由于a=fxx,b=fyy,h=fxy=fyx,将上式表述为二阶全 微分中的各项:
2011-4-30
IV.11.10
GuoSipei@CCNUMATH
一般地:二次型q=a(u2)+2huv+b(v2)的行列式为 一个对称行列式 具体的二次型d2z=fxxdx2+2fxydxdy+fyydy2中,其 判别式是以二阶偏导数为元素的行列式,称为海塞 行列式,两变量海塞行列式为:
2011-4-30
IV.11.17
GuoSipei@CCNUMATH
与函数凹性和凸性相关的二阶条件
• 在整个定义域中给出峰形(谷地)的函数被称为凹(凸) 函数 • 凹函数的极值必然是极大值-峰顶;凸函数的极值必然 是极小值-谷底. • 若d2z处处为半负(正)定,则函数z=f(x1,x2,…,xn)必 定为凹(凸)函数;若d2z处处为负(正)定,则函数f必定 为严格凹(凸)函数. • 一旦一阶条件得到满足,凹(凸)性或严格凹(凸)性实际 上取代二阶条件成为极值或是绝对极值)的充分条件
2011-4-30
IV.11.29
GuoSipei@CCNUMATH
找出各市场中的价格与厂商的边际收益之间的联系
各市场的边际收益为:
注意到
由于厂商MC>0,而MC=MRi,要求厂商的MRi>0,所以厂 商所选择的产量必须使市场中相对应的点弹性大于1 而上述式子容易看出:在某特定市场中(选定了产出水平), 价格的点弹性越小,则厂商在该市场中所索要的价格必须 越高,即产生价格歧视.
相关定理
2011-4-30
IV.11.19
GuoSipei@CCNUMATH
• 可微函数
如果函数是可微的,函数的凹凸性也可以按其一阶 导数来定义,在单变量情况下,定义为:
几何上看,该定义将凹(凸)曲线描绘成一条与其切 线重合或者位于其切线下面(上面)的曲线
2011-4-30
IV.11.20
GuoSipei@CCNUMATH
第四篇 最优化问题
• 第11章 多于一个变量的情况
最优化条件的微分形式 两个变量函数的极值 二次型 具有多个变量的目标函数 与函数凸性，凹性相关的二阶条件 经济应用
2011-4-30
IV.11.1
GuoSipei@CCNUMATH
第11章 多于一个变量的最优化问题 章
• 最优化条件的微分形式
一阶条件:对于任意非零的dx,有dz=0(极值的必要 条件,不是充分条件) 二阶条件:对于任意非零的dx, d2z<0与f’’(x)<0 等价,此时z有极大值; d2z>0与f’’(x)>0等价,此时 z有极小值.
• 价格歧视
关于价格歧视的解释:一般说来,价格歧视是指一家 厂商在同一时间对同一产品索取两种或两种以上的 价格;它还可指一家厂商的各种产品价格之间的差 额大于其生产成本之间的差额. 假设一个厂商为三个隔离的市场供应产品,假定其 总收益函数和总成本以及总利润函数如下:
关于各个市场的产出量的一阶偏导应全部为0:
2011-4-30 IV.11.30 GuoSipei@CCNUMATH
验证二阶条件
求二阶偏导数和海塞行列式
如果下述要求成立,则二阶条件便完全满足:
一般假设Ri函数为凹函数,C(Q)函数为凸函数,则-C(Q) 为凹函数,则利润函数即为凹函数之和,于是可以避免检 验二阶条件的必要性
2011-4-30 IV.11.31 GuoSipei@CCNUMATH
• 厂商的投入决策
考察具有下列利润函数的竞争性企业,P,w和r是外 生变量,K,L和Q是内生变量:π=R-C=PQ-wL-rK
2011-4-30
IV.11.25
GuoSipei@CCNUMATH
求出使利润最大化的产出水平Q1与Q2的组合
先求出利润函数的一阶偏导数
得到联立方程 产生唯一解: 所以P10=12, P20=18时, Q1=2, Q2=4,单位时间的最 大利润为48
为确认该值的确是最大利润,检验二阶条件
从一阶偏导得到二阶偏导进而得到海塞行列式: |H1|=-4<0,|H2|=15>0
IV.11.8
GuoSipei@CCNUMATH
• 有定符号的行列式检验
将二次型做配方变换:
可以根据系数确定q的符号:
* 注意:a与b必须取相同的符号!
2011-4-30 IV.11.9 GuoSipei@CCNUMATH
将二次型重排为: q=a(u2)+huv+huv+b(v2) 将它视为由矩阵乘法得到的矩阵 更一般地表达:乘积x’Ax称为二次型,其中A为任意 对称矩阵,系数矩阵的行列式称为q的判别式,用|D| 表示. 上述q的符号判定准则可表述为:
当函数二次连续可微,函数凹凸性可以用d2x检验:
2011-4-30
IV.11.21
GuoSipei@CCNUMATH
• 凸函数与凸集
区别:含义完全不同
凸集的定义:
描述函数时,”凸的”表示曲线或曲面的弯曲(形成深谷) 而描述集合时,则表示点的”填充”方式,不允许出现”孔”, 边缘也不能有缩进.
