f 1 2 f 2 2 f ( S ) t r ( f S )t 2 t 2 S S

化简为
f f 1 2 2 2 f rS S rf 2 t S 2 S
(4.17)

这就是著名的B-S微分分程，它适用于其价格取决于标的证 券价格S的所有衍生证券的定价。
(4.14)

在 t时间后：
f f S S
（4.15）

将式（4.11）和（4.13）代入式（4.15），可得：
f 1 2 f 2 2 ( S )t 2 t 2 S
（4.16）

在没有套利机会的条件下：
r t

把式（4.14）和（4.16）代入上式得：

X ,0)]


其现值为
ce
r (T t )
E[max( ST X ,0)]

（4.18）
对数股票价格的分布为：
ln ST ~ [ln S (r
2
2
)(T t ), T t ]
（4.19）

对式（6.19）求解：
c SN(d1 ) Xe r (T t ) N (d2 )
S t t S
S ~ ( t , t ) S
(4.8)
(五)衍生证券所服从的随机过程
根据伊藤引理，衍生证券的价格f应遵循如下过程：
f f 1 2 f 2 2 f df ( S S ) dt Sdz 2 S t 2 S S
（二）布朗运动
1,标准布朗运动 z代表变量z在时 设 t 代表一个小的时间间隔长度， 间 t 内的变化，遵循标准布朗运动的 z 具有两 种特征： z和t 的关系满足 特征1： （4.1） z t 代表从标准正态分布（即均值为0、标准差 其中， 为1.0的正态分布）中取的一个随机值。
2
2
)(T t ), T t ]
二、B-S定价模型
(一)B-S微分方程
1,B-S微分方程的推导

我们假设证券价格S遵循几何布朗运动：
则：

dS Sdt Sdz S St Sz
（4.11）

假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：
f f 1 2 f 2 2 f f ( S S ) t Sz 2 S t 2 S S
B-S期权定价公式的简单推导
一、证券价格的变化过程
（一）弱式有效市场假说与马尔可夫过程

1965 年，法玛（ Fama ）提出了著名的有效市场假说。该
假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报
酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证
券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个 均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格 变动是相互独立的。

有效市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。 弱式有效市场假说可用马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）来表述。

随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时
间变化的过程。可分为离散型的和连续型的。马尔 可夫过程是一种特殊类型的随机过程。

如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未来价格的 概率分布只取决于该证券现在的价格。
（4.20）
详见Hull(8) P232

其中
ln(S / X ) (r 2 / 2)(T t ) d1 T t ln(S / X ) (r 2 / 2)(T t ) d2 d1 T t T t

f f 1 2 f 2 2 f （4.12） df ( S S ) dt Sdz S t 2 S 2 S
（4.13）
f 为了消除 z ，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标 S 的证券多头的组合。令 代表该投资组合的价值，则：
f f S S
(4.6)
这就是伊藤引理。
(四)证券价格的变化过程

证券价格的变化过程可以用漂移率为μ S、方差率 为 2 S 2 的伊藤过程来表示：
dS Sdt Sdz
dS dt dz S
（4.7）

两边同除以S得：

从（4.7）可知，在短时间后，证券价格比率 的变化值为：

S 可见， 也具有正态分布特征 S



特征2：对于任何两个不同时间间隔， t 和z 的值 相互独立。 考察变量z在一段较长时间 T中的变化情形， N 我们可得： z (T ) z (0) t i i 1 （4.2） 因 i 的相互独立性，得 z(T ) z(0) 也具有正态 分布特征，其均值为0，方差为 N t T t ，标 准差为 T t 当△t0时，我们就可以得到极限的标准布朗 运动： dz dt （4.3）
从公式(4.4)得到伊藤过程（Ito Process）：
dx a( x, t )dt b( x, t )dz
变量x的漂移率为a，方差率为b2
(4.5）
其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，

进一步：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数 G(x,t)将遵循如下过程：
G G 1 2G 2 G dG ( a b ) dt bdz 2 x t 2 x x
2,普通布朗运动


我们先引入两个概念：漂移率和方差率。 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。 若令漂移率为a,方差率为b2，就可得到变 量x的普通布朗运动： dx adt bdz （4.4） 其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。
(三)伊藤过程与伊藤引理

普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量 x的漂移率和方差率当作变量 x和时间t的函数，我们可以

(4.9)
(六)证券价格自然对数变化过程

2 f 1 f 1 f 令 f ln S ，由于 , 2 2 , 0 S S S S t 代入式（4.9）

2 证券价格对数f遵循普通布朗运动,且
பைடு நூலகம்
df (
2
)dt dz
（4.10）
ln ST ln S ~ [(
2，风险中性定价原理

假设所有投资者都是风险中性的，那么所有现金流 量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。

尽管风险中性假定仅仅是为了求解B-S微分方程而 作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不 仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌 恶风险的所有情况。
(二)B-S期权定价公式

在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（T 时刻）的期望值为： E[max( ST