正交多项式。
5. 掌握最小二乘法的思想，会求拟合曲线及最佳均方 误差.
七、数值积分
1.了解求积公式的一般形式及插值型求积公式的构造.
掌握梯形公式和Simpson公式及其误差。
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)] (b a)3 f ()
三、解线性方程组的迭代法
1.会建立J-法、G-S法、SOR法的迭代格式；会判定迭 代方法的收敛性。
（1）迭代法收敛迭代矩阵谱半径小于1. （2）迭代法收敛的充分条件是迭代矩阵的范数小于1. （3）A严格对角占优,则J法,GS法,SOR法(0<1)收敛. （4）A对称正定,则GS法,SOR法(0<<2)收敛.
了解Aitken加速技巧.
(1)
xkp阶收敛于是指:
lim
k
xk 1 xk p
C
(2) 若()0,则迭代法线性收敛.
4.会建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的优缺
点.了解Newton迭代法的变形.
xk 1
xk

f (xk ) f (xk )
a 0 1
为GGT,其中G为下三角矩阵.
1aa
解
令
1 a
a 1 a 2 0, a 1
a
1 0
0 1 2a 2 0, 得： 1 a 1
1
2
2
3.向量x=(x1,x2,x3)T,试问|x1|+|2x2|+|x3|是不是一种向 量范数__是____,而|x1|+|2x2+x3|是不是一种向量范数_不_是___.
2.了解数值计算中应注意的一些问题.
二、解线性方程组的直接法
1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围 顺序Gauss消元法:矩阵A的各阶顺序主子式都不为零. 主元Gauss消元法:矩阵A的行列式不为零.
2.掌握矩阵的直接三角分解法。 会对矩阵进行Doolittle分解(LU)、LDM分解、Crout 分解(TM)及Cholesky分解(GGT)。了解它们之间的关系。熟 练掌握用三角分解法求方程组的解。了解平方根法和追赶 法的思想。
定理 设n阶方阵A的各阶顺序主子式不为零,则存在 唯一单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使A=LU .
3.了解向量和矩阵的范数的定义,会判定范数(三要素 非负性、齐次性、三角不等式);会计算几个常用的向量和 矩阵的范数； 了解范数的等价性和向量矩阵极限的概念。
4.了解方程组的性态，会计算简单矩阵的条件数。
6.设l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3为互异节点

解 由于
1 A E
2 2 4 7 0
2 3
得特征值: 1 2 3i, 2 2 3i
又A-1= 1 3
72
2 1
,所以‖A‖1=5,‖A-1‖1=5/7.
2.设矩阵A=
1 a
a 1
a 0

,当值解法
1.了解构造数值解法的基本思想及概念。 2.掌握差分公式局部截断误差和阶的概念，会求差分 公式的局部截断误差。 3.会判断单步方法的收敛性和稳定性，求稳定区间。
考试题解析
一、填空题（每空3分,共30分)
1.设矩阵A= 1
2
2 3
,则(A)=____7___,Cond(A)1=___2_5 /_7 __.