三角函数、解三角形习题精选1．设函数.cos )cos(2)23cos()2cos 1()(2ααπαπαα++-+=f（I ）设ABC A ∆∠是的内角，且为钝角，求)(A f 的最小值； （II ）设B A ∠∠,是锐角ABC ∆的内角，且,2,1)(,127===∠+∠BC A f B A π求ABC ∆ 的三个内角的大小和AC 边的长.2．已知函数()sinsin()222x x f x π=+⑴求函数()f x 在[,0π-]上的单调区间； ⑵已知角α满足(0,)2πα∈，2(2)4(2)12f f παα+-=，求()f α的值。

3. 已知.02cos22sin=-x x(1) 求x tan 的值；(2) 求xx xsin 4cos 22cos ⎪⎭⎫⎝⎛+π的值。

4.已知函数().33cos323cos 3sin 22-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππx x x x f（1） 求()x f 的单调递增区间；（2） 求()x f 的最大值及取得最大值时相应的x 的值。

5.已知A B C ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为a b c 、、,向量(4,1m =-2(c o s,c o s 2)2An A =，且72m n ⋅= .（1）求角A 的大小； （2）若a =b c ⋅取得最大值时A B C ∆形状.6.已知角A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，若向量(1cos(),cos )2A B m A B -=-+u r，5(,cos )82A Bn -=r ，且98m n ⋅=u r r ． （1）求tan tan A B 的值； （2）求222sin ab C a b c+-的最大值7.在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边的长分别为,,,a b c 已知5b =，sin 4A =，4ABC S ∆=.（I ）求c 的值； （II ）求sin C 的值.8. 已知ABC ∆的周长为1)，且sin sin B C A +=．（I ） 求边长a 的值；（II ） 若3sin ABC S A ∆=，求cos A 的值9.已知向量,)8(sin ),8cos(2⎪⎭⎫⎝⎛++=ππx x a ,1),8sin(⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx b 函数()12-⋅=b a x f 1)求函数()x f 的解析式，并求其最小正周期;2)求函数)(x f 图象的对称中心坐标与对称轴方程. 3)求函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x f y 21的单调递增区间；10.函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间 [0,]2x π∈上的最大值和最小值．11.已知函数23cos sin sin3)(2-+=x x x x f (R x ∈．（Ⅰ）求)4(πf 的值；（Ⅱ）若)2,0(π∈x ，求)(x f 的最大值；（Ⅲ）在ABC ∆中，若B A <，21)()(==B f A f ，求ABBC 的值．12.已知函数2()22sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,P 在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域.13.在A B C ∆中，角A 、B 、C所对的边分别为2a b c a b ==、、，，1cos 2A =-．（I ） 求角B 的大小；（Ⅱ）若2()cos 2sin ()f x x c x B =++，求函数()f x 的最小正周期和单增区间．14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b B aA-=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值．15.已知πsin()410A +=，ππ(,)42A ∈． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x =+的值域．16.已知函数cos 2()sin()4x f x x π=+.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若4()3f x =，求s i n 2x 的值. 17.已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值。

18.已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和3133S =．(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若函数()sin(2)(0,0)f x A x A ϕϕπ=+><<在6x π=处取得最大值，且最大值为3a ，求函数()f x 的解析式．19.设函数f (θ)＝3sin θ ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π。

（Ⅰ）若P 的坐标是(12，32)，求f (θ)的值；（Ⅱ）若点P (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x ≤1 y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值。

