数 学（试卷满分：100分 考试时间：60分钟）准考证号 姓名 座位号一、选择题（本大题有6小题，每小题3分，18分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1.已知菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，则下列结论正确的是 A .点O 到顶点A 的距离大于到顶点B 的距离 B .点O 到顶点A 的距离等于到顶点B 的距离 C .点O 到边AB 的距离大于到边BC 的距离 D .点O 到边AB 的距离等于到边BC 的距离2.已知（4＋7）·a ＝b ，若b 是整数，则a 的值可能是A . 7B . 4＋7C .8－27D . 2－73.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 和y ＝max 2＋mbx ＋mc ，其中a ，b ，c ，m 均为正数，且m ≠1. 则关于这两条抛物线，下列判断正确的是A .顶点的纵坐标相同B .对称轴相同C .与y 轴的交点相同D .其中一条经过平移可以与另一条重合4.一位批发商从某服装制造公司购进60包型号为L 的衬衫，由于包装工人疏忽，在包裹中 混进了型号为M 的衬衫，每包混入的M 号衬衫数及相应的包数如下表所示.一位零售商从60包中任意选取一包，则包中混入M 号衬衫数不超过3的概率是 A .120 B . 115 C . 920 D . 4275.已知甲、乙两个函数图象上的部分点的横坐标x 与纵坐标y 如下表所示.若在实数范围内，甲、乙的函数值都随自变量的增大而减小，且两个图象只有一个交点，则关于这个交点的横坐标a ，下列判断正确的是A . a ＜－2B . －2＜a ＜0C . 0＜a ＜2D .2＜a ＜46.上午，全体组员都在大草地上割草.下午，一半人继续留在大草地上割草，到下午5时将剩下的草割完；另一半人到小草地上割草,到下午5时还剩下一部分没割完.若上、下午的劳动时间相同，每个割草人的工作效率也相等，则没割完的这部分草地的面积是A .. . .二、填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）7.甲、乙两人参加某商场的招聘测试，测试由语言和商品知识两个项目组成，他们各自的成绩（百分制）如下表所示.该商场根据成绩在两人之间录用了乙，则本次招聘测试中权重较大的是 项目.8.在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点A （4，5）逆时针旋转90°得到点B ，则点B 的坐标是 .9.飞机着陆后滑行的距离s （单位：米）关于滑行的时间t （单位：秒）的函数解析式是 s ＝60t －1.5t 2，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是 秒.10.如图3，AB 为半圆O 的直径，直线CE 与半圆O 相切于点C ， 点D 是︵AC 的中点，CB ＝4，四边形ABCD 的面积为22AC ， 则圆心O 到直线CE 的距离是 .11.如图4，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝a ，点E ，F 分别是边AB ，AD 上的动点，且AE ＋AF ＝a ，则线段EF 的最小值为. 三、解答题（本大题有6小题，共62分）12.（本题满分8分）如图7，在平面直角坐标系中，已知某个二次函数的图象经过点A （1，m ），B （2，n ），C （4，t ），且点B 是该二次函数图象的顶点.请在图7中描出该函数图象上另外的两个点，并画出图象.13. （本题满分8分）如图8，圆中的弦AB 与弦CD 垂直于点E ，点F 在︵BC 上， ︵AC ＝︵BF ，直线MN 过点D ，且∠MDC ＝∠DFC ，求证：直线MN 是该圆的切线.14. （本题满分10分）在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋4m （m ＞0）的图象经过点B （p ，2m ），其中 m ＞0.