函数值域十一种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2xy 2-∈+-=的值域解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1xx 1y +++=的值域解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x)1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤（2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0yx )1y (2x 222=++-（1）∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0yx )1y (2x222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6. 求函数6x54x 3++值域解：由原函数式可得：3y 5y 64x --=则其反函数为：3x 5y 64y --=，其定义域为：53x ≠故所求函数的值域为：33(,)(,)55-∞⋃+∞5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定解：由原函数式可得：1y 1y ex-+=∵0e x>∴1y 1y >-+解得：1y 1<<-故所求函数的值域为)1,1(- 例8. 求函数3x sin x cos y -=的值域解：由原函数式可得：y 3x cos x siny =-，可化为：y 3)x (x sin 1y 2=β++ 即1yy 3)x (x sin 2+=β+∵R x ∈ ∴]1,1[)x (x sin -∈β+即11yy 312≤+≤-解得：42y 42≤≤-故函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-42,426. 函数单调性法 例9. 求函数)10x 2(1x log2y 35x ≤≤-+=-的值域解：令1x logy ,2y 325x 1-==-则21y ,y 在[2，10]上都是增函数 所以21y y y +=在[2，10]上是增函数当x=2时，8112log2y 33min =-+=-当x=10时，339log2y 35max=+=故所求函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81例10. 求函数1x 1x y --+=的值域解：原函数可化为：1x 1x 2y -++=令1x y ,1x y 21-=+=，显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数所以1y y =，2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数所以当x=1时，21y y y +=有最小值2，原函数有最大值222=显然0y >，故原函数的值域为]2,0( 7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11. 求函数1x xy -+=的值域解：令t1x =-，)0t (≥则1tx 2+=∵43)21t (1t ty 22++=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知当0t =时，1y min = 当0t →时，+∞→y 故函数的值域为),1[+∞ 例12.求函数2)1x (12x y +-++=的值域解：因0)1x (12≥+- 即1)1x (2≤+故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+ ∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β=1)4sin(2+π+β=∵π≤π+β≤π≤β≤4540,0211)4sin(201)4sin(22+≤+π+β≤∴≤π+β≤-∴故所求函数的值域为]21,0[+例13. 求函数1x2xx x y 243++-=的值域 解：原函数可变形为：222x1x 1x1x 221y +-⨯+⨯=可令β=tg x ，则有β=+-β=+2222cos x1x 1,2sin x1x2β-=β⨯β-=∴4sin 412cos 2sin 21y当82k π-π=β时，41y max =当82k π+π=β时，41y min -=而此时βtan 有意义。
故所求函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41 例14.求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 的值域解：)1x )(cos 1x (siny ++=1x cos x sin x cos x sin +++=令tx cos x sin =+，则)1t(21x cos x sin 2-=22)1t (211t )1t(21y +=++-=由)4/x sin(2x cos x sin t π+=+=且⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x可得：2t 22≤≤∴当2t =时，223y max +=，当22t =时，2243y +=故所求函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++223,2243。
例15. 求函数2x54x y -++=的值域解：由0x 52≥-，可得5|x |≤故可令],0[,cos 5xπ∈ββ=4)4sin(10sin 54cos 5y +π+β=β++β=∵π≤β≤04544π≤π+β≤π∴当4/π=β时，104y max +=当π=β时，54y min-=故所求函数的值域为：]104,54[+-8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例16. 求函数22)8x ()2x (y ++-=的值域解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(B -间的距离之和。
由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10|AB ||8x ||2x |y ==++-=当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10|AB ||8x ||2x |y =>++-= 故所求函数的值域为：],10[+∞例17. 求函数5x 4x13x 6x y 22++++-=的值域解：原函数可变形为：2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和，由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，43)12()23(|AB |y 22min =+++==，故所求函数的值域为],43[+∞例18. 求函数5x 4x13x 6xy 22++-+-=的值域解：将函数变形为：2222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的距离之差。
即：|BP ||AP |y -= 由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点'P ，则构成'A B P ∆，根据三角形两边之差小于第三边，有26)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<-即：26y 26<<-（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有26|AB |||BP ||AP ||==-综上所述，可知函数的值域为：]26,26(-注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。
如：例17的A ，B 两点坐标分别为：（3，2），)1,2(--，在x 轴的同侧；例18的A ，B 两点坐标分别为（3，2），)1,2(-，在x 轴的同侧。
9. 不等式法利用基本不等式abc 3c b a ,ab 2b a 3≥++≥+)R c ,b ,a (+∈，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例19. 求函数4)xcos 1x (cos )x sin 1x (sin y 22-+++=的值域解：原函数变形为：52x cotx tan 3xcot x tan 3xsec x ces 1xcos1xsin1)x cosx (siny 22322222222=+≥++=++=+++=当且仅当xcot x tan =即当4k x π±π=时)z k (∈，等号成立故原函数的值域为：),5[+∞例20. 求函数x2sin x sin2y =的值域解：xcos x sin x sin4y =x cos x sin42=2764]3/)x sin 22x sin x [(sin 8)x sin22(x sinx sin8xcosx sin 16y 322222224=-++≤-==当且仅当xsin22x sin22-=，即当32x sin 2=时，等号成立。
由2764y 2≤可得：938y 938≤≤-故原函数的值域为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-938,93810. 一一映射法原理：因为)0c (d cx bax y ≠++=在定义域上x 与y 是一一对应的。
故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。
例21. 求函数1x 2x 31y +-=的值域解：∵定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<21x 21x |x 或 由1x 2x 31y +-=得3y 2y 1x +-=故213y 2y 1x ->+-=或213y 2y 1x -<+-=解得23y 23y ->-<或故函数的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323,11. 多种方法综合运用 例22. 求函数3x 2x y ++=的值域解：令)0t (2x t ≥+=，则1t 3x 2+=+（1）当0t >时，21t1t 11tt y 2≤+=+=，当且仅当t=1，即1x -=时取等号，所以21y 0≤<（2）当t=0时，y=0。