什么是非线性？ 17世纪, 罗伯特虎克发现力(F) 和位移(u) 之间存在一个简单的 线性关系, 称为虎克定律: F = Ku – 常数 K为结构的刚度. 线性 结构服从此线性关系. 普通的例子是一个弹簧: F K u F K u 线性结构非常适合基于线性矩阵代数的有限元分析
然而, 相当多的结构在力和位移之间没有线性关系 因为此类结构的 F-u 图不是直线, 这样的结构称为非线性结构 . – 刚度不再是一个常数K; 它成为施加载荷的函数, KT (切 线刚度). 普通的例子是韧性金属的拉伸试验:
载荷位移曲线
Fa Fnr
R
下一次迭代用刚度矩阵
u0 △ u u1
u0: 所设初始位移值
u
位移
KT :切向刚度
u1: 下次迭代位移值
R F a F nr
收敛： Newton-Raphson法需要一个收敛的度量以决定 何时结束迭代。给定节点Fa，节点力Fnr ，在一个体 中，节点载荷必须与节点力平衡
高级接触选项包括： 自动探测尺寸 Auto detection dimension and slider 非对称接触Asymmetric contact 接触结果工具Contact results tool 接触算法contact formulations Pinball 控制
膜片弹簧接触设置
带支撑环的膜片弹簧边界条件及求解设置
3 2 F1 269.991 2981 1 9238 1
膜片弹簧大端载荷-位移曲线
3 2 F1 269.991 2981 1 9238 1
注：膜片弹簧载荷挠度曲线为非线性，是由于大变形引起 的几何非线性，但材料始终发生的是弹性变形，没有发生 塑性变形
回忆材料力学中低碳钢力学性能试验
接触的类型：
Rough（粗糙的）: 这种接触方式和无摩擦类似。但表现为 完全的摩擦接触，即没有相对滑动。只适用于面接触。默 认情况下，不自动消除间隙。这种情况相当于接触体间的 摩擦系数为无穷大 Frictional（有摩擦）: 这种情况下，在发生相对滑动前，两 接触面可以通过接触区域传递一定数量的剪应力。有点像胶 水。模型在滑动发生前定义一个等效的剪应力，作为接触压 力的一部分。一旦剪应力超过此值，两面将发生相对滑动。
注：初始值的设置会严重影响收敛性，为了得到收敛解， 可以设置多个载荷步、多个子步减少收敛性对初始值的依赖性。
例：膜片弹簧有限元分析
膜片弹簧分离指 支撑环
膜片弹簧大端
膜片弹簧边界条件描述 为了得到膜片弹簧大端载荷——位移曲线，在大端 施加位移约束，位移最大值为6mm；同时支撑环在轴向 没有位移；
软件可以计算出在大端施加位移时是需要的载荷，通 过后处理得到大端的载荷挠度曲线。
应力
应力
应变
应变
钢
橡胶
3. 状态变化非线性 导致刚度突然变化的状态改变是非线性行为的另一个 普遍原因.
在此例中, 随着载荷的 增加, 接触状态从“开” 变为 “闭合”, 从而引 起刚度变化.
