例1、 质点沿 x 轴作直线运动，加速度a=2t 。t
=0时，x=1，v=0，求任意时刻质点的速度和位置。
解：质点作非匀加速的运动
a dv dt dv 2tdt
积分:
v
dv
t
2tdt
0
0
v t2
即有: dx t 2
x
dx
t t 2dt
dt
1
0
可得: x 1 1 t 3 3
这类问题要应用积分的方法来求，在计算上较为 复杂一些。
dv adt ,
vv0 dv
t adt
t0
dr vdt ,
rr0dr
t vdt
t0
r(t) 求导 vv(t) 求导 a(t)
积分
积分
质点在三维空间运动时，位矢、位移、速度、 加速度是三维矢量；在平面上运动时，是二维矢量； 沿直线运动时，是一维矢量，此时可以取轨道直线 为坐标轴，规定原点和坐标轴的正方向后，可用正 负号表示这些物理量的方向。

υ0

,

2 0

kx2
x 0 (舍去)
k
k
这类问题我们可以根据速度和加速度的定义用求
导的办法求出质点在任意时刻（或任意位置）时的速
度和加速度。
r rt
v dr dt
a dv d 2r dt dt2
第二类： 已知速度或加速度以及初始条件， (积分问题) 求质点运动方程。
初始条件---t=0（或t=t0）时刻质点运动的状 态值。
切向加速度：a

dv dt
法向加速度：an

v2

a at2 an2

nv
nv' v' v
讨论
当质点作直线运动时，ρ→∞，an→0
当质点作圆周运动时，ρ为圆轨道的半径 这时若 v 为常量，则 at = 0 ，
合加速度指向圆心。 称为向心加速度(centripetal acceleration ) 这时若 v 不为常量，则 at ≠ 0 ， 合加速度不指向圆心。

nv
nv' v' v
dv大方小向：：ndvv v d v 1
v' v
v
ar dv v v dv
dt
dt
dv大方小向：：ndvv v d
则
dv
dt

d
dt
nv

d ( ) nv dt

1

ds dt
nv

v

nv
ar dv v v2 nv dt
kx (k为正常数)。t = 0时, x = 0, v = v0 ，在什么位置质 点停止运动?
解： a d d dx d
dt dx dt dx
积分

x
d kxdx
0
0
可得
1 2
(
2
02
)


1 2
kx2
2 02 kx2
质点停止运动时 0 x
二.自然坐标系的运用
1.自然坐标系
有一类曲线运动是在已知轨道上进行的。
v
o nv
这类运动方程可表为： s s(t)
规定：切向单位矢量 v ， 指向运动方向
法向单位矢量 nv ， 指向轨道的凹侧
用这样一对正交的切向、法向单位矢量构成坐标 系统称为自然坐标系。
o
v
v
nv
nv
笛卡尔坐标系是静坐标系 自然坐标系是动坐标系
v 25 (15 10t)2
dv a dt
10(3) 2t 1 (3 2t)2
v2 1(m)
an
t=1s a 5 2(m/ s2)
例2：质点作半径为R的圆周运动，其速率满足v kRkt
为常数，求：切向加速度、法向加速度和加速度的大 小。
解： 切向加速度
dt dt
由微分法则
r a

dv
v

v
dv
dt

dt
第一分量 dv ˆ 纯由质点速率变化所致。
dt
第二分量v dv 是由 vr 的方向即 v 的变化所致。
dt
第二分量v dv 是由 vr 的方向即 v 的变化所致。
dt
其切向单位矢量v 由于方向的改变过渡到v, 。
增量 v是矢量，当 t 0 时， 其方向变得垂直于v ，且指向圆心。
R
dv at dt
R dω Rβ dt
an v2 R Rω2
3.匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动
1 匀速率圆a周t 运0动：速率avv和an角nv速r度2nv都为常量 .
2 匀变速率圆周运动
常量
如 t0 时, θθ0,ωω0
ωω0αt
θ
θ0ω0t
(v, nv)大小虽然不变，但它们的方向是变化的。
2.位矢、速度、加速度在自然坐标系的表示
（1） 运动方程： s s(t)
（2） 速度矢量： o
vr ds v vv
dt
v v v
nv
nv
（3） 加速度矢量：
ar dvr d (vv)
dt dt
ar dvr d (vv)
lim Δ s Δt 0 Δ t
=
lim
Δt 0
r
Δθ
Δt
v = rω
r Δs
Δθ
Δ s = rΔθ
角加速度(angular acceleration )
β
=
Δω Δt
β

lim
Δt 0
Δω Δt

dω dt

d 2
dt 2
（2）线量与角量关系
ds
R
d
x
O
ds Rd
v ds R dθ dt dt
例2、质点沿x轴作直线运动，速度v=1+2x，初始时刻 质点位于原点，求质点的位置和加速度。
解：

v

dx
1 2x
dt
x

dx
t
dt
0 1 2x 0
1 ln(1 2x) t 2
x 1 (e2t 1) 2
a
d2x dt 2
2e2t
例3、 质点沿x轴正向作直线运动，加速度a = -
由角坐标 确定；运动方程
可用角坐标表示。
(t)
r Δs

t 时间内，质点转过角度 ,
---- 角位移(angular displacement )
角速度(angular velocity )
ω
=
Δθ
Δt
B
Δθ A
lim d t0 t dt
0θ x

1αt 2
2
ω2 ω022α(θθ0)
对比匀变速率直线运动：
x x0 v t
x

x0

v0t

1 2
at 2
v v0 at
2


2 0

2a( x

x0 )
1.4 两类运动学问题
运动方程是运动学问题的核心
第一类： 已知质点的运动方程，求质点在任 (求导问题) 一时刻的位矢、速度和加速度；
a
dv dt
kR
法向加速度
v2 an R
(kRt )2 k 2Rt 2 R
加速度 a
a 2

a
2 n

kR 2 k 2Rt 2 2
三.圆周运动(circular motion )的角量描述
线量： r r v a
B

A
1. 角量
θ
0
x
半径R 不变，质点位置可
例1 已知质r点在5t水i平面(1内5t运动5t，2 )运j动方程为：
求t=1s时的法向加速度、切向加速度和轨道曲率半径。
解：
r

5ti

(15t

5t
2
)
j
dr

v 5i (15 10t) j
dt

a

dv

10 j
dt
an a2 a 2 5 2