联系
IV.11.16
GuoSipei@CCNUMATH
• n-变量情况
z=f(x1,x2,…,xn),全微分为: dz=f1dx1+f2dx2+…+fndxn 极值的必要条件要求所有的一阶偏导数等于零 极值的二阶充分条件为:对于z的极小值所有n个主子 式为正,对于z的极大值,第一个主子式为负,其他主子 式的符号交替改变
2011-4-30
IV.11.7
GuoSipei@CCNUMATH
• 正定与负定
当变量取不同值时q的符号发生变化则称q是不定的 当q为正定或负定的情况分别是取极小值或极大值 的二阶充分 充分条件 充分 当q为半定的情况与二阶必要 必要条件相联系 必要 当q为不定时,则可能出现鞍点.
2011-4-30
GuoSipei@CCNUMATH
假设总成本函数为 利润函数为:
求出利润最大化的产出水平,则最优价格水平即可 由需求函数求出.
目标函数产生如下的各阶偏导数
一阶条件必须满足:
代入上述各式: 验证二阶条件: 海塞矩阵行列式处处负定,目标函数严格凹,具有唯一绝 对最大值
2011-4-30 IV.11.28 GuoSipei@CCNUMATH
2011-4-30
IV.11.24
GuoSipei@CCNUMATH
经济应用
• 多产品厂商问题
首先假设有一个完全竞争条件下的两产品厂商.
在完全竞争条件下两商品的价格必然为外生的,分别以 P10,P20表示,所以,该厂商的收益函数为R=P10Q1+P20Q2, 其中Qi表示单位时间内i产品的产出水平. 假设厂商成本函数为C=2Q12+Q1Q2+2Q22,则第一个产 品的边际成本为∂C/∂Q1=4Q1+Q2,第二个产品的边际成 本为∂C/∂Q2=4Q2+Q1. 厂商的利润函数为:π=R-C=P10Q1+P20Q2-2Q12Q1Q2-2Q22.
z=f(x1,x2,x3)取得极值的必要条件是所有一阶偏 导数均为零
• 二阶条件
d2z的表达式:
2011-4-30
IV.11.15
GuoSipei@CCNUMATH
各项系数产生海塞行列式 逐次主子式为: 极值的二阶充分条件为:
* 注意:我们在稳定点f1=f2=f3处计算所有主子式值
2011-4-30
• n-变量二次型
对于二次型: 正定的充要条件为|D|的主子式全部为正; 负定的充要条件为主子式交替改变符号: |D1|<0,|D2|>0,|D3|<0,……即(-1)n|Dn|>0
2011-4-30
IV.11.14
GuoSipei@CCNUMATH
具有多于两个变量的目标函数
• 三个选择变量的函数的极值一阶条件
极大值充分条件为:对于不同时为零的dx和dy,有d2z<0; 极小值充分条件为:对于不同时为零的dx和dy,有d2z>0 极大值必要条件为:对于不同时为零的dx和dy,有d2z≤0; 极小值必要条件为:对于不同时为零的dx和dy,有d2z≥0 *在极大值或极小值处,d2x有可能取零值的
二阶微分条件可转换为二阶导数条件:
即使二阶条件未能满足(如d2z的峰值恰好为零),函数的凹凸 性条件仍可以成为有效的充分条件 构建具有一般目标函数的最优化模型时,往往一开始就假定 目标函数具有凹(凸)性,然后只需要验证一阶条件即可.
2011-4-30 IV.11.18 GuoSipei@CCNUMATH
• 目标函数的凹凸性检验
函数凹凸性的代数定义
判定实例:判断q=5(u2)+3uv+2(v2)是正定还是 负定的.
判别式为 其主子式|a|=fxx=5, =7.75>0,所以q为正定二次型.
2011-4-30 IV.11.11 GuoSipei@CCNUMATH
• 三变量二次型
三个变量u1,u2,u3的二次型可以表示成如下形式:
2011-4-30
推导过程需要二次型的辅助,其结果如下
2011-4-30
IV.11.5
GuoSipei@CCNUMATH
2011-4-30
IV.11.6
GuoSipei@CCNUMATH
二次型
• 型的定义:各项具有相同次数(各项指数和相等) 的多项式. • 二次型的二阶全微分
二次型一般形式:q=au2+2huv+bv2 二阶全微分可以看做两个变量u,v的二次型: d2z=fxxdx2+2fxydxdy+fyydy2 二阶条件中对二阶偏导的限制转换成为对二次型中 当u,v可以取任何值的时候,为得到确定符号的q,应 对a,b,h所施加的限制!