第5章 机械振动
1.简谐运动的表达式： x Acos(t )
三个特征量：振幅 A、角频率 、初相 。
2.简谐运动的微分学方程：
d2 dt
x
2
+

2
x
=
0
3.初始条件决定振幅和初相：
A=
x02

02 2
= arctan( 0 ) x0
4.简谐振动的旋转矢量表示：方法简单、直观，用 于判断简谐运动的初相及相位,分析振动的合成问题。
T3
4


3
4
x Acos(2 t 3 )
T4
2.有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9cm,用 这个弹簧和一个质量为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡 位置向下拉开1.0cm后 ，给予向上的初速度5.0cm/s-1，求振动周 期和振动表达式。
解: (1)由题知 ：
cos(2t




6
)m, x2
( 5
0.3cos(2t
)

5 6

)m
66
A合 A1 A2 0.1m
tan A1 sin1 A2 sin2 3
A2 cos1 A2 cos2 3
6
故振动方程为 x 0.1cos(2t )m
5.几种常见的简谐振动模型：
➢ 弹簧振子；
= k
m
T = 2 m
k
➢ 单摆；
= g
l
T = 2 g
l
➢ 物理摆（复摆） = mgh T = 2 J
J
mgh
6.简谐运动的能量：
E

Ek

Ep

1 2
m(dx )2 dt

1 2
kx2

1 2
kA2
7.两个简谐振动的合成：
➢ 同一直线上两个同频率简谐振动的合成。 ➢ 同一直线上两个不同频率简谐振动的合成—“拍” 现象。 ➢ 两个相互垂直频率成整数倍简谐振动的合成—“利 萨如”图像。
6
第5章复习题
习 题P141：1、2、3、4、8、9、10 、 17．
2 102 m
tan 0


0 x0

5.010 2 1.0102 5
1,即0

5
4
,

4
0

0

0


4
从而可得：
x 2 102 cos(5t )m
4
3.图为两个谐振动的 x t 曲线，试分别写出其谐振动方
程．
解：由图(a)，∵ t 0 时， x 0 0,0 0,
π
π
A.
B.
6
2
2π
5π
C.
D.
3
6
答案： A
四、计算题
1.一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T， 其振动方程用余弦函数表示．如果t=0时质点的状态分别是： (1)x0=–A； (2)过平衡位置向正向运动； (3)过x=A/2处向负向运动； (4)过x A / 2 处向正向运动． 试求出相应的初位相，并写出振动方程．
解: 根据简谐运动的方程可得:
x00

A cos 0 Asin0
将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件 下的初位相．故有
1
2
32Fra bibliotekx Acos(2 t )
T
x Acos(2 t 3 )
T2
3


3
x Acos( 2 t )
k

m1g x1

1.0103 9.8 4.9 102

0.2
N m1

k m
0.2 8 103
5,即T

2
1.26s
取向下为正， 由
x00

A cos 0 Asin0
A
x02
( v0 )2


(1.0102 )2 (5.0 102 )2 5
Ａ．2 m
k
Ｂ．2
m 2k
Ｃ．2 2m
k
Ｄ． k m
答案：B
3.一弹簧振子的固有频率为，若将弹簧剪去一半，振子质量
也减半，组成新的弹簧振子，则新的弹簧振子的固有频率等
于 （）
A. B.
答案： D
2 C.
2
2 D. 2
4.有两个沿轴作简谐运动的质点，其频率、振幅相同，当第 一个质点自平衡位置向负方向运动时，第二个质点在 x A 处（ A为振幅）也向负方向运动，则两者的相位差为 （ ） 2
8.阻尼振动和受迫振动
➢ 三种阻尼振动 ➢ 受迫振动 ➢ 共振现象
一、填空题
补充例题
1．已知弹簧振子振动的角频率为ω，
振幅为A，t=0的状态如图所示，则其
振动方程是
。
答案： x Acos(t )
2
m ox0 = 0 x
2．从运动学的角度来说，简谐运动满足位移是时
间的
函数，即：
。
答案：余弦（或正弦）、
1.如图，长为l质量为m的均匀细杆，可绕距 端部l/3处的轴无摩擦地转动（假设转动的 角度很小），则细杆转动的频率为：
A．21
l 9g
Ｂ． 1 9g 2 l
1 2g
Ｃ．2 3l
Ｄ． 1 3g 2 2l
答案： D
2.两个劲度系数均为k的相同的轻质弹
簧，按如图组成一个振动系统，则它们
共同振动的周期为：
x Acos(t )或x Asin(t )
二、判断题
1．凡是受到大小与物体离开平衡位置位移成正比的力的 运动即是简谐运动。 答案： × 2．如图所示，球在光滑斜面的往 复运动是简谐运动。
答案： ×
3．弹簧振子在简谐驱动力持续作用下的稳态受迫振动 是简谐运动。
答案： √
三、选择题
0 A 10cm,T
3,
2
2s

2

T
rad s1
故：
xa

0.1cos(t

3 )m
2
同理可得： xb

0.1cos(5 t
6

5
3
)m
4.一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方
程如下，求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。
x1
解：
0.4