A1 B1 C1 A2 B2 C2
相交
K1≠K2
A1 B1 A2 B2
垂直
K1k2=-1
A1A2 B1B2 0
两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，
如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
1）、y1=y2
y
2）、x1=x2
y
P1•x1，y1 P2 •x2，y2
两点间的距离
➢复习回顾： 判断两条直线的位置关系有以下结论：
L1:y=k1x+b1
L1:A1X+B1Y+C1=0
L2:y=K2x+b2 （K1,k2均存在）
L2:A2X+B2Y+C2=0 （A1B1C1 ≠0 ,A2B2C2≠0）
平行 重合
K1=K2且b1≠b2 K1=K2且b1=b2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
举例
例2 已知点A(1, 2), B(2, 7),在x轴上求一点P, 使得 | PA || PB |,并求 | PA |的值.
解 ： 设P点 的 坐 标 为(a,0) | PA| (1 a)2 (2 0)2 4 (a 1)2
| PB | (2 a)2 ( 7 0)2 7 (2 a)2 | PA|| PB | 4 (a 1)2 7 (2 a)2 解 得 ：a 1 | PA| 4 (a 1)2 2 2
举例
例1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、C(0，-4),D(0，-1) (3)、P(6，0),Q(0，-2) (4)、M(2，1),N(5，-1)
解： (1) | AB | (2 6)2 (0 0)2 8
(2) | CD | (0 0)2 (1 4)2 3 (3) | PQ | (6 0)2 (0 2)2 2 10 (4) | MN | (2 5)2 (1 1)2 13
y
D(b,c) C(a+b,c)
o A(0,0) B(a,0) x
解题参考
DIY
2、证明直角三角形斜边的中点到三个 顶点的距离相等.
y
B (0,b)
M(
a 2
,b 2
)
o C(0,0)
A(a,0)x
解题参考
小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
| P1 P2 | ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
法二 ∵kAC＝2－6－－12＝54， kAB＝3－－3－ －12＝－45， ∴kAC·kAB＝－1，即 AB⊥AC. ∵|AB|＝ 3＋22＋－3－12＝ 41， |AC|＝ 2＋22＋6－12＝ 41， ∴|AB|＝|AC|， 因此△ABC 是等腰直角三角形．
规律方法 这类判断三角形、四边形形状的问题，证明方法通 常有以下两种： (1)利用两点间距离公式，考查边的长度特征(等腰、等边、满足 勾股定理的逆定理等)； (2)利用直线平行、垂直的判定方法，考查边的位置关系．
特别地, 原点O与任一点P( x, y)的距离 : | OP | x2 y2
练习
2、已知点A(7,-4) ，B(-5,6), 求线段AB的垂 直平分线的方程
解：设P点的坐标为(x, y) 由题意可得：| AP || BP | 得：(x-7)2 ( y 4)2 (x 5)2 ( y 6)2
化简得：6x-5y-1=0
DIY
1、证明平行四边形四条边的平方和等于 两条对角线的平方和.
[思路探索] 利用两点间的距离公式，求出三边长进行判断或利 用平行垂直关系加以判断．
解 法一 |AB|＝ 3＋22＋－3－12＝ 41， |AC|＝ 2＋22＋6－12＝ 41， 又|BC|＝ 3－22＋－3－62＝ 82， ∴( 41)2＋( 41)2＝( 82)2， 即|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， 因此△ABC 是等腰直角三角形．
练习1、已知点P的横坐标是7，点P与点 N(-1,5)间的距离等于10，求点P的纵坐标.
解：设P点的坐标为(7, b)
由题意可得： 10 (7 1)2 (b 5)2 解得：b 1或11 P点的纵坐标为 1或11
P(7,-1)或P(7,11)
【例 2】 已知△ABC 中，A(－2,1)，B(3，－3)，C(2,6)，试判 断△ABC 的形状．
y1
•P1 x1，y1
x1 o
x2 x
P1P2 =|x2 - x1 |
o
x
y2
•P2 x2，y2
P1P2 =|y2 - y1|
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ 点P1(x1,y1), P2(x2,y2), 如何求P1 P2的距离 | P1 P2 |呢?
y P1(x1,y1) Q(x2,y1)
P2 (x2,y2)
o
x
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
| P1P2 | ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
平面上两点间的距离
平面上两点
间的距离公式：
P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别地, 原点O与任一点P( x, y)的距离 : | OP | x2 y2