高考数学复习函数单元测试卷(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．函数y ＝log 12(3x －2)的定义域是( )A ．[1，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[23，1]D ．(23，1]答案：D解析：由log 12(3x －2)≥0，得23<x ≤1.故选D.2．(2009·北京市西城区)已知函数f (x )＝3x ，那么函数f (x )的反函数f －1(x )的定义域为( ) A ．{x |x >1} B ．{x |x >0} C ．{x |x >0且x ≠1} D ．R 答案：B解析：f (x )＝3x 的值域为(0，＋∞)，函数f (x )的反函数f －1(x )的定义域与f (x )的值域相同，故选B.3．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A ．y ＝x 12(x ∈(0，＋∞))B ．y ＝3x (x ∈R )C ．y ＝x 13(x ∈R )D ．y ＝lg|x |(x ≠0) 答案：C解析：函数y ＝x 12(x ∈(0，＋∞))，y ＝3x (x ∈R )，y ＝lg|x |均不是奇函数，函数y ＝x 13(x ∈R )是奇函数且为增函数．4．(2009·北京市东城区)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x (0≤x ≤1)(x －2)2(1<x ≤2)，则f －1(32)的值等于( ) A.12 B.14C ．2－62D ．2＋62答案：A解析：设f －1(32)＝n ，则f (n )＝32，解方程2－n ＝32(0≤n ≤1)，得n ＝12，函数f (x )有反函数，满足f (n )＝32的n 只有一个值(不必再解方程(n －2)2＝32(1<n ≤2))，故选A.5．如右图为函数y ＝m ＋log n x 的图象，其中m ，n 为常数，则下列结论正确的是( ) A ．m <0，n >1 B ．m >0，n >1 C ．m >0,0<n <1D ．m <0,0<n <1 答案：D解析：当x ＝1时，y ＝m ，由图形易知m <0；又函数是减函数，所以0<n <1.故选D. 6．已知f (x )是以2为周期的偶函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x －1，则f (log 212)的值为( ) A.13 B.43 C ．2 D ．11 答案：A解析：f (log 212)＝f (2＋log 23)＝f (log 23)＝f (－log 23)＝f (2－log 23)＝f (log 243)＝2log 243－1＝43－1＝13.故选A.7．函数y ＝kx ＋b ，其中k ，b (k ≠0)是常数，其图像是一条直线，称这个函数为线性函数，对于非线性可导函数f (x )在点x 0附近一点x 的函数值f (x )，可以用如下方法求其近似代替值：f (x )≈f (x 0)＋f ′(x 0)(x －x 0)利用这一方法m ＝ 3.998的近似代替值( )A ．大于mB ．小于mC ．等于mD ．与m 的大小无法确定 答案：A解析：f (x )＝x ，x ＝3.998，x 0＝4则f (3.998)≈f (4)＋f ′(4)(3.998－4)．8．(2009·湖北五市联考)已知f (x )＝a x ，g (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，若f (3)·g (3)<0，那么f (x )与g (x )在同一坐标系内的图象可能是( )答案：C 解析：∵f (3)·g (3)<0，∴f (3)与g (3)的值异号．而对任意的x ，f (x )=a x >0恒成立，∴f (3)>0，∴g (3)<0，∴0<a <1.结合图象，故选C.9．f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案：B解析：f (5)＝f (2＋3)＝f (2)＝0，又∵f (－2)＝f (2)＝0，∴f (4)＝f (1)＝f (－2)＝0，∴在(0,6)内x ＝1,2,4,5是方程f (x )＝0的根．故选B.10．某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减小，具体调查结果如下表：单价(元/kg) 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 供给量(1000 kg) 50 60 70 75 80 90单价(元/kg) 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2 需求量(1000 kg) 50 60 65 70 75 80( ) A ．(2.3,2.4)内 B ．(2.4,2.6)内 C ．(2.6,2.8)内 D ．(2.8,2.9)内 答案：C解析：由图表分析比较知，市场供需平衡点应在中间某个值，又供给量与需求量均为70×1000 kg 时，供给单价和需求单价相差最小为0.2，其他的均大于0.2，所以价格在(2.6,2.8)时最有可能达到供需平衡．故选C.11．(2008·成都模拟)已知函数f (x )＝log a (x 2＋1＋bx )(a >0且a ≠1)，则下列叙述正确的是( )A ．若a ＝12，b ＝－1，则函数f (x )为R 上的增函数B ．若a ＝12，b ＝－1，则函数f (x )为R 上的减函数C ．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则b ＝±1D ．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，则b ＝1 答案：A 解析：本题的解题思路是利用复合函数的增减性确定规则来确定相关函数的增减性．对于A 项，当a ＝12，b ＝－1时，f (x )＝log 12(x 2＋1－x )，记g (x )＝x 2＋1－x ，则g (x )＝2x 2x 2＋1－1＝x x 2＋1－1，且x 2＋1>x 2＝|x |≥x ，g ′(x )＝2x 2x 2＋1－1＝x x 2＋1－1<0，且g (x )恒大于零，因此函数g (x )＝x 2＋1－x 在R 上为减函数，函数f (x )＝log 12(x 2＋1－x )为R 上的增函数，选A.由于本题都是有唯一正确答案，因此无须考查其他选项．故选A.12．(2009·武汉市4月调研)函数f (x )＝ln(x 2＋x ＋1－x 2－x ＋1)的值域为( ) A ．