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解答
3.(2018·合肥质检)已知 a＝(sin x， 3cos x)，b＝(cos x，－cos x)，函数 f(x)
＝a·b＋
3 2.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
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解答
(2)若方程 f(x)＝13在(0，π)上的解为 x1，x2，求 cos(x1－x2)的值. 解 由条件知 sin2x1－π3＝sin2x2－3π＝13>0， 且 0<x1<51π2<x2<23π，(x1，f(x1))与(x2，f(x2))关于直线 x＝152π对称，
1234ห้องสมุดไป่ตู้6
解答
拓展冲刺练
6.(2017·山东淄博模拟)已知函数 f(x)＝ 3sin ωxcos ωx－cos2ωx＋12(ω>0)， 与 f(x)图象的对称轴 x＝π3相邻的 f(x)的零点为 x＝1π2. (1)讨论函数 f(x)在区间－1π2，51π2上的单调性；
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解答
(2)设△ABC 的内角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c 且 c＝ 3，f(C)＝1， 若向量 m＝(1，sin A)与向量 n＝(2，sin B)共线，求 a，b 的值.
解答
课时作业
基础保分练
1.已知函数 f(x)＝sinωx＋π6＋sinωx－π6－2cos2ω2x，x∈R(其中 ω>0). (1)求函数f(x)的值域；
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解答
(2)若函数 y＝f(x)的图象与直线 y＝－1 的两个相邻交点间的距离为π2，求函 数 y＝f(x)的单调递增区间.
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1＋2 ＝1－1×2＝－3，
所以
cos
A＝－
10 10 .
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解析 答案
3.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，
则
PA2＋PB2 PC2
等于
A.2
B.4
C.5
√D.10
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解析 答案
4.(2016·全国Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A＝45，
解答
题型二 解三角形 例2 (2017·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 sin(A＋C)＝8sin2B2 . (1)求cos B；
解答
(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.
解答
思维升华
根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有 关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确 的取舍.
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解析 答案
2.(2016·全国Ⅲ)在△ABC 中，B＝π4，BC 边上的高等于13BC，则 cos A 等于
A.3
10 10
B.
10 10
√C.－
10 10
D.－3
10 10
解析 设 BC 边上的高 AD 交 BC 于点 D，由题意 B＝π4，可知 BD＝13BC，
DC＝23BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tan A＝tan(∠BAD＋∠CAD)
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解答
(2)若A为△ABC的内角，f(A)＝4，BC＝3，求△ABC周长的最大值.
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解答
技能提升练
5.已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且 acos C＋ 3asin C－b－c＝0.
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(1)求A；
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解答
(2)若 AD 为 BC 边上的中线，cos B＝71，AD＝ 1229，求△ABC 的面积.
72＝b2＋32－2b×3×21， 解得b＝8或b＝－5(舍去).
所以△ABC
的面积
S＝21bcsin
A＝12×8×3×
3 2
＝6 3.
解答
题型三 三角函数和平面向量的综合应用
例3
已知向量a＝
sin
x，34，b＝(cos
x，－1).
(1)当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值；
解 因为a∥b，
则 x1＋x2＝56π， ∴cos(x1－x2)＝cosx1－56π－x1
＝cos2x1－56π＝cos2x1－3π－π2
＝sin2x1－π3＝13.
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解答
4.(2017·东北三省四市二模)已知点 P( 3，1)，Q(cos x，sin x)，O 为坐标原 点，函数 f(x)＝O→P·Q→P. (1)求函数f(x)的最小正周期；
解答
(2)函数f(x)的单调区间；
解答
(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心. 解 由 2x－π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得 x＝k2π＋51π2(k∈Z)， 所以函数 f(x)的对称轴方程为 x＝k2π＋51π2(k∈Z). 由 2x－π3＝kπ(k∈Z)，得 x＝k2π＋π6(k∈Z)， 所以函数 f(x)的对称中心为k2π＋π6，0(k∈Z).
解答
(2)若bcos C＋ccos B＝1，△ABC的周长为5，求b的长. 解 由余弦定理可知，
a2＋b2－c2 a2＋c2－b2 bcos C＋ccos B＝b· 2ab ＋c· 2ac ＝22aa2＝a＝1， 由(1)知ca＝ssiinn CA＝2，则 c＝2， 由周长a＋b＋c＝5，得b＝2.
跟踪训练1 已知函数f(x)＝5sin xcos x－5 3cos2x＋52 3 (其中x∈R)，求： (1)函数f(x)的最小正周期；
解 因为 f(x)＝52sin 2x－523(1＋cos 2x)＋523
＝512sin
2x－
3 2 cos
2x＝5sin2x－π3，
所以函数的最小正周期 T＝22π＝π.
高考中的三角函数与平面向量问题
内容索引
考点自测 题型分类 深度剖析 课时作业
考点自测
1.(2016·全国Ⅱ)若将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移1π2个单位长度，则平移
后图象的对称轴为
A.x＝k2π－π6(k∈Z)
√B.x＝k2π＋π6(k∈Z)
C.x＝k2π－1π2(k∈Z)
D.x＝k2π＋1π2(k∈Z)
解答
(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 再把得到的图象向左平移 π个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求
3 gπ6 的值.
解答
思维升华
三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝ sin t的图象求解.
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解答
cos
C＝153，a＝1，则
21 b＝___1_3____.
解析 在△ABC 中，由 cos A＝45，cos C＝153，
可得 sin A＝35，sin C＝1123， sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos A·sin C＝6653， 由正弦定理得 b＝assiinnAB＝1231.
解答
2.(2016·北京)在△ABC 中，a2＋c2＝b2＋ 2ac.
(1)求 B 的大小；
解 由 a2＋c2＝b2＋ 2ac，得 a2＋c2－b2＝ 2ac.
由余弦定理，得
cos
a2＋c2－b2 B＝ 2ac ＝
22aacc＝
2 2.
又 0＜B＜π，所以 B＝π4.
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解答
(2)求 2cos A＋cos C 的最大值.
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解析 答案
5M.若，函N分数别y＝是A这sin段(ω图x＋象φ的)最A>高0，点ω和>最0，低|φ点|<，π2在且一O→个M周·O→期N 内＝的0(O图为象坐如标图原所点示)， ， 则A＝___1_27_π___.
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解析 答案
题型分类 深度剖析
题型一 三角函数的图象和性质 例1 (2016·山东)设f(x)＝ 2 3sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间；
解答
思维升华
(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积 运算或性质转化成三角函数问题. (2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角 的范围对变形过程的影响.
跟踪训练3 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向 量m＝(cos A－2cos C,2c－a)，n＝(cos B，b)平行. (1)求ssiinn CA的值；
跟踪训练 2 (2017·北京)在△ABC 中，∠A＝60°，c＝37a. (1)求sin C的值； 解 在△ABC 中，因为∠A＝60°，c＝73a， 所以由正弦定理得 sin C＝csian A＝37× 23＝3143.
解答
(2)若a＝7，求△ABC的面积.
解 因为 a＝7，所以 c＝37×7＝3. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得
所以43cos x＋sin x＝0，
所以 tan x＝－34.
cos2x－sin
cos2x－2sin xcos 2x＝ sin2x＋cos2x
x＝11－＋2ttaann2xx＝85.
解答
(2)设函数 f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝ 3，b＝2，sin B＝ 36，求 f(x)＋4cos2A＋π6x∈0，π3的取值 范围.