（1）若m ＝1，且k ＝－1，求点B 的坐标； （2）已知点A （m ，0），若直线y ＝kx ＋4m 与x 轴交于点C （n ，0），n ＋2p ＝4m ， 试判断线段AB 上是否存在一点N ，使得点N 到坐标原点O 与到点C 的距离之和等图4FEDC B A 图3 图8 NMF EDCBA图7于线段OB 的长，并说明理由.15. （本题满分11分）如图9，在矩形ABCD 中，点E 在BC 边上，动点P 以2厘米/秒的速度从点A 出发，沿△AED 的边按照A →E →D →A 的顺序运动一周.设点P 从A 出发经x （x ＞0）秒后，△ABP 的面积是y .（1）若AB ＝6厘米，BE ＝8厘米，当点P 在线段AE 上时，求y 关于x 的函数表达式； （2）已知点E 是BC 的中点，当点P 在线段ED 上时，y ＝125x ；当点P 在线段AD 上时，y ＝32－4x .求y 关于x 的函数表达式.16. （本题满分11分）在⊙O 中，点C 在劣弧︵AB 上，D 是弦AB 上的点，∠ACD ＝40（1）如图10，若⊙O 的半径为3，∠CDB ＝70°，求︵BC （2）如图11，若DC 的延长线上存在点P ，使得PD ＝PB ，试探究∠ABC 与∠OBP 的数量关系，并加以证明.图9图10图1117. （本题满分14分）已知y1＝a1(x－m)2＋5，点(m，25)在抛物线y2＝a2 x2＋b2 x＋c2上，其中m＞0.（1）若a1＝－1，点(1，4)在抛物线y1＝a1(x－m)2＋5上，求m的值；（2）记O为坐标原点，抛物线y2＝a2x2＋b2x＋c2的顶点为M．若c2＝0，点A(2，0)在此抛物线上，∠OMA＝90°求点M的坐标；（3）若y1＋y2＝x2＋16 x＋13，且4a2c2－b22＝－8a2，求抛物线y2＝a2 x2＋b2 x＋c2的解析式.数学参考答案说明：解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应评分.一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）题号 1 2 3 45 6 选项DCBC DB二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 7.语言. 8.(－5，4). 9.20. 10.42－2. 11.32a . 三、解答题（本大题有6小题，共62分） 12.（本题满分8分）解：如图：……………………8分13.（本题满分8分） 证明：设该圆的圆心为点O ，在⊙O 中，∵ ︵AD ＝︵BF ，∴ ∠AOC ＝∠.又∠AOC ＝2∠ABC ，∠BOF ＝2∠BCF ，∴ ∠ABC ＝∠BCF .…………………2分∴ AB ∥CF .…………………3分∴ ∠DCF ＝∠DEB . ∵ DC ⊥AB ，∴ ∠DEB ＝90°．∴ ∠DCF ＝90°．…………………4分 ∴ DF 为⊙O 直径.…………………5分 且∠CDF ＋∠DFC ＝90°. ∵ ∠MDC ＝∠DFC ，∴ ∠MDC ＋∠DFC ＝90°. 即DF ⊥MN .…………………7分 又∵ MN 过点D ，∴ 直线MN 是⊙O 的切线.…………………8分 14.（本题满分10分）（1）（本小题满分4分）解: ∵ 一次函数y ＝kx ＋4m （m ＞0）的图象经过点B （p ，2m ），··A ＇ C ＇NMFE DC BA∴ 2m ＝kp ＋4m .…………………2分 ∴ kp ＝－2m .∵ m ＝1，k ＝－1，∴ p ＝2.…………………3分∴ B （2，2）.…………………4分 （2）（本小题满分6分）答：线段AB 上存在一点N ，使得点N 到坐标原点O 与到点C 的距离之和等于线段OB 的长.…………………5分理由如下：由题意，将B （p ，2m ），C （n ，0）分别代入y ＝kx ＋4m ， 得kp ＋4m ＝2m 且kn ＋4m ＝0.