河北衡水中学2020年高考押题试卷理数试卷（一）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+，1{|24}4x B x =≤≤，则A B I =（ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}- C ．{2,1,0,1,2}-- D ．{0,1,2}2.已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．(,1)-∞- D ．(1,)+∞3.下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞内单调递增的为（ ）A.42y x x =+ B ．||2x y = C.22x xy -=- D ．12log ||1y x =-4.已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ） A.它们的焦距相等 B ．它们的焦点在同一个圆上 C.它们的渐近线方程相同 D ．它们的离心率相等5.在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.执行如图的程序框图，则输出的S 值为（ ）A.1009 B ．-1009 C.-1007 D ．1008 7.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 8.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)A ωϕπ>><的部分图象如图所示，则函数()cos()g x A x ϕω=+图象的一个对称中心可能为（ ）A ．5(,0)2-B ．1(,0)6 C.1(,0)2- D ．11(,0)6- 9.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OFAB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A.2a bab +≥(0,0)a b >> B ．222a b ab +≥(0,0)a b >>C.2ab ab a b≤+(0,0)a b >> D ．2222a b a b ++≤(0,0)a b >> 10.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ） A ．720 B ．768 C.810 D ．81611.焦点为F 的抛物线C ：28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ）A ．2y x =+或2y x =--B ．2y x =+ C.22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11(,)[,)88-∞-+∞U B ．11[,0)(0,]48-U C.(0,8]D ．11(,][,)48-∞-+∞U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知(1,)a λ=r ，(2,1)b =r，若向量2a b +r r 与(8,6)c =r 共线，则a r 和b r 方向上的投影为 ．14.已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩且2z x y =-的最大值为a ，则20cos 2x a dx π⎰= ． 15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且8a =，ABC∆的面积为b c +的值为 ．16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC=，AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知23(1)(1)(1)(1)nx x x x ++++++++L 的展开式中x 的系数恰好是数列{}n a 的前n 项和n S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足12(21)(21)nnn a n a a b +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n T <. 18.如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC ∆的垂心.（1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ； （2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.19.2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为6，且椭圆C 与圆M ：2240(2)9x y -+=的公共弦长为103. （1）求椭圆C 的方程.（2）过点(0,2)P 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆为以AB 为底边的等腰三角形.若存在，求出点D 的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.21. 已知函数2()2ln 2(0)f x x mx x m =-+>. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当2m ≥时，若函数()f x 的导函数'()f x 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其横坐标分别为1x ，2x 12()x x <，线段AB 的中点的横坐标为0x ，且1x ，2x 恰为函数2()ln h x x cx bx =--的零点，求证：1202()'()ln 23x x h x -≥-+.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为4,22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点. （1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP ∆的面积的最大值.23. 选修4-5：不等式选讲. 已知函数()|21||1|f x x x =-++. （1）求函数()f x 的值域M ；（2）若a M ∈，试比较|1||1|a a -++，32a ，722a -的大小.参考答案及解析 理科数学（Ⅰ）一、选择题1-5:BBDDA 6-10:BCCDB 11、12：AD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）14.3π 15.[2,4]ππ 三、解答题17.解：（1）23(1)(1)(1)(1)nx x x x ++++++++L 的展开式中x 的系数为1111123n C C C C ++++=L 2111223n C C C C ++++=L 2211122n C n n +=+， 即21122nS n n =+， 所以当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=； 当1n =时，11a =也适合上式， 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =.（2）证明：12(21)(21)n n n n b +==--1112121n n +---， 所以11111113372121nn n T +=-+-++---L 11121n +=--， 所以1n T <.18.解：（1）如图，延长OG 交AC 于点M . 因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OMBC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥.因为PA ⊥平面ABC ，OM⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥.