—— 标量三重积 —— 矢量三重积
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。
三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正 交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为 坐标变量。
在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐 标系、圆柱坐标系和球坐标系。
标量：一个只用大小描述的物理量。
矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字
母或带箭头的字母表示。
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的代数表示：
A
eA A
eA
A
矢量的大小或模： A A
A
矢量的单位矢量：
eA
A A
常矢量：大小和方向均不变的矢量。
注意：单位矢量不一定是常矢量。
坐标单位矢量
rrr e ,e ,ez
z
z （平面） 0
P(0,0, z0)
0
（圆柱面）
0（半平面）
圆柱坐标系
位置矢量
rr er erzz
线元矢量
r dl
r e
d
r e
d
r ezdz
面元矢量
r dS
er dl dlz
er ddz
r dS
r e dl dlz
r e
d
dz
r dSz
r ez dl dl
1. 直角坐标系
坐标变量 x, y, z
坐标单位矢量
ex , ey , ez
z
z
z 0
（平面）
ez
P
ey
ex
点 P(x0,y0,z0)
o
y
y y 0 （平面）
x
x x 0 （平面）
直角坐标系
位置矢量
r
ex
x
ey
y
ez
z
线元矢量
r dl
erxdx
ery
dy
erzdz
面元矢量
r dSx
电磁场理论
课程性质
电磁场理论是高等学校理工科电子类或信息 类专业必修的一门专业基础理论课，其任 务是介绍宏观电磁场和电磁波的基本规律， 基本性质、基本分析方法和基本工程应用。
课程特点 1、基础知识广 2、课程系统性强 3、推导和计算难 4、概念多且抽象
课程学习目的
通过学习要求学生能完整地理解和掌握宏观 电磁场的基本性质和基本规律，对电子信 息工程中的电磁现象和电磁场问题能用场 的观点进行分析和计算。课程考核重要考 查学生是否掌握电磁场与电磁波的基础理 论、基本知识及简单的分析应用。
2、熟练掌握直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。
3、矢量场的散度和旋度、标量场的梯度是矢量分析 中最基本的概念，应深刻理解；掌握散度、旋度 和梯度的计算公式和方法。
4、散度定理和斯托克斯定理是矢量分析中的两个重 要定理，应熟练掌握和应用。
5、理解亥姆霍兹定理的重要意义。
1. 标量和矢量
1.1 矢量代数
边的平行四边形的对角线,如图所示。
在直角坐标系中两矢量的加法和减法：
A B
A
矢量的加法
A
B
ex
(
Ax
Bx
)
ey
(
Ay
By
)
ez
(
Az
Bz
)
矢量的加减符合交换律和结合律
交换律
rr rr AB B A
结合律
r rr rr r A (B C) (A B) C
B
A
AB
B
矢量的减法
A B B A
若
A
B
，则
A B AB
若
A //
B
，则
AB 0
A B
B
AB sin
A
矢量A 与B 的叉积
（5）矢量的混合运算
( A B) C AC B C —— 分配律
( A B) C A C B C —— 分配律
A (B C) B (C A) C ( A B) A (B C) ( AC)B ( A B)C
er
e
e
e
sin cos
0
ey
sin cos
0
e
0 0 1
ez 0 0
1
ez
矢量的几何表示
z
矢量用坐标分量表示
ALeabharlann ex AxeyAy
ez
Az
Ax A cos Ay A cos
Az
A
Ay
Ax O
y
x
Az A cos
A
A(ex
cos
ey
cos
ez
cos
)
eA ex cos ey cos ez cos
2. 矢量的代数运算
（1）矢量的加减法
B
两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻
r ez
d
d
体积元
dV dddz
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
3. 球坐标系 坐标变量
r,,
（圆锥面） 0
r
（球面）
r0
P(r0,0,0 )
坐标单位矢量
rrr er , e , e
（半平面） 0
球坐标系
位置矢量
rr errr
线元矢量
r dl
r erdr
er rd
er rsin d
面元矢量
（2）标量乘矢量
kA
exkAx
eykAy
ez k Az
（3）矢量的标积（点积）
A B ABcos AxBx AyBy Az Bz
AB B A
——矢量的标积符合交换律
B
A
矢量
A与
B
的夹角
AB
A B 0 A// B
A B AB
ex ey ey ez ez ex 0
本章内容
1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流与旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
学习基本要求
1、理解标量场与矢量场的概念；了解标量场的等值 面和矢量场的矢量线的概念。
ex ex ey ey ez ez 1
（4）矢量的矢积（叉积）
A
B
en
ABsin
遵循右手螺旋法则
用坐标分量表示为
A
B
ex
(
Ay
Bz
Az
By
)
ey
(
Az
Bx
Ax
Bz
)
ez
( Ax
By
Ay
Bx
)
写成行列式形式为
ex ey ez A B Ax Ay Az
Bx By Bz
r dSr
err dl dl
errr2sindd
r dS
r e
dlr
dl
erzrsindrd
r dS
r edlrdl
errdrd
体积元
dV r2sindrdd
球坐标系中的线元、面元和体积元
4. 坐标单位矢量之间的关系
直角坐标与 圆柱坐标系
eeez
ex
cos sin
0
圆柱坐标与 球坐标系
erxdlydlz
erxdydz
r dSy
r eydlxdlz
r eydxdz
r dSz
erzdlxdly
erzdxdy
z dSz ezdxdy
dz
dS y
eydxdz
dx
o
dy
dSx
exdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
体积元
dV dxdydz
2. 圆柱坐标系 坐标变量
,, z