高等代数例题第一章 多项式1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有231x mx x px q +-++2．45P 7 设32()(1)22f x x t x x u =++++，3()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求t 、u 的值。

3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3x px q ++有重根的条件。

5．46P 24 证明：如果(1)()nx f x -，那么(1)()nnx f x -6．46P 25 证明：如果23312(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1nx -在复数域内和实数域内的因式分解。

8．46P 28 （4）多项式1px px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。

求证：11((),())((),())f x g x f x g x =。

10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的一个最小公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ； （2）()f x ，()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。

我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最小公倍式。

证明：如果()f x ，()g x 的首项系数都为1，那么()()[(),()]((),())f xg x f x g x f x g x =。

11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2mn f x xx =+-所得余式为 。

12． 求证：如果()d x |()f x ，()d x |()g x ，且()d x 是()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式。

13． 1434141)g( , 21212321)(23423456-+--=+--+--=x x x x x x x x x x x x f 求())(),(x g x f 。

14． 设22()(1)21mn f x x x x =+--- (m ,n 是正整数),2()g x x x =+ 。

证：()g x |()f x 。

第二章 行列式1．96P 5 如果排列121n n x x x x - 的逆序数为k ，排列121n n x x x x - 的逆序数是多少？2．97P 8 （3）00100200100000n n-3．97P 10 按行列式的定义计算 212111()321111xx x f x xx-=4．97P 12 设 21211112111111()1n n n n n n x x x a a a P x a a a ------=，其中121,,,n a a a - 是互不相同的数。

（1）由行列式的定义，说明()P x 是一个(1)n -次多项式； （2）由行列式性质，求()P x 的根。

5．98P 14 1111111112222222222b cc a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++6．99P 17 （5）1234211100000022000000002200011n n n n nn n--------7．100P 18 （3）证明11000100010001n n αβαβαβαβαβαβαβαβ++++-=+-+，其中αβ≠8．100P 18 （5）1231211111111111111111(1)11111nn i ina a a a a a a a =+++=++∑，其中120n a a a ≠ 。

9．设1α、2α、3α为三维列向量，三阶矩阵123()A ααα=的行列式A =5，则行列式112123()()()αααααα+++ = 。

10．若四阶行列式D 的第二列的元素依次是1- ，2 ，0 ，1 ，它们的余子式分别为5 ，3 ，7- ,4 ，则D = 。

11． 若()f x =212322212223333245354435743x x x x x x x x x x x x xx x x ---------------，则()f x =0的根的个数为 【 】(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 412．计算行列式D n =123123123123n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλ++++13．求 D n +1 =ba a a a a a a a nn321321100010000100001 的值。

14．计算n 阶行列式2100000121000001210000000121012n D -----=---第三章 线性方程组1．154P 7 （3）解线性方程组12342341242342344331733x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-++=-⎩2．155P 6 设123,,ααα线性无关，证明12αα+，23αα+，31αα+也线性无关。

3．155P 8 设12,,,s ααα 的秩为r ，12,,,r i i i ααα 是12,,,s ααα 中的r 个向量，使得12,,,s ααα 中的每个向量都可以被它们线性表示，证明12,,,r i i i ααα 是12,,,s ααα 的一个极大线性无关组。

4．156P 12 证明：如果向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示，那么（Ⅰ）的秩不超过（Ⅱ）的秩。

5．157P 19 （1） λ取什么值时下列线性方程组有解，并求解：12311121111x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 6．157P 22 ,a b 取什么值时，线性方程组1234512345234512345132322635433x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x b++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩有解？在有解的情形，求一般解。

7．159P 1 设向量β可以经向量组12,,,r ααα 线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是12,,,r ααα 线性无关。

8．159P 4 已知两向量组有相同的秩，且其中之一可被另一个线性表示，证明：这两个向量组等价。

9．159P 7 线性方程组111122121122221,111,221,000n n n nn n n n na x a x a x a xa x a x a x a x a x ---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数矩阵为11121212221,11,21,n n n n n n a a a a a a A a a a ---⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 设i M 是矩阵A 中划去第i 列剩下的(1)(1)n n -⨯-矩阵的行列式。

（1） 证明：112(,,,(1))n n M M M --- 是方程组的一个解；（2） 如果A 的秩为1n -，那么方程组的解全是112(,,,(1))n n M M M --- 的倍数。

10．求1α, 2α, 3α,4α 的一个极大线性无关组，并将其它向量用极大线性无关组线性表示： )4,3,2,0,1(1-=α ，)24,15,10,1,6(2-=α, )34,0,12,1,7(3-=α, )1,0,6,4,1(4--=α 11．设四()11,2,0α=，2(1,2,3)a a α=+-，3(1,22)b a b α=---+，(1,3,3)β=-。

讨论a 、b 为何值时（1） β不能由1α,2α,3α 线性表示；（2） β可由1α,2α,3α 唯一地线性表示，并求出表示式；（3） β可由1α,2α,3α 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。

12．维向量,23201⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32112α是非齐次线性方程组AX =B 的两个解， 则导出组AX =0的一个非零解为 。

13．设1α,2α,…，s α是齐次线性方程组0AX =的基础解系，向量β不是0AX =的解，即0A β≠。

证明：β，1βα+，2βα+，…，s βα+线性无关。

14．若12,,,s γγγ 是非齐次线性方程组AX β=（0β≠）的s 个解，则1122s s t t t γγγ+++ 是AX β= 的解的充要条件是121s t t t +++= ． 15． 设整系数方程组1nijj i j ax b ==∑，1,2,,i n = ，对任何1b ，2b ，…，n b 均有整数解。

求证：方程组的系数矩阵()ij A a =可逆，且1A =±．第四章 矩阵1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为 【 】(A) 010100101⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ (B)010101001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 010100011⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D) 011100001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2．设n （2n >）阶非奇异矩阵A 的伴随矩阵是A *，则 【 】(A) ()A **=1n AA - (B) ()A ** =1n AA + (C) ()A ** =2n AA - (D) ()A ** =2n AA +3．设n 阶矩阵A 与B 等价（即A 经初等变换可变为B ），则必须 【 】 (A) 当(0)A a a =≠时，B a = (B) 当(0)A a a =≠时，B a =- (C) 当0A ≠时，0B = (D) 当0A =时，0B = 4．设A 为三阶方阵,|A |a =；B 为二阶方阵,|B |b = (,a b 都不等于零),则B3002A 等于 【 】(A) 6ab - (B) 6ab (C) 72ab - (D) 72ab5．设A 、B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则 【 】 (A) 当m n >时，必有0AB ≠ (B) 当m n >时，必有0AB = (C) 当n m >时，必有0AB ≠ (D) 当n m >时，必有0AB =6．设A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是 【 】 (A) BA AB - (B) 2)(AB (C) BA AB + (D) B A B7．设A 、B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵，则必有 【 】 (A) A 的列向量线性相关，B 的行向量线性相关 (B) A 的列向量线性相关，B 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性相关，B 的行向量线性相关 (D) A 的行向量线性相关，B 的列向量线性相关8．设α为3维列向量，若111111111αα-⎛⎫⎪'=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则αα'= 。