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北理工考博数值分析——试卷

一、填空题:(共20分)
1.非奇异矩阵的条件数为,条件数的大小反映了方程组的。

2.的相对误差和的相对误差之间的关系是。

3.给出一个求解对任意初值都收敛的迭代公式
,说明如何获得及收敛理由。

4. 设为互异节点,为对应节点上的拉格朗日插值基函数,则, 。

5.设互异,则当时,;。

6.数值积分公式的代数精确度
是,____
Gauss型求积公式。

二、(10分)设阶矩阵对称正定,用迭代公式
求解。

问实数取何值时迭代收敛?
三、(13分)设有线性方程组, (1)将系数矩阵A分解为
,求;(2)求解方程组。

四、(10分)用最小二乘法确定中的参数和,使该函数曲线
拟合于下
列形式的数据(推导满足的正则方程组)。

五、(10分)求四次插值多项式,使其满足条件
,并写出插值余项。

六、(10分)设,考虑方程,证明求解该方程的牛顿法产生的序列(其中)是收敛的;并求,使得。

七、(15分)对于积分,当要求误差小于时,用复化梯
形公式及
复化抛物线公式计算近似值时,所需节点数及步长分别为多少?计算满足精度要求的
近似值。

八、(12分)试求系数,使3步公式
的阶数尽可能高,并写出其局部截断误差的主项。

一、(12分)设有线性方程组,
(1)将系数矩阵A分解为L和U的乘积,其中L是单位下三角阵,U是上三角阵;
(2)解线性方程组。

二、(18分)
(1)已知数据:
试分别用线性及二次插值计算的近似值,并估计误差。

(2)设,试求三次插值多项式使得
,
并对任一写出误差估计式。

三、(20分)
(1)设线性方程组的系数矩阵
试写出收敛的迭代计算公式;
(2)若线性方程组的系数矩阵,用表示
迭代法和迭代法收敛的充分必要条件。

四、(15分)
(1)若用复化梯形、复化辛普森公式计算积分的近似值,要求计算结果有5位有效数字,分别应取多大?
(2)选一复化求积公式计算积分的近似值,要求截断误差小于。

五、(10)确定,使求积公式
的代数精确度尽可能高,并指出是否是型求积公式。

六、(15分)试用法推导出求近似值的迭代格式, 并用导出的公式计算的近似值,要求误差不超过。

七、(10分)已有求解常微分方程的二步公式:
欲使此格式的整体截断误差达到最高阶,应取何值,并说明公式是几阶方法。

一、填空题:(共15分,第7题2分,其余每空1分)
1.为了提高计算精度,当充分大时,应将改写为.
2.已知勒让德多项式系中的,则上关于权函数
的两点高斯型求积公式为,用它计算
(用分数表示).
3.已知是以0,1,2为节点的三次样条
函数,
则.
4.设,,则,,.(用根
号表示)
5.曲线和曲线在附近有一交点,写出求近似值的
牛顿迭代公式,它的收敛阶为.
6.给出一个求解对任意初值都收敛的迭代公式,并
说明理由.
7.已知,试求满足插值条件且的五次多项式
8.解初值问题显式方法的局部截断误差为
.
二、(15分)设有方程组分别写出Jacobi和
Gauss-Seidel迭代的计算公式,并讨论它们的收敛性.
三、(10分)有线性方程组,其中
(1)对进行分解;(2)求解方程组;(3)求.
四、(10分)求在上形如的最佳平方逼近多项式.
五、(10分)已知连续函数的函数表如下
(1)用二次拉格朗日插值计算的近似值;
(2)用牛顿三次插值求时,的近似值.
六、(10分)设有迭代格式
(1)确定的值,使上述迭代格式局部收敛到;
(2) 取何值时,上述迭代公式收敛阶最高,最高阶是多少;
(3) 取初值,用(2)中确定的公式求的近似值,误差不超过
(小数点后至少保留六位,计算过程中取的近似值为2)
七、(10分)用数值积分计算的近似值,要求误差不超过。

八、(10分)设,
(1)建立含的一阶常微分方程初值问题;
(2)给出改进的方法的求解公式;
(3)用改进的方法求解的近似值(取步长).
九、(10分)确定下列求积公式的系数及节点使其代数精确度尽可能高,并指出是否为高斯型求积公式;
最后证明该公式有如下误差公式:
一、填空题:(共15分,第7题2分,其余每空1分)
1.用四舍五入得近似值,有位有效数字,其相对误差限.
2.已知勒让德多项式系中的,则上关于权函数
的两点高斯型求积公式为

用它计算(用分数表示).
3.已知矩阵在附近有一特征值,怎样用反幂法求得这一特征值
.
4.设,,则,,
(用根号表示).
5.求近似值的牛顿迭代公式,它的收敛阶为.
6.给出一个求解对任意初值都收敛的迭代公式

并说明理由.
7.已知,试求满足插值条件
且的五次多项式.
8.数值微分公式的截断误差
.
二、(15分)对于线性方程组
分别写出Jacobi和Gauss-Seidel迭代的计算公式,并讨论它们的收敛性.
三、(10分)对于线性方程组,其中
(1)解方程组;(2)求.
四、(10分)求在上形如的最佳平方逼近多项式.
五、(10分)用插值法求在与相切,在与相交的二次
多项式,并给出在上估计式.
六、(10分)设有迭代格式
(1)确定的值,使上述迭代格式局部收敛到;
(2)取何值时,上述迭代公式收敛阶最高,最高阶是多少;
(3)取初值,用(2)中确定的公式求的近似值,误差不超过
(小数点后至少保留六位,计算过程中取的近似值为1.7)
七、(10分)用数值积分计算的近似值,要求误差不超过.
八、(10分)求解一阶常微分方程初值问题,
(1)给出改进的方法的求解公式,证明它是二阶方法;
(2)用改进的方法解,求的近似值(取步长
).
九、(10分)确定下列求积公式的系数及节点使其代数精确度尽可能高,
并指出是否为高斯型求积公式;
证明取上述系数及节点时,该公式有如下误差公式:。

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