第一章 基本初等函数(Ⅱ)的测试时间:120分钟 满分:150分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2016·陕西延川县期中)半径为π cm ,中心角为120°的弧长为 ( ) A.π3 cm B.π23 cm C.2π3 cm D.2π23cm 2.(2016·桂林全州学段考)如果sin(π+A )=-12,那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2-A 等于( )A .-12 B.12 C.32 D .-323.若点P (sin2,cos2)是角α终边上一点,则角α的终边所在象限是( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限4.右图是函数f (x )=A sin ωx (A >0,ω>0)一个周期的图象,则f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)+f (6)的值等于( )A.2 B.22C .2+2D .225.给出下列各函数值:①sin100°;②cos(-100°);③tan(-100°);④sin 7π10cosπtan17π9.其中符号为负的是( )A .①B .②C .③D .④6.把函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变),再将图象向右平移π3个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为( )A .x =-π2B .x =-π4C .x =π8D .x =π47.(2016·山西大同一中测试)若0<α<2π,且sin α<32,cos α>12,利用三角函数线得到角α的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3,π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3,2πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3,2π 8.化简2sinαcosα-cosα1+sin2α-sinα-cos2α等于( ) A .tan α B.1tanα C .-tan α D .-1tanα9.设a =sin 5π7,b =cos 2π7,c =tan 2π7,则( )A .a <c <bB .a <b <cC .b <c <aD .b <a <c10.(2016·上海高考)设a ∈R ,b ∈[0,2π].若对任意实数x ,都有sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x -π3=sin(ax+b ),则满足条件的有序实数对(a ,b )的对数为( )A .1B .2C .3D .411.已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+m (A >0,ω>0)的最大值是4,最小值是0,该函数的图象与直线y =2的两个相邻交点之间的距离为π4,对任意的x ∈R ,满足f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12ω+φ+m ,且f (π)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,则下列符合条件的函数的解析式是( )A .f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x +π6+2B .f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +7π6+2C .f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x +π3+2D .f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x +7π6+212.(2016·山西榆社中学期中)函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω,φ是常数,A >0,ω>0)的部分图象如图所示,下列结论:①最小正周期为π;②将f (x )的图象向左平移π6个单位,所得到的函数是偶函数;③f (0)=1; ④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π11<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π13; ⑤f (x )=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3-x . 其中正确的是( )A .①②③B .②③④C .①④⑤D .②③⑤ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.sin(-120°)cos1 290°+cos(-1 020°)sin(-1 050°)=__________.14.(2016·河南灵宝高级中学期中)已知函数f (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx-π6(ω>0)和g (x )=2cos(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相同,若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,则f (x )的取值范围是________.15.(2016·河南洛阳八中月考)函数y =f (cos x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ-π6,2kπ+2π3(k ∈Z ),则函数y =f (x )的定义域为________.16.已知函数f (x )=sinx +cosx +|sinx -cosx|2,则下列结论正确的是________.①f (x )是奇函数;②f (x )的值域是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-22,1;③f (x )是周期函数;④f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上递增.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)化简错误!,其中角α的终边在第二象限.18.(12分)已知函数y =A sin(ωx +φ)的部分图象如图所示(ω>0),试求它的表达式.19.(12分)(2016·山西大同一中期中)已知α是一个三角形的内角,且sin α+cos α=15.(1)求tan α的值;(2)用tan α表示1sin2α-cos2α并求其值.20.(12分)(2016·银川九中期中)已知函数f (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π6+3.(1)用五点法画出这个函数在一个周期内的图象;(必须列表) (2)求它的振幅、周期、初相、对称轴方程;(3)说明此函数图象可由y =sin x 在[0,2π]上的图象经怎样的变换得到.21.(12分)设函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx+π3+32+a (其中ω>0,a ∈R ),且f (x )的图象在y轴右侧的第一个最低点的横坐标为7π6.(1)求ω的值;(2)如果f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,5π6上的最小值为3,求a 的值.22.(12分)已知函数f (x )=log a cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3(其中a >0,且a ≠1).(1)求它的定义域; (2)求它的单调区间; (3)判断它的奇偶性;(4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的周期.详解答案1.D 120°=2π3,∴弧长为2π23,故选D.2.A sin(π+A )=-12,∴sin A =12,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2-A =-sin A =-12,故选A.3.D ∵2弧度是第二象限角∴sin2>0,cos2<0. ∴点P 在第四象限,∴角α的终边在第四象限,故选D.4.A 易知A =2,由2πω=8,得ω=π4,∴f (x )=2sin πx4,又由对称性知,原式=f (1)=2sin π4=2,故选A.5.B ①sin100°>0;②cos(-100°)=cos100°<0;③tan(-100°)=-tan100°>0;④∵sin 7π10>0,cosπ=-1,tan 17π9<0,∴sin 7π10cosπtan17π9>0.其中符号为负的是②,故选B. 6.A 依题意得,经过图象变换后得到的图象相应的解析式是y =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π3+π6=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π2=-cos2x ,注意到当x =-π2时,y =-cos(-π)=1,此时y =-cos2x 取得最大值,因此直线x =-π2是该图象的一条对称轴,故选A .7.D 如图示,满足sin α<32的角α为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3,2π,满足cos α>12的角α为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3,2π,所以符合条件的角α为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3,2π,故选D.8.B 原式=错误!