高考数学基本不等式
第6章 第3课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分
册装订！)
一、选择题
1．已知f (x )＝x ＋1x －2(x ＜0)，则f (x )有( )
A ．最大值为0
B ．最小值为0
C ．最大值为－4
D ．最小值为－4
解析： ∵x ＜0，∴－x ＞0，
∴x ＋1x －2＝－⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－x ＋1－x －2≤－2－x ·1－x
－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x
，即x ＝－1时等号成立． 答案： C
2．若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是( )
A ．4
B ．8
C ．2 2
D ．4 2
解析： ∵2x ＋4y ≥2·2x ·22y ＝2·2x ＋2y
＝2·24＝8，
当且仅当2x ＝22y ，即x ＝2y ＝2时取等号， ∴2x ＋4y 的最小值为8.
答案： B
3．已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14
，ln y 成等比数列，则xy ( )
A ．有最大值e
B ．有最大值 e
C ．有最小值e
D ．有最小值 e
解析： ∵x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14
，ln y 成等比数列，
∴ln x ·ln y ＝14≤⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫ln x ＋ln y 22，
∴ln x＋ln y≥1⇒xy≥e. 答案： C
4．函数y＝x2＋2
x－1
(x＞1)的最小值是()
A．23＋2 B．23－2 C．2 3 D．2
解析：∵x＞1，∴x－1＞0，
∴y＝x2＋2
x－1
＝
x2－2x＋2x＋2
x－1
＝x2－2x＋1＋2(x－1)＋3
x－1
＝(x－1)2＋2(x－1)＋3
x－1
＝x－1＋3
x－1
＋2
≥2·(x－1)·3
x－1
＋2＝23＋2，
当且仅当x－1＝3
x－1
，即x＝1＋3时，取等号．
答案： A
5．(2011·北京东城联考)要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为()
A．50 B．25 3
C．50 3 D．100
解析：设矩形的长和宽分别为x、y，则x2＋y2＝100.
于是S＝xy≤x2＋y2
2
＝50，当且仅当x＝y时
等号成立．
答案： A
6．(2011·东北三校第一次联考)已知正项等
比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，
a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )
A.32
B.53
C.256 D ．不存在
解析： 设正项等比数列{a n }的公比为q ， 由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2. 由a m a n ＝4a 1，得2m ＋n －2＝24，即m ＋n ＝6.
故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m ＋4n ＝56＋16⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫4m n ＋n m ≥56＋46＝32
，当且仅当n ＝2m 时等号成立． 答案： A
二、填空题
7．若2y ＋4x ＝xy (x ＞0，y ＞0)，则xy 的最小值为________．
解析：22y·4x≤2y＋4x＝xy(x＞0，y＞0)，∴xy≥32.
答案：32
8．(2011·南京模拟)若log m n＝－1，则3n＋m的最小值是________．
解析：∵log m n＝－1，∴m－1＝n，
∴mn＝1，∵n＞0，m＞0且m≠1，
∴3n＋m≥23mn＝2 3.
答案：2 3
9．已知函数f(x)＝x＋
p
x－1
(p为常数，且p
＞0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________．
解析：由题意得x－1＞0，f(x)＝x－1＋
p
x－1
＋1≥2p＋1，当且仅当x＝p＋1时，取
等号，则2p＋1＝4，解得p＝9
4.
答案：9 4
三、解答题
10．(1)求函数y＝x(a－2x)(x＞0，a为大于2x的常数)的最大值；
(2)当点(x，y)在直线x＋3y－4＝0上移动时，求表达式3x＋27y＋2的最小值．
【解析方法代码108001077】解析：(1)∵x＞0，a＞2x，
∴y＝x(a－2x)＝1
2×2x(a－2x)
≤1
2×⎣⎢
⎢⎡
⎦⎥
⎥⎤
2x＋(a－2x)
2
2＝a
2
8
，
当且仅当x＝a
4
时取等号，故函数的最大值为
a2
8.
(2)由x＋3y－4＝0得x＋3y＝4，
∴3x ＋27y ＋2＝3x ＋33y ＋2
≥2·3x ·33y ＋2＝2·3x ＋3y ＋2
＝2·34＋2＝20，
当且仅当3x ＝33y 且x ＋3y －4＝0，即x ＝2，y ＝23
时取等号成立． 11．已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)．
(1)求xy 的最小值；
(2)求x ＋y 的最小值．
【解析方法代码
108001078】
解析： 由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1) 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0y ＞0
3xy ＝x ＋y ＋1
(1)∵x ＞0，y ＞0，
∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1，
∴3xy －2xy －1≥0，
即3(xy )2－2xy －1≥0，
∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0， ∴xy ≥1，∴xy ≥1，
当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． ∴xy 的最小值为1.
(2)∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋y 22，
∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，
∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0，
∴x ＋y ≥2，
当且仅当x ＝y ＝1时取等号，
∴x ＋y 的最小值为2.
12．某房地产开发公司计划
在一楼区内建造一个长方形公园
ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图)．
(1)若设休闲区的长和宽的比A1B1
B1C1＝x，求公
园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
解析：(1)设休闲区的宽B1C1为a米，则其长A1B1为ax米．
∴a2x＝4 000，得a＝2010
x
，
∴S＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160
＝4 000＋(8x ＋20)·2010x
＋160 ＝8010⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x ＞1)． (2)S ≥1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2x ＝5x
， 即x ＝2.5时取等号，
即当x ＝2.5时，公园所占面积最小．
此时a ＝40，ax ＝100，即休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米，宽为40米.。