Xi 1
即
X
1n n i1
Xi
P
【注】 辛钦大数定理不要求随机变量的方差存 在.它为寻找随机变量的期望值提供了一条实际 可行的途径.
证 EX ()En 1i n1Xin 1i n1E(iX )μ
DX )(D n 1i n1Xin 12i n1Di()X σ n 2
由切比雪夫不等式
DX () P{XE(X)ε}1
例1 一盒同型号螺丝钉共100个，已知该型号的螺丝钉的重量是
一个随机变量，期望值是100g，标准差是10g ，求一盒螺丝钉 的重量超过10.2kg的概率.
解：设Xi 为第i个螺丝钉的重量, i=1,2,…,100.Xi相互独立同分布.
100
于是, 一盒螺丝钉的重量为 X X i i 1 且 E (X i) 1,0 0 D (X i) 1,i0 1 ,2 ,.1 ...0 ,0
Yn
n
i1Xi n n
的分布函数Fn(x)满足:对任意实数x，有
~~ X1 X N ( , ) nl i mFn(xY )nnl i mP
n n
n in i ni 111 X X nn ii nin近 x近 似 x 似 N21(0e,1)t22d2 t(证(明x)略. )
定理表明,当n充分大时,Yn近似服从标准正态分布.
ε2
即
P{
1n ni1
Xi-
ε}1n2
lim P{|X-|}1
n
推论1（伯努利大数定律）设nA是n 次独立重复试验
中A发生的次数.p 是事件A在每次试验中发生的概率,
则对任意 > 0,有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
nl im PnnA
-
p
1
nl im PnnA
-
p
0
证: 因为 nA~b(n, p), 有 nAX 1X 2 X n
记为:
Yn Pa
性质：设 Xn Pa, Yn Pb , g(x, y)在点(a, b)连续,
则 g(Xn,Y n) P g(a,b)
定理1 （辛钦大数定理）设随机变量序列 X1,X2,…,Xn,...相互独立同分布，数学期望
E(Xk)= (k=1,2,...) ,则对任意的 > 0,有
lni mPn1in1
在实际问题中，常需考虑许多随机因素所产生总影响.
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多 随机因素的影响. 如空气阻力所产生的误差， 瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等.
对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.
观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的 影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布.
现在我们研究独立随机变量之和的规律性问题：
1.当n无限增大时，这个和的极限分布是什么？
2.在什么条件下极限分布是正态分布？ 3. 考虑n个随机变量之和的标准化的随机变量
n
n
Xk E( Xk)
Zn k1
k 1 n
D( Xk )
k 1
的分布函数的极限.
➢独立同分布的中心极限定理
定理1 设随机变量X1,X2,…,Xn,… 相互独立,服从同一 分布,且 E(Xk)=，D(Xk)=20 (k=1,2, ...) , 则
第五章 大数定律
及中心极限定理
§5.1 大数定律
§5.2 中心极限定理
切比雪夫不等式
定理 设随机变量X的数学期望E(X)= ,
方差D(X)=2, 则对任意的正数，有
P{|X|}22
P{|X|}122
--------切比雪夫(chebyshev)不等式．
证明:（X为连续型） 设X的概率密度为f(x)，则
推论2:若 {Xi,i1,2,...}为独立同分布随机变量序列 ,
E(X1k) ,则
1 n
ni1
Xik
P E(X1k)
例 参 数 设 为 随 机 的 变 指 量 数 序 分 列 布 {， X则 n,n当 n1} 相 互 时 独 ， 立 且 服 从
1 ni n1Xi2依 概 率 收 敛 于
二、中心极限定理 中心极限定理的客观背景
由中心极限定理
100
P{ Xi 1020}0 i1
100
Pi1
Xi
100
100
10201010000
P
100 i 1
X
i 10000 100
2
1 (2)10 .97 7 0 .0 22 5275
定理3 (棣莫弗-拉普拉斯定理)设随机变量n(n=1,2,…) 服从参数为n，p(0< p < 1)的二项分布，则对任意 x，
E(X)=0.5 D(X)=0.475
由切比雪夫不等式，得 P{X|-0.5|2}0.88125
(b) P{X|-0.5|2}0.11875
定义1 设Y1, Y2 …,Yn ,...为一随机变量序列,a是常数.
若对任意正数，有 ln i m P {|Y na|}1
则称随机变量序列Y1, Y2 ,…,Yn , ... 依概率收敛于a ，
P{X | |4}19 10.93.75
16
(2) 切比雪夫不等式也从另一角度体现了方差D(X)
的意义。从切比雪夫不等式可以看出，随机变量
X的方差越小，则X的取值越集中在其中心E(X)的
附近。方差越小，X取值越集中在区间(E(X)-ε,
E(X)+ε)之内。
(3)可以证明方差性质（P136）
例1一台设备由10个独立工作的元件组成,每一元件 在时间T发生故障的概率为0.05．设在时间T发生 故障的元件数为X.试用切比雪夫不等式估计随机 变量X与其数学期望的偏差（若不对称？P135 例5.1） （a）小于2；(b)不小于2的概率． 解 （a）由题意知X~b(10, 0.05)，且
P{X|-|} f (x)dx
(x)2
f(x)dx
|x|
|x| 2
1 2
(x)2f(x)dx
D(X)
2
2 2
意义：切比雪夫不等式 P{|X|}12 2
(1)这个不等式给出了在随机变量X的分布未知的情
况下事件 |x-μ|<ε的概率的一种估计方法。例如
:
P{X | |3}110.88;89
因而 E(Xk)=p， (k=1,2,...),由辛钦大数定理
nl im Pn1kn1Xk
-
p
1
即
nl im PnnA
-
p
1
nA P P(A)(,n) n
【注】
1. 伯努利大数定理以严格的数学形式表达了频 率的稳定性.
2.伯努利大数定律提供了通过试验来确定事件概率 的方法.
在实际应用中，当试验次数很大时，往往 用事件发生的频率来代替事件的概率．