第二讲 平方根及算数平方根【考纲要求】掌握平方根及算数平方根的概念及运算 【教学重难点】1.平方根、算术平方根的概念，体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别，掌握它的表示方法；2.平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根. 【重难点命题方向】（一）什么是平方根？【例1】问题1 要剪出一块面积为25 cm 2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？问题2 已知圆的面积是16πcm 2，求圆的半径长．★ 反思与小结：以上两个具体例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题： 已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x 2＝a ，求x 的值．概括 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（也叫a 的二次方根）， 【举一反三】： 的平方=49,所以49的平方根是 的平方=1.21,所以1.21的平方根是 的平方=2536,所以2536的平方根是建议:同学们把1—20的平方数记熟，以便求它们的平方根.211= , 212= ,213= ,214= ,215= ,216= , 217= ,218= ,219= ,220= ,（二）平方根有什么性质呢?【例2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它们的平方根：①100；②0.64；③0；④-1归纳平方根的性质：一个正数有 个平方根，它们 ；0有 个平方根，它是 ；负数 平方根． 【举一反三】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由．(1)－64；(2)0；(3)(－4)2．★反思与小结：学习平方根，必须考虑两个问题：一个数有没有平方根？有几个？同学们常在这两个问题上犯错误，其一错在：求一个正数的平方根时，只计算出了正的平方根；其二错在：误认为负数有平方根且是一个负数。
（三）一个非负数a 的平方根的表示法．一个非负数a 的平方根的表示法．记作“2a ±”．这里，符号“2”，读作“二次根号”，“2a ”读作“二次根号a ”．当根指数是2时，通常将这个2省略不写，如2a 记作a ，读作“根号a ”；2a ±记作a ±，读作“正负根号a ”．一般地，如果x 2＝a (a ≥0)，那么a 的平方根可以表示为x =a ±．例如，9的平方根记作9±，读作正负根号9．（四）求一个数的平方根——开平方运算求一个数a (a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方．平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根． 【例3】列式求下列各数的平方根：0.0001； 179； （–16）2，， 144121， 15， 0.64， 410-， 0)65(．解答：★反思与小结：求一个数的平方根时，根号前的“±”号一定要写，它是区别平方根和算术平方根的主要特征．另外，需注意（1）求带分数的平方根时，要将带分数先化成假分数．（2）注意区分(–a )2与–a 2（a ≠0），(–a )2的平方根是±a ，而–a 2是一个负数，它没有平方根．【例4】针对训练：（1）4的平方根是（ ）A ． 2B ．16C ．2±D ．±16（2）若3＋a 是25的平方根，則a 是（ ）的平方根．(A) 4 (B) 8 (C) 4或64 (D) 8或64反思与小结：因为过去学到的运算其结果都是惟一的，所以刚开始接触平方根时，大家对于一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，不大习惯．而本例的解决过程中连续两次用到平方根的意义，稍不注意便会出错，多数会错在仅得到a 的一个值，致使误选成A ．（五）什么是算术平方根？正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根．记作a ，读作“a 的算术平方根”．那么0的算术平方根是 ；负数的算术平方根【例5】下列说法正确的是（ ）．（A ）91-的算术平方根是31 （B ）91-的平方根是31-（C ）91的算术平方根是31- （D ）91的平方根是31±★反思与小结：对于平方根和算术平方根的理解误区有两个，其一是认为任何数都有平方根；其二是将平方根和算术平方根混淆，实际上平方根与算术平方根是既有区别又有联系的两个概念，区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有1个；联系在于正数的负平方根是它算术平方根的相反数．【举一反三】求下列各数的算术平方根：(1) 36 ； (2) 2.89 ； (3) 971．（4）81 (六)针对练习:【例6】(1)求下列各式的值，并说明它们各表示的意义：(2)一个自然数算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）A ．1a +B ．21a +C ．21a +D ．1a +（3）化简：16＝ ． （4）（2017黔西南州）的平方根是 ．★反思与小结：弄清上面各式的意义： a （a >0）表示a 的算术平方根，而–a （a >0）表示a 的负的平方根，±a 则为正数a 的两个平方根。
