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设其所包围的空间区域为 ，
体积为 V 。当 收缩到 M， V 0 时，
若极限 lim A• dS V 存在，
V 0 S
则称此极限值为矢量场 A （M）在点 M 处的散度。
记作 divA 。
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根据散度的定义，
divA 与所取 V 的形状无关，
以观察点 M x, y, z 为中心
作一小平行六面体 ，
其三个边长分别为 2x, 2y, 2z 。 计算各表面穿出的 A 的通量。
设穿入表的通量为 负，穿出的通量为正。
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场矢量与曲面法线方向
d 时， d 0 矢量与曲面法线方向夹角为钝角时， d 0 矢量与曲面法线方向垂直时， d 0
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若 S 是闭合曲面,法线方向朝外，有
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从平行六面体六个面上穿出的净通量为
A • dS 8(Ax Ay Az )xyz
x y z
六面体的体积 V 8xyz ，所以
A• dS
s
Ax Ay Az
V
x y z
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因此，由散度的定义
A• dS
divA lim s V 0 V
1.4 矢量场的通量和散度
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1． 矢量场的通量
选取一曲面 S
取定其中的任一侧作为曲面的正侧 闭合曲面取外侧为正侧 曲面的法线方向 曲面上取一点 M
面元 dS 法向矢量 en
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则称此场为无“源”场，或称为无散场。 这里 “源”是指能够发出 或吸收矢量线的源， 与一般意义上的场源不完全相同。
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3．散度的计算
在直角坐标系中， 若矢量场
A Ax (x, y, z)ex Ay (x, y, z)ey Az (x, y, z)ez 的分量 Ax , Ay , Az 有一阶连续偏导数， 可求 A 在任一点 M 处的散度。
( Ay Ay y)4xz ( Ay Ay y)4xz
y
y
Ay 8xyz y
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从上、下一对表面穿出的净通量为
( Az
Az z
z)4xy
( Az
Az z
z)4xy
Az 8xyz z
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q
4 R2
S
er
• dS
q
dS q 4 R2 q
4 R2 S
4 R2
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2．散度的定义
通量：场矢量发散 的整体情况 分析一点附近情况 ， 将闭合面缩小到一 点上 引入矢量场的散度 概念
设有矢量场函数 A （M）， 在场中作包围点 M 的闭曲面 S
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矢量 A（M）穿过面元的通量定义为
d=AndS A • endS A • dS
矢量场 A（M）穿过曲面 S 的通量定义为
AndS A• endS A• dS
S
S
S
式中： dS dSen
通量是一个标量
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用散度概念可分析 矢量场中一点的情况。
在 M 点，divA 0，表明 M 点有正“源”； divA 0，表明 M 点有负“源”。 divA 的正值越大，发散量越大； divA 为负值，其绝对值越大，
吸收量越大。
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divA 0，表明该点无“源”。 如果在场中处处有 divA 0，
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A• dS
divA = lim S V 0 V
散度运算是分析矢 量场的工具 矢量的散度是描述 矢量场中任一点发散性质的量。 矢量的散度是标量 。 散度就是通量的体 密度，
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矢量 A 的散度形成一标量场， 叫做矢量场 A 的散度场。
er 是从点电荷 q 指向场点 M 的单位矢量。
设 S 为以点电荷为中心， R 为半径的球面， 求从球内穿出 S 的电通量 。
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解 在球面 S 上恒有 r R ，
且 er 与球面的法向单位矢量 en 的方向一致，所以
S
D • dS
Dxex D y ey Dzez
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于是有
Dx q r 2 3x2 ， x 4 r5 Dy q r 2 3y2 ， y 4 r5 Dz q r 2 3z2 z 4 r5
得直角坐标系中散度的计算公式
divA Ax Ay Az x y z
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例 求点电荷 q 产生的静电场中，
场矢量
D
q 4r 2
er
在 r 0 的任何一点 M 处的散度 divD 。
解
q
D 4 r3 (xex yey zez )
AndS A•dS
S
S
若 0 ，表示散出闭合面的通量
大于流入的通量，
若 0 ，表示流入闭合面的通量
大于散出的通量，
若 0 ，表示散出和流入平衡 连续
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例 在点电荷 q 产生的电场中，
场矢量
D
q 4r 2
er
。
其中 r 是点电荷 q 到场点 M 的距离，
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在 M 点附近，将矢量函数 A
展开成泰勒级数并忽略高阶项。 从前、后一对表面穿出的净通量为
( Ax
Ax x
x)4yz
( Ax
Ax x
x)4yz
Ax 8xyz x
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从左、右一对表面穿出的净通量为