(－∞，0) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(0，＋∞) 答案：A 解析：由x 2＋x ＋1－x 2－x ＋1>0得x >0，即函数f (x )的定义域是(0，＋∞)．注意到y ＝x 2＋x ＋1－x 2－x ＋1＝(x ＋12)2＋(32)2－(x －12)2＋(32)2可视为动点M (x,0)(x >0)与点A (－12，32)、B (12，32)的距离之差，则0<|MA |－|MB |<|AB |＝1，即0<x 2＋x ＋1－x 2－x ＋1<1，ln(x 2＋x ＋1－x 2－x ＋1)<ln1＝0，因此函数f (x )的值域是(－∞，0)，选A. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2009·成都市二测)若函数f (x )＝1＋C 18x ＋C 28x 2＋…＋C 88x 8(x ∈R )，则log 2f (3)＝________.答案：16解析：f (x )＝(1＋x )8，∴log 2f (3)＝log 2(1＋3)8＝8log 222＝16.14．(2009·宜昌市调研)已知函数y ＝f (x ＋1)与函数y ＝3x －1(x ∈R )的图象关于直线y ＝x 对称，则f (2)的值为________．答案：8解析：由y ＝3x －1得x ＝(y ＋1)3，函数y ＝3x －1的反函数是y ＝(x ＋1)3，即f (x ＋1)＝(x ＋1)3，f (1＋1)＝(1＋1)3＝8，即f (2)＝8.15．(2009·江西九所重点中学联考)已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，部分对应值如下表：f ′(x )为f (x )的导函数，函数y =f ′(x )的图象如右图所示，若两正数a 、b 满足f (2a +b )<1，则 的取值范围是b +3a+3.答案：(35，73)解析：依题意，由图知，－2≤x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；因为f (2a ＋b )<1，所以－2<2a ＋b <4，a >0，b >0，作出可行域，如下图中阴影部分，b ＋3a ＋3表示(a ，b )与(－3，－3)连线的斜率，所以0＋32＋3<k <4＋30＋3，即35<k <73.16．(2008·福州模拟)对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)， 有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)； ②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2当f (x )＝2x 时，上述结论中正确结论的序号是________． 答案：①③④解析：本题为指数函数有关运算法则的应用问题． 对于①有f (x 1＋x 2)＝2x 1＋x 2＝2x 1·2x 2＝f (x 1)·f (x 2)，故正确； 对于②不妨令x 1＝2，x 2＝3， 则有f (x 1·x 2)＝f (6)＝26＝64，而f (x 1)＋f (x 2)＝22＋23＝12显然不相等； 对于③由于f (x )＝2x 为增函数，显然成立；对于④f (x 1)＋f (x 2)2＝2x 1＋2x 22>2x 1·2x 2＝2x 1＋x 22＝f (x 1＋x 22)．三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(本小题满分10分)设直线x ＝1是函数f (x )的图象的一条对称轴，对于任意x ∈R ，f (x ＋2)＝－f (x )，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 3.(1)证明：f (x )是奇函数；(2)当x ∈[3,7]时，求函数f (x )的解析式．(1)证明：∵x ＝1是f (x )的图象的一条对称轴， ∴f (x ＋2)＝f (－x )． 又∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x )＝－f (x ＋2)＝－f (－x )，即f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．(2)解：∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴T ＝4. 若x ∈[3,5]，则(x －4)∈[－1,1]， ∴f (x －4)＝(x －4)3. 又∵f (x －4)＝f (x )， ∴f (x )＝(x －4)3，x ∈[3,5]．若x ∈(5,7]，则(x －4)∈(1,3]，f (x －4)＝f (x )． 由x ＝1是f (x )的图象的一条对称轴可知 f [2－(x －4)]＝f (x －4)且2－(x －4)＝(6－x )∈[－1,1]， 故f (x )＝f (x －4)＝f (6－x )＝(6－x )3 ＝－(x －6)3.综上可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)3， 3≤x ≤5，－(x －6)3， 5<x ≤7.18．(本小题满分12分)等腰梯形ABCD 的两底分别为AB ＝10，CD ＝4，两腰AD ＝CB ＝5，动点P 由B 点沿折线BCDA 向A 运动，设P 点所经过的路程为x ，三角形ABP 的面积为S .(1)求函数S ＝f (x )的解析式；(2)试确定点P 的位置，使△ABP 的面积S 最大．解：(1)过C 点作CE ⊥AB 于E ， 在△BEC 中，CE ＝52－32＝4，∴sin B ＝45.由题意，当x ∈(0,5]时，过P 点作PF ⊥AB 于F ，∴PF =x sin B =45x ，∴S =12×10×45x =4x ，当x ∈(5,9]时， ∴S =12×10×4=20.当x ∈(9,14]时，AP =14-x ，PF =AP ·sin A =4-(14-x )5，∴S =12×10×(14-x )×45=56-4x .19．(本小题满分12分)(2008·深圳模拟)据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x(x>0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均收入为3000a元(a>0)．(1)在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，当地政府应该如何引导农民(即x多大时)，能使这100万农民的人均年收入达到最大．。