【例7】若将三个数11,7,3-表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________________．【例8】（1）满足2-＜x ＜5的整数x 是 ；【点拨】先对2-和5估算．（2）估算31－2的值（ ）A ．在1和2之间B ．在2和3之间C ．在3和4之间D ．在4和5之间 （3）（2017湖北宜昌）在﹣2，0，3，这四个数中，最大的数是（ ）54321-1-2A ． ﹣2B ． 0C ． 3D ．【例9】（2017年济宁市)若0)3(12=++-+y y x ，则y x -的值为A ．1B ．－1C ．7D ．－7【点拨】两个非负数的和为0，可以得到什么结论？（2）若()22340a b c -+-+-=，则=+-c b a ． （3）（2017巴中）若直角三角形的两直角边长为a 、b ，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ．【反思与小结】绝对值、平方数、算术平方根是初中阶段最常用的几个非负数．它们的共同点是非负性。
【例10】（1）（2017聊城）如右图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数是3和-1，则点C 所对应的实数是（ ）A. 1+3B. 2+3C. 23-1D. 23+1反思与小结：根据实数与数轴上的点“一一对应”及点对称的性质即可解决问题.注意容易分析失误而选A 情形.（2）（2017黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ） A ． 5B ．C ．D ． 5或以下题目视学生能力选作 【例11】1．已知ａ、ｂ满足()0111=---+b b a ，求ａ2011－ｂ2012的值．2．已知x 、y 是实数， 096432=+-++y y x ，若y x axy =-3，则a= ．3．方程0185=++-+y y x 的解是 ．【积累小结】正确地理解平方根的概念是求平方根的关键; 求一个数的平方根或算术平方根时,•常常根据平方运算及开平方运算的互逆关系,利用平方运算求出这个数的平方根.突出了数学知识的逆向思维的训练以及思维严谨的训练，即渗透了分类的数学思想。
另外，估算的思想方法同样是很重要的，要熟练掌握它．【基础限时训练】1．121的平方根是＿＿＿＿，算术平方根＿＿＿＿＿． 2． 4.9×103的算术平方根是＿＿＿＿＿＿．3．（－2）2的平方根是＿＿＿＿＿，算术平方根是＿＿＿＿． 4．－3是＿＿＿＿的平方根． 5．若4ｘ2－25＝0，则ｘ＝＿＿＿＿＿．6．下列说法正确的是（ ）A ．－5是（－5）2的算术平方根 B ．16的平方根是±4 C ．2是－4的算术平方根 D ．－4-＝2 7．下列语句正确的是（ ）A ．一个数的平方根一定有两个B ．一个正数的平方根一定是它的算术平方根C ．算术平方根是它本身的数只有0D ．一个非负数的非负平方根一定是它的算术平方根 8.以下列语句及写成的式子正确的是（ ）A ．8是64的平方根，64＝8B ．8是（－8）2的算术平方根，即()28-＝8C ．±8是64的平方根，即864=±D ．±8是64的平方根，即±=648【拔高限时训练】1．下列命题中，①9的平方根是3；②－3是9的平方根；③36的平方根是±6；④（－2）2的平方根是－2；⑤一个数的平方根等于它的算术平方根，则这个数是0．其中正确的个数有（ ）A ， 1B ， 2C ， 3D ， 4 2．若一个正数的算术平方根是ａ，则比这个数大3的正数的平方根是（ ）A ，32+a B ， －32+a C ， ±32+a D ， ±3+a3．已知：3-+b a ＝0，则ab 的平方根是（ ）A ， 0B ， 1C ， 2D ， 3 4．已知a -有意义，则a 一定是（ ）A ，负数B ，正数C ，非负数D ，非正数5．已知两个正方形的面积之和为468，面积之差为180，求这两个正方形的边长． 6．比较327-与31的大小．【课后作业】 （以本节重点知识复习为主，10-15题最好，下节课一开始对答案。
） 116__________．2．如图，在数轴上点A 和点B 之间表示整数的点有_____个． 3．比较65__________． 4.若()22340a b c ---=，则=+-c b a ． 5.以下列语句及写成的式子正确的是（ ）A ．8是64的平方根，64＝8B ．8是（－8）2的算术平方根，即()28-＝8C ．±8是64的平方根，即864=±D ．±8是64的平方根，即±=6486.若将三个数11,7,3-表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________________．543210-1-2。