=错误!=错误! =1tanα.故选B. 9.D a =sin 5π7=sin 2π7<tan 2π7=c .cos 2π7=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-2π7=sin 3π14,∵3π14<2π7,∴sin 3π14<sin 2π7.故b <a <c . 10.B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -π3+2π=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +5π3,(a ,b )=⎝ ⎛⎭⎪⎫3,5π3,又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -π3=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π-⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-3x +4π3,(a ,b )=⎝⎛⎭⎪⎫-3,4π3,因为b ∈[0,2π],所以只有这两组.故选B.11.D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ A +m =4,-A +m =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧A =2,m =2.由题可知周期T =π2,由T =2πω=π2得ω=4,于是函数f (x )=2sin(4x +φ)+2.又由题可知x =π12是函数的对称轴,故4×π12+φ=k π+π2,则φ=k π+π6(k ∈Z ),又因为f (π)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,验证选项A 、D ,可得选项D 正确.12.C 由图象可知,A =2,T =⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12-π3×4=π,∴ω=2,当x =7π12时,2×7π12+φ=3π2,∴φ=π3,∴f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3故①正确;f (0)=2sin π3=3,故③不正确,故选C.13.1解析:原式=-sin120°cos210°+cos60°sin30°=-32×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-32+12×12=1. 14.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,3 解析:由题可知,f (x )与g (x )的周期相同,∴T =2π2=π,∴ω=2,则f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6,当0≤x ≤π2时,-π6≤2x -π6≤5π6,∴-32≤f (x )≤3. 15.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1 解析:∵2k π-π6≤x ≤2k π+2π3,k ∈Z .∴-12≤cos x ≤1.∴f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1.16.②③解析:f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2sinx ,sinx≥cosx,2cosx ,sinx<cosx ,∴f (x )的图象如图所示.依据图象可知②③正确. 17.解:原式= 错误!=错误!=错误!. ∵α是第二象限角, ∴sin α>0,cos α-sin α<0. 于是,原式=sinα-cosαcosα-sinα=-1.18.解:∵T 2=5π6-π3=π2,ω>0,∴T =π,ω=2πT=2.∵图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,0,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3+φ=0,∴2π3+φ=2k π+π,k ∈Z , 令k =0,得φ=π3.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0,32,由A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×0+π3=32得,A =3.∴所求表达式为y =3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3.19.解:(1)已知α是一个三角形的内角,∴0<α<π,sin α>0.由sin α+cos α=15,得1+2sin αcos α=125,∴2sin αcos α=-2425,∴cos α<0,∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=4925,∴sin α-cos α=75.∴sin α=45,cos α=-35, ∴tan α=-43.(2)1sin2α-cos2α=sin2α+cos2αsin2α-cos2α=tan2α+1tan2α-1=⎝ ⎛⎭⎪⎫-432+1⎝ ⎛⎭⎪⎫-432-1=257.∴1sin2α-cos2α=257. 20.解:(1)列表x -π32π3 5π38π3 11π3x2+π6 0 π2 π 3π2 2π y3633(2)周期T =4π,振幅A =3,初相φ=π6,由x 2+π6=k π+π2,得x =2k π+2π3(k ∈Z )即为对称轴方程;(3)①由y =sin x 的图象上各点向左平移φ=π6个长度单位,得y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6的图象;②由y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π6的图象; ③由y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π6的图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变),得y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π6的图象;④由y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π6的图象上各点向上平移3个长度单位,得y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π6+3的图象.21.解:(1)依题意知,2×7π6ω+π3=3π2⇒ω=12.(2)由(1)知f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3+32+a ,又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,5π6时,x +π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,7π6,故-12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3≤1,从而f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,5π6上取最小值-12+32+a .因此-12+32+a =3,解得a =3+12. 22.解:(1)由题意知cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3>0,∴2k π-π2<2x -π3<2k π+π2(k ∈Z ).即k π-π12<x <k π+5π12(k ∈Z ).故定义域为⎝⎛⎭⎪⎫kπ-π12,kπ+5π12(k ∈Z ).(2)由2k π≤2x -π3≤(2k +1)π(k ∈Z ),得k π+π6≤x ≤k π+2π3(k ∈Z ).即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ+π6,kπ+2π3(k ∈Z ).由2k π-π≤2x -π3≤2k π(k ∈Z ),得k π-π3≤x ≤k π+π6(k ∈Z ).即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ-π3,kπ+π6(k ∈Z ).∴函数u =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3在⎝ ⎛⎦⎥⎤kπ-π12,kπ+π6(k ∈Z )上是增函数,在⎣⎢⎡⎭⎪⎫kπ+π6,kπ+5π12(k ∈Z )上是减函数.∴当a >1时,f (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤kπ-π12,kπ+π6(k ∈Z ).单调减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫kπ+π6,kπ+5π12(k ∈Z ). 当0<a <1时,f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫kπ+π6,kπ+5π12(k ∈Z ),单调减区间为⎝⎛⎦⎥⎤kπ-π12,kπ+π6(k ∈Z ).(3)∵f (x )的定义域不关于原点对称, ∴函数f (x )既不是奇函数,也不是偶函数. (4)∵f (x +π)=log a cos 错误!=log a cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3=f (x ).∴函数f (x )的周期为T =π.。