2010高考数学复习详细资料（精品）——函数与方程
知识清单：
1．函数的最值的定义：函数y=f (y )，定义域为A ，若存在y 0∈A ，使得对任意的y ∈A ，恒有)()(0x f x f ≥))()((0x f x f ≤成立，则称)(0x f 为函数的最小（大）值。

2.求函数最值的方法（求最值与求值域一般相同,最值问题更具综合性和灵活性）
（1）配方法：用于二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的最值问题；
（2）判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的最值,但必须检验这个最值在定义域内有相应的x 的值；
（3）不等式法：利用平均不等式求最值,注意一正二定三等；
（4）换元法:通过变量代换,化繁为简,化难为易,化未知为已知,其中三角代换是重要方法。

换元后须注意新变量的取值范围；
（5）数形结合法(图象法)：当一个函数图象可作时，通过图象可求其最值；
（6）单调性法：利用函数的单调性求最值；
（7）求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值.
3．解应用题的一般程序
(1)审题：阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础.
(2)建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,正确进行建“模”是关键的一关。

(3)求解：求解数学模型，得到数学结论，要充分注重数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程。

(4)作答：将数学结论还原给实际问题的过程。

4．常见函数模型
(1)二次函数型。

(2) “对钩函数”a y x x =+
型 (3) 分段函数模型。

(4) y=N (1+p)y 型及数列型
课前预习
1.函数f （y ）=
)1(11x x --的最大值是 ( ) A .54
B .45
C .43
D .3
4
2．如果0<a <1,0<x ≤y<1，且lo g a x ·lo g a y=1，则x y （ ）
A ．有最大值，也有最小值
B ．无最大值，但有最小值
C ．有最大值，但无最小值
D ．无最大值也无最小值
3．如果实数x 、y 满足(x －2)2+y 2=3，那么
x y 的最大值是 （ ） A ．21
B ．33
C ．2
3 D ．3 4.东方旅社有100张普通客床，每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出，若每床每夜收费提高2元，便减少10张床租出，再提高2元，又再减少10张床租出，依此变化下去，为了投资少而获利大，每床每夜应提高租金（ ）
A ．4元
B 、6元
C 、4元或6元
D 、8元
5．设不等式2x －1>m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立。

则x 的取值范围是 。

6．若11122=-+-x y y x ，则y +y 的最小值是_____________. 7 一批货物随17列货车从A 市以V 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于(
20
V )2千米 ，那么这批物资全部运到B 市，最快需要_________小时(不计货车的车身长) 典型例题
例1．已知函数f (x )=x
a x x ++22, x ∈［1,+∞) (1)当a =2
1时，求函数f (x )的最小值 (2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围
例2．某农产品去年各季度的市场价格如下表：
季度每担售价(单位:元)195.5200.5204.5199.5第一
季度第二季度
第三季度第四季度
今年某公司计划按去年各季度市场价的“最佳近似值m ”（m 是与上表中各售价差的平方和取最小值时的值）收购该种农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将税率降低x 个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点。

（1）根据题中条件填空，m = （元/担）
（2）写出税收y （万元）与x 的函数关系式；
（3）若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围。

例3．某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有旧墙一面，其长14m ,现准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为126m 2的厂房，工程条件：（1）修1m 旧墙的费用是建1m 新墙的费用的25%，（2）用拆去1m 旧墙的材料建1m 新墙，其费用是建1m 新墙费用的50%，（3）建门窗的费用与建新墙的费用相同，问：如何利用旧墙才能使建墙费用最低？
例4．某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边A 处的救生员发现海中B 处有人求救，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海中的行进速度2米/秒,在AD 上找一落点C ，使救生员从A 到B 的时间最短，并求出最短时间。

实战训练
1．若函数1()21
x f x =+, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( ) (A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值
(C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值
2.（04湖北）函数f (x )=a 2+log a (x +1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ ）
A ．41
B ．21
C ．2
D ．4
3. 设x 1、x 2为方程4x 2－4mx +m +2=0的两个实根， x 12+x 22的最小值为( ) A.1716
- B. 21 C.-m 2+m +2 D.1 4.(06天津)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨．
5．若x 、y ∈R ，且x 2+y 2=1，则（1－xy ）(1+xy)的最小值是______，最大值是_____ .
6.某工厂八年来某种产品总产量c 与时间t （年）的函数如图所示，下列四种说法：
（1）前三年中产量增长的速度越来越快；
（2）前三年中产量增长的速度越来越慢；
（3）第三年后，这种产品停止生产；
（4）第三年后，年产量保持不变，
其中说法正确的序号是____.
7．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据下：
220x x x +--= A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5
8．定义运算a ⊕b=⎩⎨⎧>≤)
()(b a b b a a ，则函数f(x)=1⊕2x
的图象是（ ）。

9．如图2所示，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是
8+-=x y ，则()5f = ，()5f '= ． 10．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满
液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形
漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t （分）的函数关系表示的图象只可能
是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
11. 利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
2x =A.（0.6，1.0） B. （1.4，1.8）C.（1.8，2.2） D. （2.6，3.0）
12.设m 是实数，记M ={m |m >1},f (x )=log 3(x 2－4mx +4m 2+m +
11-m ) A B C
(1)证明:当m ∈M 时，f (x )对所有实数都有意义；反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则m ∈M
(2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值
(3)求证:对每个m ∈M ,函数f (x )的最小值都不小于1
13.某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3 min 以内收费0.2元，超过3 min 的部分为每分钟收费0.1元，不足1 min 按1 min 计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1 min 以内、1到2 min 以内、2到3 min 以内、3到4 min 以内的次数之比为4∶3∶1∶1.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m 到m +1 min 以内指含m min ，而不含m +1 min ）
14．某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a 元（a 为常数，2≤a ≤5 ）的税收.设每件产品的售价为x 元(35≤x ≤41),根据市场调查,日销售量与x e (e 为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件。

（Ⅰ）求该商店的日利润L （x ）元与每件产品的日售价x 元的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L （x ）最大，并求出L （x ）最大值。

15．已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损
2
A 元，故厂方希望定出合适的日产量．
（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？。