载荷步、子步、平衡迭代 a. 在静态分析中允许设置多个分析步，并一步一步 的求解 b.对于静态分析，终止时间被用作确定载荷步和载 荷子步的追踪器
[ K T ]{u} {F a } {F nr }
[KT ]:切向刚度 {△ u}: 位移增量 {Fa }:节点载荷 {Fnr }:节点力
一个子步的多次平衡迭代：
载荷
位移
注：载荷和位移之间的真正关系， 是不可事先预知的
Ansys 牛顿辛普森法 迭代过程
Fa :节点载荷
载荷
Fnr :节点力
终止时间
终止时间
载荷步与子步的关系
子步与平衡迭代的关系
载荷的施加方式
设置多步载荷
Fa :节点载荷
Fnr :节点力
外载荷和约束力
节点受其附近的单元施加的力
1 3
2 4
Fa
F1
F2
F4
构件处于平衡状态，因 此每个节点也平衡，即 节点力应等于节点载荷：
F3
F a F nr
Ansys 牛顿辛普森法求解使用以下方程：
c. 如不进行接触和点焊设置，部件之间就没有相互关系
在结构分析中，接触和点焊能阻止部件之间的穿透， 同时也提供了部件之间载荷传递方法。
导入装配体，软件自动检测接触面并生成接触对,也可 以手动添加接触对 接触单元就像是在接触区域面上的“皮肤”，提 供了部件之间的相互关系。 在“contact”分支点击某个接触对， 构成这个接触对的部件就会变成半透明 与该接触对无关的部件变成全透明 接触面用红色和蓝色表示 Contact－接触面 Target－目标面
膜片弹簧材料为硅锰钢60Si2MnA其参数如下： 弹性模量： E 2.0 105 MPa 泊松比：
0.3
不带支撑环膜片弹簧非线性有限元分析 1.导入膜片弹簧几何模型（或在DM中建立几何模型） 2.选择静力分析模块
静力分析模块
3.进入DM模块，对几何进行处理
双击进入DM模块 切出支撑环的位置
接触的类型：
Bonded（绑定）: 这是AWE中关于接触的默认设置。如果 接触区域被设置为绑定，不允许面或线间有相对滑动或分离。 No Separation（不分离）: 这种接触方式和绑定类似。它 只适用于面。不允许接触区域的面分离，但是沿着接触面 可以有小的无摩擦滑动
Frictionless（无摩擦）: 这种接触类型代表单边接触，即如 果出现分离则法向压力为零。只适用于面接触。
切出大端施加位移的位置
4.新建材料 硅锰钢60Si2MnA
双击进入材料库
5.有限元网格模型
第一种网格划分方法 网格模型
第二种网格划分方法 网格模型
注：不同网格划分方法，得到的网格质量优劣不同
6.设置边界条件 支撑环处施加轴向位移约束，其它方向自由
膜片弹簧大端轴向施加6mm的强制位移
7.求解设置
载荷步设置 大变形
带支撑环的膜片弹簧边界条件及求解设置
固定支撑环
大端施加强制位移
F a F nr 0
Newton-Raphson在非线性分析实际上Fa -Fnr从 未定于零。当不平衡量小到误差允许范围内时，可终 止Newton-Raphson迭代，认为得到平衡解。 在数学上，当不平衡的范数 F F 0 小于指
a nrBiblioteka 定容限乘以参考力的值时就认为得到收敛解。
拉伸图
应力应变图
膜片弹簧工作过程中，材料始终在弹性阶段
膜片弹簧的几何尺寸：
膜片弹簧外半径： R=92.8mm
弹簧板厚度:
t=2.43mm
膜片弹簧与压盘接触半径： L=91.35mm 内支撑半径 ： l=78.3mm 碟簧部分内半径： r=76mm 分离指数为 18
碟簧部分内截锥高度 : h=4.38mm
离合器自由状态
离合器接合状态
离合器分离状态
计算膜片弹簧大端加载——位移特性曲线的 A-L公式为：
R Rr Rr 2 r F1 [( h )( h ) t ] 1 1 2 2 6(1 )( L l ) Ll 2( L l )
Et 1 ln
将膜片弹簧的尺寸代入 A-L公式为得大端载荷-位移曲线为：
F
KT
u
[ K (u)T ]{u} {F}
三种类型的非线性
1.几何非线性 如果一个结构经历了大变形, 则其变化后的几何形状能 够引起非线性行为.
在此例中, 处于轻微横向载荷作用下的杆梢是柔软的. 随着载荷增加, 杆的几何形状发生变化(变弯曲), 力矩臂减 小(载荷移动),引起杆的刚化响应.
2. 材料非线性 非线性应力应变关系是非线性结构行为的普遍原因.
单击，进行求解设置
定义了1个载荷步
定义了50个子步 打开几何大变形选项
8.后处理
查看大端的位移 查看大端的约束反力，即大端的载荷 绘制载荷位移曲线
载荷位移曲线
练习：1/4 膜片弹簧有限元分析 1/4 膜片弹簧有限元分析边界条件设置
考虑支撑环 膜片弹簧有限元分析 a. 接触状态的变化，导致非线性 b.当存在很多部件时，需要定义部件之间相互关系 接触区域定义了实体之间如何相互关联