可得n ＝2p .∵ n ＋2p ＝4m ，∴ p ＝m .…………………7分 ∴ A （m ，0），B （m ，2m ），C （2m ，0）.∵ x B ＝x A ，∴ AB ⊥x 轴，…………………9分 且OA ＝AC ＝m .∴ 对于线段AB 上的点N ，有NO ＝NC .∴ 点N 到坐标原点O 与到点C 的距离之和为NO ＋NC ＝2NO . ∵ ∠BAO ＝90°，在Rt △BAO ，Rt △NAO 中分别有OB 2＝AB 2＋OA 2＝5m 2，NO 2＝NA 2＋OA 2＝NA 2＋m 2. 若2NO ＝OB ， 则4NO 2＝OB 2.即4（NA 2＋m 2）＝5m 2.可得NA ＝12m .即NA ＝14AB .…………………10分所以线段AB 上存在一点N ，使得点N 到坐标原点O 与到点C 的距离之和等于线段OB 的长，且NA ＝14AB .15.（本题满分11分）（1）（本小题满分5分）解：∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ ∠ABE ＝90°. 又AB ＝8,BE ＝6，∴ AE ＝82＋62＝10. ……………………1分 设△ABE 中，边AE 上的高为h ， ∵ S △ABE ＝12AE ⋅h ＝12AB ⋅BE ，∴ h ＝245.……………………3分A BN又AP ＝2x ，∴ y ＝245x （0＜x ≤5）.……………………5分（2）（本小题满分6分）解:∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝DC , AD ＝BC .∵ E 为BC 中点， ∴ BE ＝EC .∴ △ABE ≌△DCE .∴ AE ＝DE .……………………6分当点P 运动至点D 时，S △ABP ＝S △ABD ，由题意得125x ＝32－4x ，解得x ＝5. ……………………7分当点P 运动一周回到点A 时，S △ABP ＝0，由题意得32－4x ＝0， 解得x ＝8. ……………………8分 ∴ AD ＝2×（8－5）＝6. ∴ BC ＝6.∴ BE ＝3.且AE ＋ED ＝2×5＝10. ∴ AE ＝5.在Rt △ABE 中，AB ＝52－32＝4.……………………9分 设△ABE 中，边AE 上的高为h ， ∵ S △ABE ＝12AE ⋅h ＝12AB ⋅BE ，∴ h ＝125.又AP ＝2x ，∴ 当点P 从A 运动至点D 时，y ＝125x （0＜x ≤2.5）.…………10分∴ y 关于x 的函数表达式为：当0＜x ≤5时，y ＝125x ；当5＜x ≤8时，y ＝32－4x .………………11分16.（本题满分11分）（1）（本小题满分4分） 解：连接OC ，OB .∵ ∠ACD ＝40°，∠CDB ＝70°，∴ ∠CAB ＝∠CDB －∠ACD ＝70°－40°＝30°.…………1分 ∴ ∠BOC ＝2∠BAC ＝60°，………………2分∴ ︵BD l ＝180n r π＝603180π⨯⨯＝π. ………………4分（2）（本小题满分7分）解：∠ABC ＋∠OBP ＝130°.………………………5分证明：设∠CAB ＝α，∠ABC ＝β，∠OBA ＝γ， 连接OC .则∠COB ＝2α. ∵ OB ＝OC ，∴ ∠OCB ＝∠OBC ＝β＋γ.∵ △OCB 中,∠COB ＋∠OCB ＋∠OBC ＝180°， ∴ 2α＋2(β＋γ)＝180°.即α＋β＋γ＝90°.………………………8分 ∵ PB ＝PD ，∴ ∠PBD ＝∠PDB＝40°＋α. ………………………9分∴ ∠OBP ＝∠OBA ＋∠PBD＝γ＋40°＋α＝(90°－β)＋40°＝130°－β.………………………11分即∠ABC ＋∠OBP ＝130°. 17.（本题满分14分） （1）（本小题满分3分）解：∵ a 1＝－1， ∴ y 1＝－(x －m )2＋5.将（1，4）代入y 1＝－(x －m )2＋5，得4＝－(1－m )2＋5. …………………………2分m ＝0或m ＝2. ∵ m ＞0，∴ m ＝2.