Y的概率密度为
f Y ( y ) FY y f (e ) e
y

y
f Y ( y ) f (e ) e
y
y
2e y e2y 1


yR
2e y e 2 y 1
2
2 二、3.设随机变量 X 服从[0，2]上的均匀分布，求 Y X 在(0,4) 内的概率密度函数。
解 对于任意的实数 y, 随机变量 Y的分布函数 ,
0,2 , 所以Y的取值区间是 因为X的取值区间是 0,4.
(1) 当y 0时, FY ( y ) 0; 2当y 4时, FY ( y ) 1; 3当0 y 4时,
2 FY y P Y y P X y
i j 时，
1 1 1 P( X i ) P( X 2 j ) 6 6 36
i
P X i ,Y j P X i , X 2 j
（i i ）当 i j 时， P X i , Y j P X i , X 2 j
1/36 2/36 0 0 0 0
1/36 1/36 3/36 0 0 0
1/36 1/36 1/36 4/36 0 0
1/36 1/36 1/36 1/36 5/36 0
Y 的边缘分布为：
Y
P yj
1
2
3
5 36
4
7 36
5
1 4
6
11 36
8

1 36
1 12
二、7. 设二维随机变量（X,Y）在矩形域 a x b, c y d
上服从均匀分布，求（X,Y）的概率密度及边缘概率密度。
X与Y是 否独立？
解 （X,Y）的概率密度 1 f ( x , y ) (b a )(d c ) 0 X边缘概率密度
X
0
0.216
Y1
P( y j )
1
2
0.288
1
3
0.064
P( xi )
0.432
（1） Y1 X 2
0
0.216
4
0.288
9
0.064
0.432
（2） Y3 X 3 X
2
Y3
P( y j )
0
0.28
பைடு நூலகம்
1
0.72
1
二、2.设随机变量 X 的概率密度为
2 当x 0 2 f x x 1 0 当x 0 求随机变量函数 Y ln X 的概率密度。
概率论与数理统计作业6（§2.8～§2.11） 二、1.设随机变量 X 服从二项分布B（3，0.4）， 求下列随机变量函数的概率分布： （1）Y1 X 2 ; （2）Y3 X 3 X
2
解
i X的概率分布为 P( X i ) C 3 0.4i 0.63i
i 0,1,2,3


FY y P X y P y X y
2


y

y y
f X x dx

0
- y
0dx
0
y 1 dx 2 2
3
所以，随机变量 Y的分布函数
y 0; 0, y FY ( y ) , 0 y 4; 2 1, y 4. 上式两边对 y 求导数，即得Y 的概率密度


解
对于任意的实数 y， 随 机 变 量 Y
或
y ln x是单增函数，
的分布函数 其反函数为 x e y . FY ( y ) P (Y y ) P (ln X y )
P ( X e ) 0 f ( x )dx
y
ey
x e y .
随机变量函数 Y的 概 率 密 度 为
2
3 27 3 27
3
1 27

j
0 0 0
1 27
0 0
6 27
0
12 27
8 27 12 27 6 27 1 27
6
二、6.随机地掷一颗骰子两次，设随机变量 X 表示第一次出现
的点数,Y 表示两次出现的点数的最大值，求(X,Y)的概率分
X2 表示第二次出现的点数, 布及Y 的边缘分布。 解 X，Y 的所有可能的取值为1，2，…，6. （i）当
X
Y
0
1
2

a (a b) b (a b)
j
0
1
a ab (a b) 2 (a b) 2 ab b2 (a b) 2 (a b) 2
a (a b) b (a b)
X
Y
0
1

a (a b) b (a b)
j
0
1
ab a(a 1) (a b)( a b 1) (a b)( a b 1) ab b(b 1) (a b)( a b 1) (a b)( a b 1)
球的个数，求(X,Y )的概率分布及边缘分布 解 由此得(X,Y)的二维概率分布如下：
i C3 C 3j i P( X i ,Y j ) 33
( i , j 0,1,2,3. i j 3)
X
Y
0
1
2

i
3
1 27 3 27 3 27 1 27 8 27
0
1
3 27 6 27 3 27

i

i
a (a b)
b (a b)
5 . pij pi p j i , j 01 X与Y相互独立. pij pi p j i , j 01 X与Y不独立
二、5.把三个球随机地投入三个盒子中，每个球投入盒子的可能性
是相同的。设随机变量X及Y分别表示投入第一个及第二个盒子
1 , 0 y 4; fY ( y ) 4 y 其它. 0,
4
二、4 一批产品中有a件合格品与b件次品，每次从这批产品中任 取一件，取两次，方式为：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。 设随机变量 X 及 Y 分别表示第一次及第二次取出的次品数， 写出上述两种情况下二维随机变量(X,Y)的概率分布及边缘分布 并说明X与Y是否独立。 解 （1）放回抽样 （2）不放回抽样
j 1
i 36
1 36 , i j 即 P X i ,Y j i , j 1,2,,6. i j i , i j 36
7
X
Y
1
1/36 0 0 0 0 0
2
3
4
5
6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6/36
1 2 3 4 5 6