20.1()2sin(),36f x x x R π=-∈已知函数5(1)()4f π求的值;106(2),0,,(3),(32),cos()22135f f ππαβαβπαβ⎡⎤∈+=+=+⎢⎥⎣⎦设求的值.21.已知函数()12sin 36fx x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈．（1）求()0f 的值；（2）设10,0,,3,2213f ππαβα⎡⎤⎛⎫∈+=⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()632,5f βπ+=求()sin αβ+的值．22.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, （1）若,cos 2)6sin(A A =+π求A 的值； （2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值.23.已知函数73()sin()cos()44f x x x ππ=++-，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值； （Ⅱ）已知4cos()5βα-=，4cos()5βα+=-，02παβ<<≤，求证：2[()]20f β-=．24.已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-()x ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．（Ⅱ）若()065f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．求0cos 2x 的值．25.在A B C ∆中，cos cos A C B A BC=．（Ⅰ）证明：B C =． （Ⅱ）若1cos 3A =-．求sin 43B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．26.已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．ks**5u（Ⅰ）求()f x 的最大值和最小值；（Ⅱ）若不等式()2f x m -<在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围27.已知函数()sin cos ,'()f x x x f x =+是()f x 的导函数． （1）求函数2()()'()()F x f x f x f x =+的最大值和最小正周期； （2）若()2'()f x f x =，求221sin cos sin cos x x x x+-的值．参考答案1．解：（1）2223(cos 21)cos()cos sin 2()cos cos 2cos()cos A A A A f A A A A Aππ+-=+=++.21)42sin(22)12cos 2(sin 21cos2sin 212++=++=+=πA A A A A∵角A 为钝角，.494245,2πππππ<+<<<∴A A)(,2342A f A 时当ππ=+∴取值最小值，其最小值为.221-（2）由.22)42sin(,121)42sin(221)(=+∴=++=ππA A A f 得524A A πππ∴<+<为锐角，44,.125.3,127.4,4342ππππππ=∴=∴=+==+∴C B B A A A 又 在△ABC中，由正弦定理得：sin .sin sin sin B CA CB C B A C A BA=∴==2.解：1()sin sin()sin cos sin 222222x x x x f x x π=+==⑴函数()f x 在区间[,]2ππ--单调递减，在区间[,0]2π-单调递增。

（6分）⑵2(2)4(2)12f f παα+-=sin 22sin(2)12παα⇒+-=222sin cos 2(cos sin )1αααα⇒+-=22cos 2sin cos 3sin 0αααα⇒+-=(cos 3sin )(cos sin )0αααα⇒+-= ∵(0,)2πα∈，∴cos sin 0tan 1sin 2αααα-=⇒=⇒=∴1()sin 24f αα==。

（12分）3.（1）.34tan ,22tan-=∴=x x （2）原式=.41tan 11sinsin cos sincos222=+=--xxx x xx4.（1）().32sin 2322cos 3322sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-=πππx x x x f令,223222πππππ+≤-≤-k x k 则()x f 的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈125,12ππππk k x)(Z k ∈（2）当,2232πππ+=-k x 即()Z k k x∈+=125ππ时，().2max=x f5.解：（1）由2(4,1),(cos ,cos 2)2Am n A =-=24cos cos 22A m n A ⋅=- 21cos 4(2cos 1)2A A +=⋅-- 22cos 2cos 3A A =-++又因为77,2cos 322m n A A ⋅=++= 2所以-2cos 解得1cos 2A =…………2分0,3A A ππ<<∴=………………………………………2分（2）在2222cos ,ABC a b c bc A a ∆=+-=中，且222122b c bc ∴=+-⋅22b c bc =+-。

…………………2分222,32b c bc bc bc +≥∴≥- ，即3,bc ≤当且仅当b c b c ==⋅，取得最大值,…………………2分又由（Ⅰ）知,,33A B C ππ=∴==故b c ⋅取得最大值时，A B C ∆为等边三角形.2分6.解：（理）（1）255cos()cos 882A Bm n A B -⋅=-++9199cos cos sin sin 8888A B A B =-+=cos cos 9sin sin A B A B ∴=，1tan tan 9A B =得……………………5分（2）tan tan tan()1tan tan A B A B A B++=-993(tan tan )884A B =+≥⋅=…………8分（∴>=091tan tan B A A,B 均是锐角，即其正切均为正）222sin sin 113tan (11) tan()2cos 228ab C C C A B a b cC===-+≤-+-分所求最大值为83-。