…………………………3分 （2）（本小题满分4分）解：∵ c 2＝0，∴ 抛物线y 2＝a 2x 2＋b 2x .将（2，0）代入y 2＝a 2x 2＋b 2x ，得4a 2＋2b 2＝0. 即b 2＝－2a 2.∴ 抛物线的对称轴是x ＝1.…………………………5分 设对称轴与x 轴交于点N ， 则NA ＝NO ＝1. 又∠OMA ＝90°，∴ MN ＝12OA ＝1.…………………………6分∴ 当a 2＞0时， M （1，－1）；当a 2＜0时， M （1，1）.∵25＞1，∴M （1，－1）……………………7分 （3）（本小题满分7分）解：方法一：由题意知，当x ＝m 时，y 1＝5；当x ＝m 时，y 2＝25， ∴ 当x ＝m 时，y 1＋y 2＝5＋25＝30. ∵ y 1＋y 2＝x 2＋16x ＋13，∴ 30＝m 2＋16m ＋13. 解得m 1＝1，m 2＝－17. ∵ m ＞0，∴ m ＝1.……………………………9分 ∴ y 1＝a 1 (x －1)2＋5. ∴ y 2＝x 2＋16x ＋13－y 1＝x 2＋16x ＋13－a 1 (x －1)2－5.即y 2＝(1－a 1)x 2＋(16＋2a 1)x ＋8－a 1. ………………………12分∵ 4a 2c 2－b 22＝－8a 2，∴ y 2顶点的纵坐标为4a 2c 2－b 224a 2＝－2.∴ 4(1－a 1)(8－a 1)－(16＋2a 1)24(1－a 1)＝－2.化简得56＋25a 11－a 1＝－2.解得a 1＝－2.经检验，a 1是原方程的解.∴ 抛物线的解析式为y 2＝3x 2＋12x ＋10.……………………14分 方法二：由题意知，当x ＝m 时，y 1＝5；当x ＝m 时，y 2＝25； ∴ 当x ＝m 时，y 1＋y 2＝5＋25＝30. ∵ y 1＋y 2＝x 2＋16x ＋13， ∴ 30＝m 2＋16m ＋13. 解得m 1＝1，m 2＝－17. ∵ m ＞0，∴ m ＝1.………………………………9分∵ 4a 2c 2－b 22＝－8a 2，∴ y 2顶点的纵坐标为4a 2c 2－b 224a 2＝－2.……………………10分设抛物线y 2的解析式为y 2＝a 2 (x －h )2－2. ∴ y 1＋y 2＝a 1 (x －1)2＋5＋a 2 (x －h )2－2. ∵ y 1＋y 2＝x 2＋16x ＋13，∴ 121221212216313a a a a h a a h ⎧+=⎪--=⎨⎪++=⎩解得h ＝－2，a 2＝3.∴ 抛物线的解析式为y 2＝3(x ＋2)2－2.……………………………14分 （求出h ＝－2与a 2＝3各得2分）方法三：∵ 点（m ，25）在抛物线y 2＝a 2x 2＋b 2x ＋c 2上， ∴ a 2m 2＋b 2m ＋c 2＝25.（*） ∵ y 1＋y 2＝x 2＋16x ＋13，①∴ 12122121 216 513a a ma b m a c +=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩由②，③分别得b 2m ＝16m ＋2m 2a 1，c 2＝8－m 2a 1.将它们代入方程（*）得a 2m 2＋16m ＋2m 2a 1＋8－m 2a 1＝25. 整理得，m 2＋16m －17＝0.解得m 1＝1，m 2＝－17. ∵ m ＞0，∴ m ＝1.………………………………………9分∴ 1212121 216 8a a a b a c +=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩解得b 2＝18－2a 2，c 2＝7＋a 2. ………………………12分∵ 4a 2c 2－b 22＝－8a 2，∴ 4a 2(7＋a 2)－(18－2a 2)2＝－8a 2. ∴ a 2＝3.∴ b 2＝18－2×3＝12，c 2＝7＋3＝10.∴ 抛物线的解析式为y 2＝3x 2＋12x ＋10.……………………………14分② ③。