3
即原方程的通解为
y

C1e x

C2e3x

x

1 3
.
17
例5 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解 .
解 特征方程 2 3 2 0 ,
特征根 1 1，2 2 ，
对应齐次方程通解 Y C1ex C2e2x .
2是单根，
定理2 设 y ( x) 是方程(1)的一个特解, Y ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
y Y y .
11
三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x) (1)
对应齐次方程 y ay by 0 (2)
定理2 设 y ( x) 是方程(1)的一个特解, Y ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
因为 r 0, 2 , r i 2i 不是特征根,故设特解为
x2Qm ( x)， 是二重特征根
然后将y 代入原方程，或根据恒等式(*)来确定 Q( x) ,从而得到特解 y .
若
f
(x)

Pm ( x)，可看成是 r

0
的特殊情形。
16
例4 求微分方程 y 2 y 3 y 3x 1 的通解.
解 特征方程 2 2 3 0
8
例1 求微分方程 y 2 y 3 y 0 的通解. 解 特征方程为 2 2 3 0
特征根为 1 1, 2 3
故所求通解为 y C1e x C2e3x 例2 求方程 y 2 y 5 y 0的通解.
解 特征方程为 2 2 5 0 解得 1，2 1 2i ,
代入原方程,得 A 1 , 即特解为 y 1 x 2e2x ,
2
2
此时原方程的通解为
y

(C1

C 2 x)e2x

1 2
x 2e2x
；
Q( x) Ax2 , Q Pm ( x) , 2A 1
21
y 4 y 4 y e x
2）若 2 , 则设特解为 y Ae x ,
故所求通解为 y e x (C1 cos 2x C2 sin2x)
9
例3
求微分
方
程
d2 dt
s
2

2
ds dt

s

0
满
足初始条件
s(0) 4, s(0) 2 的特解.
解 特征方程为 2 2 1 0 特征根为 1 2 1
故通解为 s (C1 C2t )et s(0) C1 4 , s (C2 C1 C2t)et ,
( y ) Q( x)erx 2Q( x)erx 2Q( x)erx 代入方程 y ay by f ( x) ,
整理并约去erx ,得 Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*)
13
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*)
其中 A, B是待定系数，
0 r i 不是特征根; k 1 r i 是特征根.
23
例8 求微分方程 y 2 y 2 y 10sin2x 的通解.
解 特征方程 2 2 2 0 , 特征根 1,2 1 i ，
对应齐次方程通解 Y e x (C1 cos x C2 sin x) .
因此(2)的通解为
y C1e1x C2e2x
5
情形2 若 0 , 则特征方程(3)有两个相等的实根
1,2


a 2
,
只得到方程(2)的一个特解 y1 e1x
,
需要求另一个特解 y2 ,使 y2 / y1 常数.
设 y2 / y1 u( x) , 即 y2 u( x)e1x ,
所以特解 y 1 x3e3x , 6
从而方程的通解为
y

(C1

C2 x)e3x

1 6
x 3e3x
.
19
例6 求微分方程 y 6 y 9 y x e3x 的通解.
解 特征方程 2 6 9 0 , 特征根 1,2 3 ，
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x)e3x . 因为 r 3 是二重特征根,
第三节 二阶常系数线性微分方程的解法
一、二阶常系数线性微分方程解的性质与通解的结构 二阶常系数线性微分方程的标准形式
y ay by f ( x) (1) 其中a,b是常数.
若 f ( x) 0 ,则称为二阶常系数非齐次线性微分方程,
若 f (x) 0 ,即方程 y ay by 0 (2)
于是(2)的通解为 y (C1 C2 x)e1x .
6
情形3 若 0 , 则特征方程(3)有一对共轭复根 1,2 i
可以证明, y1 ex cos x , y2 ex sin x
是(2)的解，且线性无关， 所以方程(2)的通解为
y ex (C1 cos x C2 sin x)
代入原方程 2)2
,
即特解为
y

(
1 2)2
e
x
,
此时原方程的通解为
y

(C1

C2
x)e2 x

(
1 2)2
e
x
.
22
2、f ( x) erx (M cos x N sin x) 型
可以证明,方程(1)具有如下形式的特解:
y xker x ( Acos x B sin x)
所以设特解为 y x2( Ax B)e2x ( Ax3 Bx2 )e2x ,
注意：实际计算时，只要将Q( x) Ax3 Bx2 代入
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) 现即 Q( x) Pm ( x) , 即得 6Ax 2B x .
代入方程(2),并约去 e1x ,得
u (21 a)u (12 a1 b)u 0 ,
因为 1 是方程 2 a b 0 的二重根,
故有 12 a1 b 0 , 21 a 0 ,
u 0 , 取特解 u x , 即得 y2 x e1x ,
s(0) C2 C1 2 , C2 2 , 所以所求特解为 s (4 2t)et .
10
三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x) (1)
对应齐次方程 y ay by 0 (2)
1、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个 解是(1)的解； 2、方程(1)的任意两个解之差是(2)的解 .
y xQm ( x)erx
14
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*)
情形3 若 r 是特征方程的二重根, 即 r2 ar b 0 ,
且 2r a 0 , 则令 Q( x) x2 Qm ( x) , 即
y x2Qm ( x)erx
称为二阶常系数齐次线性微分方程。
1
二阶常系数齐次线性方程解的性质 回顾
一阶齐次线性方程 y P( x) y 0 (1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质 y ay by 0 (2)
情形1 若 r 不是特征根, 即 r2 ar b 0 , 则可设 Q( x) 为次数与Pm ( x) 次数相同的多项式:
Q( x) Qm ( x) , 即 y Qm ( x)erx 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r2 ar b 0 ,
而 2r a 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
定理1 如果 y1( x), y2( x) 是方程(2)的两个解,则
y C1 y1( x) C2 y2( x)
也是(2)的解.
如果 y1( x) 常数(称线性无关), 则上式为(2)的通解. y2( x)
4
2 a b 0 (3)
记 a2 4b ,
情形1 若 0 , 则特征方程(3)有两个相异的实根
1,2

a 2
,
得到方程(2)的两个特解 y1 e1x ,y2 e2x ,
而 y1 ( x ) / y2 ( x ) e(1 2 ) x C , 故它们线性无关,
7
小结 y ay by 0 2 a b 0
特征根的情况
实根 r1 r2 实根 r1 r2
复根 r1,2 i
通解的表达式
y C1er1x C2er2 x y (C1 C2 x) er1x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
15
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*)
综上讨论 y ay by erx Pm ( x)
设特解为 y Q( x)erx ，
Qm ( x) ， 不是特征根 其中 Q( x) xQm ( x)， 是单特征根
所以设 y x( Ax B)e2x x( Ax2 Bx)e2x , 代入方程，
得 2A 2Ax B x A 1 ，B 1，