又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I ，所以OM ⊥平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ， 所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点，CB u u u r ，CA u u u r ，AP u u u r 方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,0)C ，(0,1,0)A ，3,0,0)B ，31,0)2O ，(0,1,2)P ，1(0,,0)2M ，则3(OM =u u u u r ，31(,2)2OP =u u u r .平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则30,3120,2n OM x n OP x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=++=⎪⎩r u u u u r r u u u r 令1z =，得(0,4,1)n =-r.过点C 作CHAB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A =I ，所以CH ⊥平面PAB ，即CH u u u r为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，132CH CB ==. 所以3cos H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=. 所以33,,0)44CH =u u u r . 设二面角A OP G --的大小为θ，则||cos ||||CH n CH n θ⋅==⋅u u u r r u u u r r 2233|0410|2514439411616⨯+⨯=+⨯+19.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则333101()120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为1()()14400 P PA P A=⋅=.（2）若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0，600，700，1000.333101(0)120CP XC===，21373107(600)40C CP XC===，123731021(700)40C CP XC===，373107(1000)24CP XC===，故X的分布列为，所以17217()06007001000120404024E X=⨯+⨯+⨯+⨯17646=（元）.若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则1000200Z Y=-，由已知可得3~(3,)10Y B，故39()31010E Y=⨯=，所以()(1000200)E Z E Y=-=1000200()820E Y-=（元）.因为()()E X E Z<，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.20.解：（1）由题意可得26a=，所以3a=.由椭圆C与圆M：2240(2)9x y-+=410，恰为圆M的直径，可得椭圆C经过点210(2,，所以2440199b+=，解得28b=.所以椭圆C的方程为22198x y+=.（2）直线l的解析式为2y kx=+，设1122(,),(,)A x yB x y，AB的中点为00(,)E x y.假设存在点(,0)D m，使得ADB∆为以AB为底边的等腰三角形，则DE AB⊥.由222,1,98y kxx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(89)36360k x kx++-=，故1223698kx x k +=-+， 所以021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+. 因为DE AB ⊥，所以1DE k k=-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k --==++. 当0k >时，89k k +≥=所以012m -≤<； 当0k <时，89k k+≤-012m <≤. 综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点E ，且点D的横坐标的取值范围为[U . 21. 解：（1）由于2()2ln 2f x x mx x =-+的定义域为(0,)+∞，则22(1)'()x mx f x x-+=.对于方程210x mx -+=，其判别式24m ∆=-. 当240m-≤，即02m <≤时，'()0f x ≥恒成立，故()f x 在(0,)+∞内单调递增.当240m ->，即2m >，方程210x mx -+=恰有两个不相等是实根2m x ±=，令'()0f x >，得0x <<x >，此时()f x 单调递增；令'()0f x <x <<，此时()f x 单调递减.综上所述，当02m <≤时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；当2m >时，()f x在内单调递减，在，)+∞内单调递增.（2）由（1）知，22(1)'()x mxf xx-+=，所以'()f x的两根1x，2x即为方程210x mx-+=的两根.因为m≥，所以240m∆=->，12x x m+=，121x x=.又因为1x，2x为2()lnh x x cx bx=--的零点，所以2111ln0x cx bx--=，2222ln0x c bx--=，两式相减得11212122ln()()()0xc x x x x b x xx--+--=，得121212ln()xxb c x xx x==+-.而1'()2h x cx bx=--，所以120()'()x x h x-=1201()(2)x x cx bx---=121212121212ln2()[()()]xxx x c x x c x xx x x x--+-+++-1211222()lnx x xx x x-=-=+12112212ln1xx xx xx-⋅-+.令12(01)xt tx=<<，由2212()x x m+=得22212122x x x x m++=，因为121x x=，两边同时除以12x x，得212t mt++=，因为m≥，故152tt+≥，解得12t<≤或2t≥，所以12t<≤.设1()2ln1tG t tt-=⋅-+，所以22(1)'()0(1)tG tt t--=<+，则()y G t=在1(0,]2上是减函数，所以min12()()ln223G t G==-+，即120()'()y x x h x =-的最小值为2ln 23-+. 所以1202()'()ln 23x x h x -≥-+. 22.解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.将直线l 的参数方程代入圆:C 22(2)4x y -+=，并整理得20t +=， 解得10t =，2t =-所以直线l 被圆C截得的弦长为12||t t -=. （2）直线l 的普通方程为40x y --=.圆C 的参数方程为22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）， 可设曲线C 上的动点(22cos ,2sin )P θθ+，则点P 到直线l的距离d=|2cos()4πθ=+，当cos()14πθ+=-时，d 取最大值，且d的最大值为2所以1(222ABP S ∆≤⨯+=+ 即ABP ∆的面积的最大值为2+23. 解：（1）3,1,1()2,1,213,.2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩ 根据函数()f x 的单调性可知，当12x =时，min 13()()22f x f ==. 所以函数()f x 的值域3[,)2M =+∞. （2）因为a M ∈，所以32a ≥，所以3012a<≤. 又|1||1|1123a a a a a -++=-++=≥，所以32a≥，知10a->，430a->，所以(1)(43)2a aa-->，所以37222aa>-，所以37|1||1|222a a aa-++>>-.。